第5章 导数及其应用 复习 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第5章 导数及其应用 复 习
一、 单项选择题
1 (2023天津蓟州期末)某汽车启动阶段的路程函数为S(t)＝3t3－5t2＋5，则当t＝2时，汽车的加速度是(　　)
A. 16 B. 9 C. 10 D. 26
2 (2023萍乡期末)已知函数f(x)在x＝x0处可导，若 ＝1，则f′(x0)的值为(　　)
A. 1 B. －4 C. － D. －1
3 (2023湖北高中协作体联考)点P在曲线y＝2x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是(　　)
A. B. ∪
C. [0，π) D. ∪
4 (2023南平一中月考)已知函数f(x)＝ln x－ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A. [1，＋∞) B. (1，＋∞)
C. D.
5 (2023天津五区期中联考)已知f(x)＝在区间(m，6－m2)上有极小值，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，) B. (－2，)
C. [－2，) D. (－，1)
6 (2023武汉东湖中学期中)已知a＝，b＝ln (＋1)，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>c>b B. a>b>c
C. b>a>c D. c>b>a
二、 多项选择题
7 对于函数f(x)＝2cos x＋x，x∈[0，π]，下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)在x＝处取得极大值 ＋
B. f(x)在区间[0，π]上有两个不同的零点
C. f＞f＞f
D. f(x)在区间[0，π]上是单调函数
8 (2023福州四十中期末)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)图象的一部分如图，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)有极大值f(3)
B. 函数f(x)有极小值f(－)
C. 函数f(x)有极大值f()
D. 函数f(x)有极小值f(－3)
三、 填空题
9 若函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则实数a的值为________．
10 已知函数f(x)＝2x·ex－m sin x的图象在x＝0处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则实数m的值为________．
11 (2023焦作十一中期末)设函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x－2 021)f(x－2 021)－f(1) <0的解集为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝aex－4x，a∈R.
(1) 若f(x)的图象在x＝0处的切线倾斜角为，求实数a的值；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
13 (2023福州三中期末)已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax，a∈R.
(1) 当a＝3时，求f(x)的极小值；
(2) 若f(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案解析】
第5章 导数及其应用 复 习
1. D　设汽车的速度函数为v(t)，则v(t)＝S′(t)＝9t2－10t，可得v′(t)＝18t－10，所以当t＝2时，汽车的加速度是v′(2)＝18×2－10＝26.
2. C　由题意，得 ＝－4· ＝－4f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－.
3. B　由y＝2x3－x＋，得y′＝6x2－，所以y∈[－，＋∞)，即k＝tan α∈[－，＋∞).当tan α∈[－，0)时，α∈；当tan α∈[0，＋∞)时，α∈，所以角α的取值范围是∪.
4. A　因为f(x)＝ln x－ax，所以f′(x)＝－a.因为f(x)在区间[1，3]上单调递减，所以f′(x)≤0，即－a≤0，则a≥在区间[1，3]上恒成立．因为y＝在区间[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1.
5. D　函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝.当x>1时，f′(x)>0；当x<0或06. B　设m(x)＝ln x－x＋1，则当x>1时，m′(x)＝－1<0，m(x)单调递减，故m(＋1)＝ln (＋1)－(＋1)＋1n(3)＝4ln 3－3>0，所以ln (＋1)>＝，即b>c.综上，a>b>c.
7. AC　f′(x)＝－2sin x＋1，x∈[0，π]，令f′(x)＞0，得sin x＜，解得0＜x＜或＜x＜π，所以f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．对于A，f(x)在x＝处取得极大值f＝2cos ＋＝＋，故A正确；对于B，f(0)＝2cos 0＋0＝2，f＝2cos ＋＝－＋>0，f(π)＝2cos π＋π＝－2＋π＞0，所以f(x)在区间[0，π]上没有零点，故B错误；对于C，因为f(x)在区间上单调递减，所以f＞f＞f，故C正确；对于D，f(x)在区间[0，π]上不是单调函数，故D错误．故选AC.
8. AD　由题意可知，三次函数f(x)的导函数f′(x)是二次函数．观察图象知，－3，3是函数y＝f′(x)的两个零点，当x<－3或x>3时，f′(x)<0；当－30，所以函数f(x)有极小值f(－3)，有极大值f(3)，故A，D正确，B，C错误．故选AD.
9. 3　由题意，得f′(x)＝－3x2＋2ax.因为函数f(x)在x＝2处取得极值，所以f′(2)＝0，所以－3×4＋2a×2＝0，解得a＝3.
10. －1　f(x)＝2x·ex－m sin x的定义域为R，且f′(x)＝2ex＋2x·ex－m cos x，则函数图象在x＝0处的切线斜率为k1＝f′(0)＝2－m.又直线x＋3y＋1＝0的斜率为k2＝－，由切线和直线垂直，得(2－m)×＝－1，解得m＝－1.
11. (2 022，＋∞)　令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x).由题意可得F′(x)<0，所以F(x)单调递减．由不等式(x－2 021)f(x－2 021)－f(1)<0，得F(x－2 021)1，解得x>2 022，所以不等式的解集为(2 022，＋∞).
12. (1) 由题意，得f′(x)＝aex－4，
令f′(0)＝a－4＝tan ＝1，解得a＝5.
故实数a的值为5.
(2) 因为f′(x)＝aex－4，x∈R，
①当a≤0时，f′(x)＜0恒成立，
故f(x)在R上单调递减；
②当a＞0时，由f′(x)＜0，得x＜ln ，
由f′(x)＞0，得x＞ln ，
故f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当 a＞0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
13. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝3时，f(x)＝x2＋ln x－3x，
求导，得f′(x)＝2x＋－3，
整理，得f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1，
当当01时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
所以当x＝1时，函数f(x)取极小值，且极小值为f(1)＝12＋ln 1－3＝－2.
(2) f(x)＝x2＋ln x－ax，则f′(x)＝2x＋－a.
由已知可得，当x∈[1，2]时，f′(x)≥0恒成立，
所以2x＋－a≥0恒成立，
即a≤2x＋恒成立，则a≤.
设g(x)＝2x＋，x∈[1，2]，
则g′(x)＝2－>0，
故 g(x)＝2x＋在区间[1，2]上单调递增，
则g(x)min＝g(1)＝3，
故实数a的取值范围为(－∞，3].