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北师大版2023-2024数学七年级下册期末模拟测试卷
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．125°
3．如图1的长方形纸带中，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
4．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某种冠状病毒的大小约为0.000125mm，该数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.125×10﹣3 B．0.125×10﹣4
C．1.25×10﹣3 D．1.25×10﹣4
6．川剧是汉族戏曲剧种之一，流行于四川东中部、重庆及贵州、云南部分地区.在丰富的川剧表现元素中，川剧脸谱是川剧展现给观众的最直观的视觉形象，也是人们区别川剧和其他剧种的一个重要标志.下面四幅川剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
8．如右图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则 ＝2，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
10．如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
11．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
12．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是 ．
14．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为DE， 平分线所在直线与 平分线所在直线相交于点F，若 ，则 的度数为 .
15．我国新交通法规定：汽车行驶到路口时，绿灯亮时才能通过，如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候.某丁字路口从A往B方向是直行，从A往C方向是左转，在A处看到红绿灯的设置时间依次为：红灯40秒、直行绿灯30秒、黄灯3秒、左转绿灯15秒、黄灯3秒；然后又从“红灯40秒…”开始循环，李叔叔随机地开车到达该路口，按照交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走，他恰好直接通过的概率是 .
16．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是 ．
17．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
18．如图，将含角的直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数为
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在中，平分，平分，于点.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的面积.
20．我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？生命，感恩，责任，奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）扇形统计图中 ▲ ，并补全条形统计图；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“感恩”的学生的概率是多少．
21．丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
22．解答下列各题
（1）小明在学行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ．
（2）小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法：
①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）；
②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C；
③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线
这样，就得到直线．你能说明的理由吗？
23．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．
（1）当点D在线段BC上时，如图1，且BD=3时，CE= ；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断BC，CD，CE三条线段数量关系，并说明理由；
（3）当点D在线段CB的延长线上时，直接判断CE与BC的位置关系，并直接写出BC，CD，CE三条线段的数量关系．
24．在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
25．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式： ；
（3）若，，求图2中阴影部分的面积．
26．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4.设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α.
（1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由.
（2）如图②，若90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ .探索 与 的数量关系，并说明理由.
（3）如图③，若 ＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ(90°＜γ＜180°)，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m(0°＜m＜90°).已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，且n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数.（可用含有m的代数式表示）
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北师大版2023-2024数学七年级下册期末模拟测试卷
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：同一平面内，同位角相等，两直线平行，A，B，D不符合题意，∠4与∠1为同位角，所以C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行，判定即可.
2．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．125°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠ADE=125°，
∴∠ADF=180°125°=55°，
因为长方形对边平行
∴∠DBC=∠ADF=55°（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：A．
【分析】先利用邻补角的性质求出∠ADF=180°125°=55°，再根据平行线的性质可得∠DBC=∠ADF=55°。
3．如图1的长方形纸带中，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE=25°，
∴∠CFE=180°-3∠BFE=75°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠DEF=∠BFE=25°，由折叠的性质可得∠CFE=180°-3∠BFE，从而代入计算可得答案.
4．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. =y2-x2，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. 不符合题意；
D. ，不能用平方差公式进行计算，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的特征逐项判断即可。
5．某种冠状病毒的大小约为0.000125mm，该数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.125×10﹣3 B．0.125×10﹣4
C．1.25×10﹣3 D．1.25×10﹣4
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000125=1.25×10-4.
故答案为：D.
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数。
6．川剧是汉族戏曲剧种之一，流行于四川东中部、重庆及贵州、云南部分地区.在丰富的川剧表现元素中，川剧脸谱是川剧展现给观众的最直观的视觉形象，也是人们区别川剧和其他剧种的一个重要标志.下面四幅川剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
7．将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠可得，，
∵∠1=50°，
∴∠3=65°，
因为AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=115°；
故答案为：D.
【分析】由折叠可得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数.
8．如右图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则 ＝2，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ①∵∠A+∠AHP＝180°，
∴AB∥PH，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，
故①正确；
②∵AB∥PH，CD∥PH，
∴∠BEP=∠EPH， ∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF，
∵ PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP=2∠EPG，
故②正确；
③∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，
故③错误；
④∵∠AGP=∠PHG+∠HPG，∠DFP=∠FPH，∠FPH+∠HPG=∠FPG，∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠HPG+∠DFP-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠HPG+∠FPH-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠FPG-∠FPG，
=∠A+∠PHG，
=180°，
故④正确；
⑤ ∠BEP-∠DFP=∠EPH-∠FPH=（∠EPG+∠GPH）-∠FPH=∠FPG+∠GPH-∠FPH，
=∠GPH+∠GPH=2∠GPH，
∴，
故⑤正确，
∴ 正确结论的个数是4个.
故答案为：C.
【分析】 根据AB∥CD，PH∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论.
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
10．如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作直线EL∥AB，则AB∥EL∥DC，
过F作直线FG平行AB，则AB∥FG∥DC，
由EL∥AB，得∠AEL=∠BAE=∠EAF+∠FAB=4∠BAF，
由EL∥CD，得∠LEC=∠ECD=∠ECF+∠FCD=4∠DCF，
∴∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
由FG∥AB，得∠AFG=∠FAB，
由FG∥CD，得∠GFC=∠FCD，
∴∠F=∠AFG+∠GFC=∠FAB+∠DCF，
∴∠E=4∠F，
故答案为：D.
【分析】过E作直线EL∥AB，过F作直线FG平行AB，由两直线平行内错角相等，得∠AEL=∠BAE，
∠LEC=∠ECD，结合 ∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF， 得∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
再由两直线平行内错角相等，得∠AFG=∠FAB，∠GFC=∠FCD，从而推得∠E=4∠F。
11．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；三角形的角平分线、中线和高；多边形的对角线
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
12．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图所示，折叠还原，四边形DAEF与DAE'F'全等，四边形CBHG与CBH'G'全等，
则有∠ADF=∠ADF'，∠GCB=∠G'CB，
∴ ∠G'CG=2∠GCB
∵ ∠DAB=2∠GCB
∴ ∠G'CG=∠DAB
∵ AB∥CD
∴ ∠ADF'=∠DAB
∵ DF∥CG
∴ ∠G'CG=∠CDF
∴ ∠ADF=∠CDF=∠ADF'=60°
故答案是C.
【分析】考查折叠性质，折叠前后的图形全等，根据全等性质，可得对应线段相等，对应角相等。利用平行线性质，得到内错角，同位角的数量关系，结合题目已知，求解。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据题意，图中的两个三角尺全等，
∴∠1=∠2 ，
∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行).
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
14．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为DE， 平分线所在直线与 平分线所在直线相交于点F，若 ，则 的度数为 .
【答案】36°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图.
令 ，则 .
由题意得： ， .
， .
.
.
又 直线 是 的角平分线.
.
.
又 直线 是 的角平分线所在直线.
.
.
又 .
.
.
，
故答案为：36°.
【分析】设∠BED=x，可表示出∠F，∠BDE，∠EDH及∠EBD，∠ABE；再利用角平分线的定义表示出∠ABN，∠FBD，同时可表示出∠FDE，∠BDF；然后根据∠BFD+∠FBD+∠FDB=180°建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出∠1的度数.
15．我国新交通法规定：汽车行驶到路口时，绿灯亮时才能通过，如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候.某丁字路口从A往B方向是直行，从A往C方向是左转，在A处看到红绿灯的设置时间依次为：红灯40秒、直行绿灯30秒、黄灯3秒、左转绿灯15秒、黄灯3秒；然后又从“红灯40秒…”开始循环，李叔叔随机地开车到达该路口，按照交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走，他恰好直接通过的概率是 .
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设事件A＝“交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走”，
则事件A对应15秒的时间长度，
而路口红绿灯的设置时间的一个周期为：40秒+30秒+3秒+15秒+3秒＝91秒的时间长度.
根据概率的公式，可得事件A发生的概率为P（A）＝ ，
故答案为： .
【分析】设事件A＝“交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走”，则事件A对应15秒的时间长度，然后求出总的时间长度，结合几何概率的求解方法计算即可.
16．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是 ．
【答案】18°
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设∠DEF=a，则∠EFG=a
折叠9次后CF与GF重合
，即
故答案为：18°
【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，根据直线平行性质即可求出答案。
17．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=130° ，
∴∠B=∠C=25°.
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，
∴AF=AC，
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG，
在△AGF和△AGC中，
∴△AGF≌△AGC (SAS)，
∴∠AFG=∠C，
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°，
①当GD=GF时，
∴∠FDG=∠GFD=50°；
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD.
∵∠DFG=50° ，
∴∠FDG=∠FGD=65°；
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=50°，
∴∠FDG=80°；
综上，的度数为 或或；
故答案为： 或或 .
【分析】先利用“SAS”证出△AGF≌△AGC，可得∠AFG=∠C，再利用角的运算求出∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°，再分类讨论：①当GD=GF时，②当DF=GF时，③当DF=DG时，再分别求解即可.
18．如图，将含角的直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数为
【答案】50°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵EF//MN，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°.∵∠2+∠3=90°，∴∠2+40°=90°，解得∠2=50°.
故答案为：50°.
【分析】利用平行线的性质求出∠3，再根据∠3与∠2互余，求得∠2.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在中，平分，平分，于点.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：∵平分，平分
∴，
∵，
∴，
∴在中，
（2）解：过点作于点
∵平分
∴
∵，∴
∵，∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）因为CD平分∠ACB，BD平分∠ABC，题中给出了∠ACB，∠ABC的度数，可算出∠DBC和∠DCB，则可直接用180°减去∠DBC与∠DCB。
（2）通过作辅助线，可证明，可得DF=DE，最后通过三角形的面积公式即可求解。
20．我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？生命，感恩，责任，奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）扇形统计图中 ▲ ，并补全条形统计图；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“感恩”的学生的概率是多少．
【答案】（1）300
（2）15； 补全条形图如图所示：
（3）解：，
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词“感恩”的学生的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【解答】 解：（1）∵A对应的人数为105人，对应的百分比为35%，
∴总人数为：105÷35%=300（人）.
故答案为：300；
（2）∵D所对应的人数为45人，
∴，
C所对应的人数为：300×30%=90（人），
B所对应的人数为：300-105-90-45=60（人）．
补全条形图如图所示：
故答案为：15；
（3）∵B所对应的人数为60人，
∴从该校学生中随机抽取一个最关注热词“感恩”的学生的概率是：.
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词“．感恩”的学生的概率是.
【分析】 （1）根据A对应的人数为105人，对应的百分比为35%，可求出总人数；
（2）用D所对应的人数除以总人数，再乘以100即可得到D所占的百分比；根据C所占的百分比可求出C所对应的人数，B所对应的人数为：总人数-A所对应的人数-C所对应的人数-D所对应的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据概率公式进行计算即可．
21．丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
【答案】（1）解：如图1，过点E作MN∥AB．
∵AB∥MN，
∴∠AEM＝∠EAB＝35°．
∵AB∥CD，AB∥MN，
∴MN∥CD．
∴∠MEC＝∠ECD＝25°．
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60°
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，
∴∠EFB＝∠ECD＝β．
又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC，
∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α．
②如图3，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
又∵CG平分∠ECD，
∴∠EAB＝∠1＝ ．
∴∠EAB＝∠2．
∵AG平分于∠CGE，
∴∠2＝∠3．
∴∠3＝∠EAB＝ ．
∵∠AEG＝130°，
∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°．
∴2∠EAB＝50°．
∴∠EAB＝α＝25°．
又∵α+β＝80°，
∴β＝55°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点E作MN∥AB，利用平行线的性质求解即可；
（2）①利用平行线的性质求解即可；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算即可。
22．解答下列各题
（1）小明在学行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ．
（2）小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法：
①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）；
②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C；
③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线
这样，就得到直线．你能说明的理由吗？
【答案】（1）同位角相等，两直线平行
（2）解：由小丽的作图方法可知：，
∴，
∵，
，
∴
∴，
即（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1） 由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行进行解答即可；
（2）由作图知BP=BD，AB=BC，利用等边对等角可得，，由三角形的内角和知，，即得∠BPD=∠BAC，根据同位角相等，两直线平行即得结论.
23．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．
（1）当点D在线段BC上时，如图1，且BD=3时，CE= ；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断BC，CD，CE三条线段数量关系，并说明理由；
（3）当点D在线段CB的延长线上时，直接判断CE与BC的位置关系，并直接写出BC，CD，CE三条线段的数量关系．
【答案】（1）3
（2）解：如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；
（3）解：如图3中，结论：BC⊥CE，CD=BC+CE，理由如下：
∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
∴BD=CE，
∵CD=BD+BC，
∴CD=CE+BC，
∵∠ADE+∠AED=90°，
即∠ADB+∠CDE+∠AED=90°，
∴∠AEC+∠CDE+∠AED=90°，
∴∠DCE=90°，
即BC⊥CE，
∴BC⊥CE，CD=BC+CE．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE=3，
故答案为：3；
【分析】（1）根据三角形的判定定理及全等三角形的性质对应线段、对应边相等求解；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 ∠BAD=∠CAE， 再求出 ∠DCE=90°， 最后求解即可。
24．在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
【答案】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2）
（3）解：当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2），
，即．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据SAS即可证明 与全等 ；②由①知 与全等 ，可以得出对应角 ， 再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=90°，即可得出，从而得出∠BCE；
（2）由（1）知，再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=60°，即可得出，从而得出∠BCE；
（3）首先可得出 △ ADE是等边三角形，可得出DE=AD，然后可求出 △ DCE的周长=BC+DE=BC+AD，其中BC为定值，所以当AD最小时， △ DCE的周长最小，故而可得出当AD⊥BC，即点D是BC中点时， △ DCE的周长最小。
25．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式： ；
（3）若，，求图2中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：阴影部分的面积为：
将，代入可得：
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①由图示可知：阴影部分的边长为：（a-b），所以阴影部分的面积为：（a-b）2；
故答案为：（a-b）2；
②较大正方形的面积为：（a+b）2，长方形的面积为：ab，所以阴影部分的面积为：（a+b）2-4ab；
故答案为：（a+b）2-4ab；
（2）由（1）得：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
故答案为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
【分析】（1）分别用两种方法表示阴影部分的面积即可；
（2）直接根据（1）中的两种表示方法得出等式即可；
（3）阴影部分的面积可以转化为大正方形的面积减去三个角上的直角三角形的面积，直接整体代入a+b=6和ab=8，即可求得阴影部分的面积。
26．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4.设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α.
（1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由.
（2）如图②，若90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ .探索 与 的数量关系，并说明理由.
（3）如图③，若 ＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ(90°＜γ＜180°)，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m(0°＜m＜90°).已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，且n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数.（可用含有m的代数式表示）
【答案】（1）解：EF//GH.
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°.
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∵∠1＋∠2＋∠FEG＝180°，
∠3＋∠4＋∠EGH＝180°，
∴∠FEG＋∠EGH＝180°，
∴EF//GH；
（2）解：在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，
∴∠2＋∠3＝180°－α.
∵∠1=∠2，∠1=∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2.
同理可得，∠MGE＝2∠3.
在△MEG中，∠MEG＋∠MGE＋β＝180°，
∴β＝180°－(∠MEG＋∠MGE)＝180°－(2∠2＋2∠3)
＝180°－2(∠2＋∠3)＝180°－2(180°－α)
＝2α－180°；
（3）解：90°+m或150°.理由如下：
①当n=3时，如下图所示，
∵∠BEG=∠1=m，
∴∠BGE=∠CGH=60°-m，
∴∠FEG=180°-2∠1=180°-2m，∠EGH=180°-2∠BGE=180°-2(60°-m)= 60°+2m，
∵EF//HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°，
∴∠GHK=360°-(180°-2m)-( 60°+2m)=120°，
∴∠GHC=120°÷2=30°，
在△GCH中，γ=180°-(60°-m) -30°=90°+m.
②当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，由（1）知α=90°，与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，如下图所示，
∵EF//HK，
∴∠HEF+∠EHK=180°.
∵∠1+∠BEH+∠HEF+∠DHK+∠EHK+∠CHE=360°，
∴∠1+∠BEH+∠DHK+∠CHE=180°，
∴∠BEH+∠CHE=90°.
∵ +γ+∠BEH+∠CHE =360°， ＝120°，
∴γ=150°.
综上所述：γ的度数为：90°+m或150°.
【知识点】等式的性质；平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，α=90°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH=180°，进而可得EF//GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，可得∠2+∠3=180°-α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG=2∠2，∠MGE=2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n=3时；②当n=2时.
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