【北师大版九上同步练习】 4.5 相似三角形判定定理的证明（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
4.5相似三角形判定定理的证明
一、单选题
1．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （　　）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作于点．若，，，则（　　）
A．15 B．16 C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，点是轴正半轴上一点，点在反比例函数图象上，联结、和．如果四边形是矩形，那么的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在菱形中，已知，将，分别沿，折叠，若重叠部分面积为1，的面积为，则菱形的面积为　 　．
7．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别在边BC，AB上，，连接DF，AE相交于点G，连接DE，M为DE中点，连接GM，则GM的长为　 　．
8．如图，在矩形中，，点E、F分别在边上，点M为线段上一动点，过点M作的垂线分别交边于点G点H．若线段恰好平分矩形的面积，且，则的长为 　 　．
三、计算题
9．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为2，求平行四边形的面积．
四、解答题
10．如图，为中边上的一点，，若，，，求的长．
11．如图，在中，，以为边作，交与点F，

（1）若，求的度数．
（2）若，求．
12．在中，是上一点，是边上一点，连结，过点作，交于点．
（1）如图1，若，求；
（2）如图2，若点在边上移动，试探究是否为定值，并说明理由；
（3）如图3，若点与点重合，作，垂足为，求证：．
五、综合题
13．如图，已知点D是 的边AC上的一点，连接 ， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）求线段CD的长.
14．如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
15．如图，在中，点为中点，点在上，，交于点，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）如图2，若，，，直接写出的值.
六、实践探究题
16．阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
（3）拓展探究：
如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，当BC=时，试求出AB的值．
17．
（1）问题发现
如图1，在中，，D是线段上一动点，以为一条边在A的左侧作，使，连接．则与的数量关系为　 　．
（2）类比探究
如图2，在中，D是线段上一动点，以为一条边在的左侧作，使且，连接．则（1）中与的数量关系仍然成立吗？请说明理由．
（3）拓展应用
如图3，在（2）的条件下，若，，当取最小值时，的面积为　 　．
18．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到点M，使，连接.
图1 图2 图3
（1）【探究发现】图1中与的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
（3）【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
6．【答案】25
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
8．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
9．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
10．【答案】解：在和中，，
，
，
，，，
，
解得，
故的长为3．
【知识点】相似三角形的判定与性质
11．【答案】（1）；
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
12．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：为定值，理由如下：
如图，分别过E，F作，垂足分别为G，H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴；
（3）解：如图，过点C作于点M，
由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
13．【答案】（1）解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB
（2）解：由（1）知：△ABD∽△ACB，
∵相似三角形的对应线段成比例
，∴ = ，即 ＝ ，
解得：CD＝5
【知识点】相似三角形的判定与性质
14．【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
15．【答案】（1）解：∵，，，
∴
（2）过点作交于，如图1，，
在和中，，∴
∴，∵，∴，
又∵，∴
又∵，
∴，∴，即，
设，，则，，解得，
∴，∴；
另解：如图2，
图2
延长到，使得，连接.则，
∴，∵，∴，∵，∴，
∴，∵，∴，∴，
∴（负值已经舍去）.
（3）如图3，
图3
过点作交于，由(2)知，
∵，∴，由(2)知，
∴.
另解：如图4，
图4
延长到，使得，连接，则.
可证，
∴，∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
16．【答案】（1）解：点E是四边形的边上的相似点．
理由：，
，
，
．
，
，
，
∴点E是四边形的边上的相似点．
（2）解：作图如下：
（3）解：∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，设BE为x，CE为2x，根据勾股定理
X=1， CE=2 ，所以AB=2.
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）；
（2）解：如图1，延长至点，使，连接.
图1
由（1）可知，，
，，，.
，，，
，.
，
，
，
，
为直角三角形.
（3）解：如图2，延长至点，使，连接，
图2
.
又，
，
.
，，
.
在中，由三角形三边关系可得，
即，
.
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
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