【北师大版九上同步练习】 4.2 平行线分线断成比例（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
4.2平行线分线断成比例
一、单选题
1．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，，，，则的长是（　　）
A．8 B．9 C．11 D．12
2．如图，若，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，点B，E分别在，上，，，的长（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
4．如图，，，则下列比例式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（　　）
A．20cm B．25cm C．30cm D．cm
二、填空题
6．如图，，若，则的长　 　．
7．如图，在中，，，D是边上一点（点D不与A、B重合）．将沿着翻折，点B的对应点为点E，交于点F，如果，则　 　．
8．如图，矩形纸片ABCD，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且EF=BF，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若AB=4，则折痕DG的长为　 　.
三、计算题
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
四、解答题
10．如图所示，在中，，求AD的长.
11．如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，求的长．
12．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，联结FD与AC交于点N，求FN：ND的值
.
五、综合题
13．梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：
如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E是射线AD上一动点且以每秒3个单位的速度从A出发向右运动，连结BE交AC于点F，作EM⊥BC于M交直线AC于N，设E点运动时间为1秒．
（1）若将线段EN绕点F旋转后恰好落在直线AB上，则t=　 　
（2）当点E在线段AD上运动时，若FN=5t-3，求t的值．
（3）连结FM，点E在运动过程中，是否存在t的值，使△FMN为等腰三角形？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．
六、实践探究题
15．阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD的延长线于M，N，则
（1）试证明： ；
（2）如图，O为直线AB上一点，OC，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB上，0P1＝r1，0P2＝r2，OP3＝r3，r与r′分别满足 ，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．
16．课本再现
思考我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（1）定理证明：
为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.求证： ABCD是菱形.
（2）知识应用：
如图2，在 ABCD中，对角线AC和BD 相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6.
①求证： ABCD是菱形.
②延长BC至点E，连结OE交CD于点F，若∠E，求的值.
17．
（1）问题情境：
数学活动课上，小明向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形中，分别是的中点，作射线，连接，请直接写出线段与之间的数量关系；
（2）解决问题：
小亮受此问题启发，将矩形变为平行四边形，其中为锐角，如图（2），分别是的中点，过点作交射线于点，交射线于点，连接，则，请你证明小亮的结论；
（3）拓展探究：
小宇在小亮结论的基础上进行了探究，并提出了一个新问题：与有怎样的数量关系？请你回答小宇提出的这个问题，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
2．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
3．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
4．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
5．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
6．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
7．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
8．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
9．【答案】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ =
【知识点】平行线分线段成比例
10．【答案】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD+EC=9，
∴EC=9-AD，
又DB=4，AE=5，
∴
解得AD=4或5.
【知识点】平行线分线段成比例
11．【答案】解：，
．
，
．
，
．
【知识点】平行线分线段成比例
12．【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴ ，∵AF：BF=1：2，∴ ，∴ ，即FE= BC，∵BC：CD=2：1，∴CD= BC，∵FE∥BD，∴ ．即FN：ND=2：3
【知识点】平行线分线段成比例
13．【答案】（1）解：补充的证明过程如下：
，
，
（2）6
【知识点】平行线分线段成比例；定义新运算
14．【答案】（1）3
（2）解：在Rt△ABC中，
∵EM∥CD，
∴
∴，
∴AF=AN-FN=5t-（5t-3）=3
∵EN∥AB，
∴
∴
解之：.
（3）解：存在，
当0≤t≤3时
在△FMN中，∠MNC＜90°，
∴∠FNM＞90°，
∵△FMN是等腰三角形，
∴MN=FN；
由（2）可知MN=12-4t，
∵EN∥AB，
∴即
解之：，
∴
解之：t1=2，t2=-2（舍去）；
当t＞3时，延长MF交AB于点H，
∵∠CMN=90°，
∴∠FMN＞90°，
∴FM=MN=EN-EM=4t-12，AN=5t，AE=3t，
∵AB∥EN
∴即
∴
在Rt△HBM中
∴
解之：，（舍去）.
∴t的值为2或时△FMN是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；旋转的性质
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴ ，
又∵CD∥AM，
∴ ，
∴ ，
又∵AB＝AD＝AC，
∴ ；
（2）解：连接P1，P2交OC于点E，则0E＝r，
连接EP3交OD于点F，则0F＝﹣r′．
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB=DC，
∵BD⊥AC
∴∠AOB=∠COB=90°，
∵AO＝CO，∠AOB＝∠COB，BO＝BO
∴△AOB≌△COB（SAS），
∴AB=CB，
同理可得△DOA≌△ODC，
则DA=DC，
又∵AB=CD，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）证明：①证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=5，AC=8，BD=6，
∴，，
在△AOD中，AD2=25，AO2+OD2=32+42=25，
∴AD2=AO2+OD2，
∴△AOD是直角三角形，即∠AOD=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
②解：如图，过点O作OG∥CD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD，OC=AO=4，
∵，
∴，
∵∠ACB=∠E+∠COE，
∴∠E=∠COE，
∴，
∵OG∥CD，
则，，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（SAS）
17．【答案】（1）解：
（2）解：分别是的中点，．
四边形为平行四边形．
四边形为平行四边形即．
如图，连接∵CE⊥AD，N是CD的中点∴CN=EN∴MF垂直平分CE∴ME=MC．
（3）解：∠BME=3∠AEM，证明如下：
∵四边形AMND和四边形ABCD为平行四边形
∴
∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC．
∵AB=2BC，AB=CD=2CN∴CN=MN∴∠NCM=∠NMC
∴∠BMC=∠NMC∵ME=MC，MF⊥CE∴∠EMF=∠NMC
∴∠BME=∠EMF+∠NMC+∠BMC=3∠EMF=3∠AEM即∠BME=3∠AEM
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（SAS）
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