2023-2024学年高二数学下学期期末模拟卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，
1.(23-24高二下.湖北期中)己知1im
f(3+△x)-f(3-AX-2,则f'(3)=（）
△X
A.-1
B.1
C.2
D.4
2.(23-24高二下广东佛山月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,己知a2+2a,+a。=68,则Sg=
()
A.272
B.270
C.157
D.153
3.(23-24高二下.重庆·月考)若随机变量X口N(90,o2)且P(X≤70)=0.12，则P(90≤X≤110)=()
A.0.12
B.0.24
C.0.28
D.0.38
4.(2324商=下江苏苏州月考)已知P(A-号P(B)-2P(回风-骨则P(B)=()
81
A号
c.
D.g
5.(23-24高二下江西·月考)已知由样本数据(X,y)i=12,3…,10)组成的一个样本，变量X,y具有线性
相关关系，其经验回归方程为y=bx+a,并计算出变量×，y之间的相关系数为0.96，
2×=-8,
之y=-15,则经验回归直线经过()
A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第一、三、四象限
6.(22-23高二下.河南洛阳·月考)根据分类变量X与Y的抽样数据，计算得到x2=3.452依据α=0.1的独
立性检验(×1=2.706)则下面说法正确的是()
A.变量X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1
B.变量X与Y不独立，该推断犯错误的概率不低于0.1
C.变量X与Y独立，该推断犯错误的概率不超过0.1
D.变量X与Y独立，该推断犯错误的概率不低于0.1
7.(23-24高二下·广东佛山·月考)甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风
电设备、石油治炼这五个项目，每个城市至少能竞得一个项目.每个项目有且只有一个城市竞得，则丁城
市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油治炼项目的概率为()
A
B.Z
c
8.(22-23高二下山西太原·月考)设随机变量X~H(10,M,1000)(2≤M≤992且M∈N),
H(2:10,M,1000)最大时，E(X)=()
A.1.98
B.1.99
C.2.00
D.2.01
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.(23-24高二下·河南·月考)已知a>0,b>0,c>0,且a,b,c成等差数列，随机变量X的分布列为
b
下列选项正确的是()
A-君
B.arc-号
c.各E()号
8
3
D.D(X)的最大值为号
10.(23-24高二下.黑龙江牡丹江·期中)已知f(x)=(2x-3)°(n∈N)展开式的二项式系数和为512，
f(x)=a+a(X-1)+a2(x-1)++a(X-1)”,下列选项正确的是()
A.a+a2+.+a=1
B.a+2a2+3a+.+na=18
C.a2=144
D.a +a +...an =39
11.(23-24高二下.河南·月考)已知函数f(x)与其导函数f'(×)的定义域均为R,且f(x)-×与f'(1-2x)
均为偶函数，则()
A.f(X+1)为偶函数
B.f()-1(x≠0)为奇函数
C.f'(x+2)+f'(x)=2
D.f'(0)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
2.(23-24高二下.湖北宜昌·月考)(2x2+1×-”
的展开式中的常数项为·（请用数字作答）
13.(23-24高二下广西河池·月考)曲线f(x)=e2x+
十12×在X=0处的切线的倾斜角为a,则
11
cos 2a
14.(23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中)产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M
件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现k件不合格品的概率为
P(X=k)-C心C生，k=tt+1,S,其中s是M与n中的较小者，t在n不大于合格品数（即n≤N-M)
CN
时取O,否则t取n与合格品数之差，即t=n-(N-M).根据以上定义及分布列性质，请计算当2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
f (3+ x) f 3 x1 ( )．（23-24 高二下·湖北·期中）已知 lim = 2，则 f ′(3) =（ ）
x→0 x
A．－1 B．1 C．2 D．4
【答案】B
f 3+Δx f 3 Δx
【解析】 f ′(3) ( ) ( )= lim =1，故选：B．
Δx→0 2Δx
2．（23-24 高二下·广东佛山·月考）设等差数列{an}的前n项和为 Sn ，已知a2 + 2a4 + a10 = 68，则 S9 =
（ ）
A．272 B．270 C．157 D．153
【答案】D
【解析】因为a2 + 2a4 + a10 = 2a4 + 2a6 = 4a5 = 68，所以 a5 =17，
9(a + a )
故 S9 =
1 9 = 9a5 =153．故选：D 2
3．（23-24 高二下·重庆·月考）若随机变量 X N (90,σ 2 )且P (X ≤ 70) = 0.12，则P (90 ≤ X ≤110) =（ ）
A．0.12 B．0.24 C．0.28 D．0.38
【答案】D
2
【解析】因为随机变量 X N (90,σ )，则根据正态分布曲线的对称性，
P(90 X 110) 1 2P(X ≤ 70) 1 2×0.12可得 ≤ ≤ = = = 0.38.故选：D.
2 2
P(A) 14．（23-24 高二下·江苏苏州·月考）已知 = , P(B A)
1
= , P(B A) 5= ，则P(B) =（ ）
5 2 8
2 1 1
A． B C 3． ． D．
5 6 5 8
【答案】A
【解析】 P(A)
1 1
= ， P(B | A) = ，
5 2
∴P (AB) = P (A)P (B | A) 1 1 1= × = ，
5 2 10
P (A) 1 P (A) 4 = = ， P (B | A) 5= ，
5 8
∴P (AB ) = P (A)P (B | A) 4 5 1= × = ，
5 8 2
∴P (A B) =1 P (AB ) 1= ， 2
又 P (A B) = P (A) + P (B) P (AB)，
1 1 1 2
∴P (B) = P (A B) P (A) + P (AB) = + = ．故选：A．
2 10 5 5
5．（23-24 高二下·江西·月考）已知由样本数据 (xi , yi )(i =1,2,3, ,10)组成的一个样本，变量 x，y 具有线性
10
相关关系，其经验回归方程为 y = b x + a ，并计算出变量 x，y 之间的相关系数为 0.96，∑ xi = 8，
i=1
10
∑ yi = 15，则经验回归直线经过（ ）
i=1
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】B
10 10
【解析】由相关系数为 0.96，知 x ， y 负相关，所以b < 0.又∑ xi = 8，∑ yi = 15，
i=1 i=1
即点 ( 0.8, 1.5)在经验回归直线上，且在第三象限，
所以经验回归直线经过第二、三、四象限.故选：B.
6．（22-23 高二下·河南洛阳·月考）根据分类变量 X 与 Y 的抽样数据，计算得到 χ = 3.452依据α = 0.1的独
立性检验（ x0.1 = 2.706）则下面说法正确的是（ ）
A．变量 X 与 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过 0.1
B．变量 X 与 Y 不独立，该推断犯错误的概率不低于 0.1
C．变量 X 与 Y 独立，该推断犯错误的概率不超过 0.1
D．变量 X 与 Y 独立，该推断犯错误的概率不低于 0.1
【答案】A
2
【解析】由独立性检验的具体检验规则及 χ = 3.452 > 2.706 = x0.1，得变量 X 与 Y 不独立，
该推断犯错误的概率不超过 0.1．故选：A
7．（23-24 高二下·广东佛山·月考）甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风
电设备、石油冶炼这五个项目，每个城市至少能竞得一个项目．每个项目有且只有一个城市竞得，则丁城
市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为（ ）
21 7
A 1． B 1． C． D．
3 2 40 8
【答案】C
【解析】5 个项目分配到 4 个城市，按照要求，必定会有两个项目分配到 1 个城市，
2 4
所以所有的分配方案有：C5 A4 = 240种.
又因为丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目，所以：
（1 2 3）若丁城市竞得 2 个项目，则有C3 A3 =18种；
（2 1 2 3）若丁城市竞得 1 个项目，则有C3 C4 A3 =108种.
所以丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为：
P 18+108 21= = ．故选：C
240 40
8．（22-23 高二下·山西太原·月考）设随机变量 X H (10, M ,1000) （2 ≤ M ≤ 992且M ∈N ），
H (2;10, M ,1000) 最大时，E(X ) =（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【答案】C
2 8
【解析】随机变量 X H (10, M ,1000) ，则H (2;10, M ,1000) = P (X C= 2) = M C1000 M
C10
，
1000
H (2;10, M ,1000) ≥ H (2;10, M +1,1000)
因H (2;10, M ,1000)
最大，则有
H (2;10, M ,1000) ≥ H (2;10, M 1,1000)
，
C2 C8 2 8M 1000 M C≥ M +1C999 M M (M 1) (1000 M )! M (M +1) (999 M )! C10 10
≥
1000 C1000 2 8!(992 M )! 2 8!(991 M )!
即 ，
C
2 C8 C2 C8 M (M 1) (1000 M )! (M 1)(M
，
2) (1001 M )!
M 1000 M M 1 1001 M ≥
≥
C10 C10 2 8!(992 M )! 2 8!(993 M )!1000 1000
(M 1)(1000 M ) ≥ (M +1)(992 M )
整理得 199.2 ≤ M ≤ 200.2M (993 M ) (M 2)(1001 M ) ，解得 ，
≥
10M 10×200
而M ∈N ，则M = 200，所以E(X ) = = = 2.00 .故选：C 1000 1000
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．（23-24 高二下·河南·月考）已知a > 0,b > 0,c > 0，且a,b,c成等差数列，随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3
P a b c
下列选项正确的是（ ）
1 2
A．b = B．a + c =
4 3
4 E (X ) 8C． < < D 2．D (X )的最大值为
3 3 3
【答案】BCD
1
a + c = 2b b = 3
【解析】对于 AB，由 a ，得+ b + c =1 ，
A 错误，B 正确；
a + c 2=
3
2
对于 C，由a + c = ,a 0,c 0
2 4 4 8
> > ，得0 < c < ，则E(X ) = a + 2b + 3c = 2c + ∈ ( , )，C 正确；
3 3 3 3 3
对于 D，D(X ) = a[1 (2c
4
+ )]2 1+ [2 (2c 4)]2 c[3 4+ + (2c + )]2
3 3 3 3
(2= c)(2c 1+ )2 1 2+ (2c )2 5 8 2 1+ c(2c )2 = 4c2 + c + = 4(c )2 2+ ，
3 3 3 3 3 3 9 3 3
c 1当 = 2时，D(X )取得最大值，且最大值为 D .3 ， 正确故选：BCD 3
10．（23-24 高二下·黑龙江牡丹江·期中）已知 f (x) = (2x 3)n (n∈N* )展开式的二项式系数和为512，
f (x) = a0 + a1 (x 1) + a2 (x 1)
2 + ...+ an (x 1)
n
，下列选项正确的是（ ）
A．a1 + a2 + ...+ an =1 B．a1 + 2a2 + 3a3 + ...+ nan =18
C．a2 =144 D a + a
9
． 0 1 + ...+ an = 3
【答案】BD
n 0 1
【解析】由已知有2 = Cn +Cn + ...+C
n 9
n = 512，故n = 9， f (x) = (2x 3) .
所以 (2x 3)9 = a0 + a1 (x 1) + a2 (x 1)
2 + ...+ a9 (x 1)
9 .
对于 A，取 x =1得 1= a0 ，取 x = 2得1= a0 + a1 + ...+ a9 ，
所以a1 + a2 + ...+ a9 =1 ( 1) = 2，A 错误；
对于 B，对 (2x 3)9 = a0 + a1 (x 1) + a2 (x 1)
2 + ...+ a9 (x 1)
9
求导得
18(2x 3)8 = a1 + 2a2 (x 1) + 3a (x 1)
2 + ...+ 9a (x 1)83 9 ，
取 x = 2得18 = a1 + 2a2 + 3a3 + ...+ 9a9，B 正确；
对于 C，在 (2x 3)9 = a0 + a1 (x 1) + a (x 1)
2
2 + ...+ a (x 1)
9
9 中用 x +1替换 x，
得 (2x 1)9 = a0 + a1x + a2x2 + ...+ a 99x .
所以a = Ckk 9 2
k ( 1)9 k (k = 0,1,...,9)，特别地对 k = 2有a2 = C29 22 ( 1)
9 2 = 144 ，C 错误；
9 k
对于 D，由ak = C
k k
9 2 ( 1) (k = 0,1,...,9)有 a0 + a1 + ...+ a9 = a0 + a1 a2 + ...+ a9 .
在 (2x 3)9 = a0 + a1 (x 1) + a2 (x 1)
2 + ...+ a (x 1)9 99 中取 x = 0得 3 = a0 a1 + a2 ... a9，
所以 a0 + a1 + ...+ a9 = a0 + a1 a2 + ...+ a9 = ( 39 ) = 39，D 正确.故选：BD.
11．（23-24 高二下·河南·月考）已知函数 f (x)与其导函数 f ′(x)的定义域均为R ，且 f (x) x 与 f ′(1 2x)
均为偶函数，则（ ）
f (x +1) f (xA )． 为偶函数 B． 1(x ≠ 0)为奇函数
x
C． f ′(x + 2) + f ′(x) = 2 D． f ′(0) = 0
【答案】BC
【解析】对于选项 A，因为 f ′(1 2x)为偶函数，所以 f ′(1+ 2x) = f ′(1 2x)，
即 f ′(1+ x) = f ′(1 x)，所以 f ′(x)关于 x =1对称，
若 f (x +1)为偶函数，则 f ( x +1) = f (x +1)，所以 f ′( x +1) = f ′(x +1)，
所以 f ′(x)关于点 (1,0)对称，这与 f ′(x)关于 x =1对称矛盾，所以 A 错误；
对于选项 B，因为 f (x) x 为偶函数，所以 f (x) x = f ( x) + x ，
f (x) f1 ( x) = 1 f x所以当 x ≠ 0 ( )时， ，即 1为奇函数，所以 B 正确； x x x
对于选项 C，因为 f (x) x 为偶函数，即 f ( x) ( x) = f (x) x ，
所以 f ′( x) +1= f ′(x) 1，所以 f ′( x) + f ′(x) = 2，
由 f ′(1+ x) = f ′(1 x)，得 f ′(x + 2) = f ′( x)，
所以 f ′(x + 2) + f ′(x) = 2，故选项 C 正确；
对于选项 D，由 f ′( x) + f ′(x) = 2，得 f ′(0) + f ′(0) = 2 ，所以 f ′(0) =1，故 D 错误.故选：BC．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
6
12．（23-24 高二下·湖北宜昌·月考） (2x2 +1) x 1 的展开式中的常数项为 .（请用数字作答）
x
【答案】10
6
1 k 6 k 1 k k k 6 2k
【解析】 x 展开式的通项Tk+1 = C 6 x ( x ) = ( 1) C6 x (k = 0,1,2,3,4,5,6)， x
为了得到常数项，与2x2 相乘的项为6 2k = 2，即 k = 4，
与 1 相乘的项为6 2k = 0，即 k = 3，
4 4 3 3
因此常数项为2× ( 1) C 6 +1× ( 1) C6 = 2×15 20 =10 .
1 1
13．（23-24 高二下· · f (x) = e2x广西河池 月考）曲线 + x 在 x = 0处的切线的倾斜角为α ，则
x +1 2
cos 2α = .
3
【答案】 /0.6
5
f ′(x) 2e2x 1 1【解析】对函数 f (x)求导，得到 = (x +1)2 2 ，
所以 f (x)在在 x = 0处的切线斜率为 f ′(0)
1 tanα= 1= ，所以 .
2 2
又因为α ∈[0,π) 5，所以 sinα = ，
5
所以cos2α
3
= 1 2sin2α = .
5
14．（23-24 高二下·黑龙江牡丹江·期中）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N 件产品中有M
件不合格品，在产品中随机抽n件做检查，发现 k 件不合格品的概率为
k n k
P (X = k ) C C= M N Mn ,k = t,t +1， ,s，其中 s是M 与 n中的较小者， t在 n不大于合格品数（即n ≤ N M ）CN
时取 0，否则 t取 n与合格品数之差，即 t = n (N M ). 根据以上定义及分布列性质，请计算当
N =16, M = 8 0时， C8C
4 +C1C3 2 2 38 8 8 +C8C8 +C8C
1 +C4C08 8 8 = ；若 N = 2n, M = n ，请计算
C0C1 +C1 2 2 3 n 2 n 1 n 1 nn n nCn +CnCn + +Cn Cn +Cn Cn = .（两空均用组合数表示）
【答案】 C416 C
n 1 n+1
2n (或C2n )
CkC4 k
【解析】当 N =16, M = 8,n = 4时，P (X = k ) = 8 84 , k = 0,1,2,3,4 , C16
C0C4 C1C3 C2C2 C3C1 C4 0
因为 8 8 + 8 8 8 8
C
4 4 + 4 +
8 8 + 8 8 =1，
C16 C16 C
4 4
16 C16 C16
0 4
所以C8C8 +C
1C3 +C28 8 8C
2 +C3C1 +C4C08 8 8 8 8 = C
4
16 .
当 N = 2n, M = n 时，
C0Cn 1 C1 Cn 2 C2Cn 3 Cn 2C1 Cn 1 0
因为 n n + n n + n n + + n n + n
Cn
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 =1, C2n C2n C2n C2n C2n
C0Cn 1 +C1 n 2 2 n 3 n 2 1 n 1 0 n 1所以 n n nCn +CnCn + +Cn Cn +Cn Cn = C2n ,
C0C1 +C1 C2 +C2C3 + +Cn 2Cn 1 +Cn 1 n所以 n n n n n n n n n Cn
= C0 n 1 1 n 2 2 n 3 n 2 1 n 1 0 n 1 n+1nCn +CnCn +CnCn + +Cn Cn +Cn Cn = C2n = C2n .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（23-24 高二下·辽宁·期中）已知数列{a } n S , S 5 n2 1n 的前 项和为 n n = n (n∈N* ) . 2 2
（1）求{an}的通项公式；
1
（2）若bn = ，求数列{ba a n}的前n项和Tn . n n+1
n
【答案】（1）a *n = 5n 3， n∈N ；（2） 10n + 4
5 1
【解析】（1） n∈N*，有 Sn = n
2 n，
2 2
∴ S 5 (n 1)2 1当 n ≥ 2时，有 n 1 = (n 1)， 2 2
5 2 1 5 2 1
两式相减得an = Sn Sn 1 = n n (n 1) (n 1)
= 5n 3，
2 2 2 2
5 2 1
当 n =1时，由 Sn = n n，得a1 = 2， 2 2
检验：当n =1时也满足an = 5n 3，
所以an = 5n 3n∈N
*
b 1 1 1 1 1= = = （2）由（1）知， n anan+1 (5n 3)(5n + 2) 5 5n 3 5n 2
， +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以Tn = b1 + b + + b =
2 n 5 2 7
+ + +
5 7 12 5 5n 3 5n + 2
1 1 1 n n=
= =5 2 5n + 2 2(5n + 2) 10n + 4 ，
n
所以Tn = . 10n + 4
16．（15 分）（23-24 高二下·四川遂宁·期中）已知函数 f (x) = x2 ex ．
（1）求函数 f (x)的单调区间．
（2）若对 x∈[ 1,2]， f (x) m > 0恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） ( ∞,0)
【解析】（1）因 f ′ (x) = 2xex + x2ex = x(x + 2)ex ，
由 f ′(x) > 0可解得， x< 2或 x > 0；由 f ′(x) < 0 可解得， 2 < x < 0 .
故函数 f (x)的单调递增区间为： ( ∞, 2)和 (0,+∞)；
函数 f (x)的单调递减区间为： ( 2,0) .
（2）因 f (x) m > 0等价于m < f (x)，依题意，要求函数 f (x)在区间[ 1,2]上的最小值.
由（1）知，函数 f (x)在区间 ( 1,0) 上单调递减，在区间 (0,2)上单调递增，
故当 x = 0时，函数 f (x) = f (0) = 0min ，故得m < 0 .
即实数m 的取值范围为 ( ∞,0) .
17．（15 分）（23-24 高二下·贵州贵阳·月考）中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从 2015 年在贵
阳开办，至今已过 9 年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市
2
随机抽取了 1000 名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布 N (77,σ )，且
P (77 ≤ ξ ≤ 80) = 0.3 .
（1）估计抽取市民中问卷成绩在 80 分以上的市民人数；
（2）若本次问卷调查得分超过 80 分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取 3 名
市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1）200 人；（2）分布列见解析，0.6
2
【解析】（1）因为随机变量ξ近似服从正态分布 N (77,σ )，且P (77 ≤ ξ ≤ 80) = 0.3，
所以P(ξ > 80) = 0.5 P (77 ≤ ξ ≤ 80) = 0.2，所以1000×0.2 = 200，
所以估计抽取市民中问卷成绩在 80 分以上的市民人数为 200 人.
（2）由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为 0.2，且 X B (3,0.2)，
k
所以随机变量 X 的分布列为P (X = k ) = C3 0.2k ×0.83 k , k = 0,1,2,3，
所以随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
所以随机变量 X 的均值为 E (X ) = 3× 0.2 = 0.6 .
18．（17 分）（23-24 高二下·江西景德镇·期中）近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司
计划对未开通共享单车的 A 县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以
及年使用人次进行了统计，得到了投放量 x（单位；千辆）与年使用人次 y（单位：千次）的数据如下表所
示，根据数据绘制投放量 x 与年使用人次 y 的散点图如图所示．
x 1 2 3 4 5 6 7
y 5 16 28 38 64 108 196
拟用模型① y = 28.32x 48.28或模型② y =10c+dx对两个变量的关系进行拟合，令 t = lg y，可得
7 7 7 7 7
∑ y1 = 455，∑ ti =11.06，∑ x2i =140，∑ xi yi = 2613，∑ xiti = 51.04，变量 y 与 t 的标准差分别为
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
sy = 62.23， st = 0.494．
（1）根据所给的统计量，求模型② 中 y 关于 x 的回归方程；（结果保留小数点后两位）
（2）计算并比较两种模型的相关系数 r（结果保留小数点后三位），求哪种模型预测值精度更高、更可
靠；
（3）已知每辆单车的购入成本为 200 元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次 0.2 元，按用户每使用
一次，收费 1 元计算，若投入 8000 辆单车，利用（2）中更可靠的模型，预测几年后开始实现盈利．（结
果保留整数）
n
∑ xi yi nx y
附，样本点 (xi , yi )(i =1,2, , n)的线性回归方程 y = a + b x 最小二乘估计公式为b = i=1n ，
∑ x2i nx 2
i=1
n
∑ xi yi nx y
r = i=1a = y bx ，相关系数 n n
∑ x2i nx 2 ∑ y2i ny 2
i=1 i=1
参考数据：102.54 ≈ 347．
【答案】（1） y =100.62+0.24x ；（2）0.910；0.972；模型②预测值精度更高、更可靠；（3）6 年.
【解析】（1）据题意可知 y =10c+dx lg y = t = c + dx，
x 1+ 2+ + 7 11.06= = 4， t = =1.58，
7 7
d 51.04 7×4×1.58 6.8= 2 = = 0.24， c =1.58 4×0.24 = 0.62， 140 7×4 28
故：模型②中 y 关于 x 的回归方程为 t = 0.62+ 0.24x y =100.62+0.24x ；
n n
∑ x y nx y ∑ x2 nx 2i i i 2
2 r = i=1（ ）因为 = b
s
i=1 = b x
n n 且n s s
140 7×4
x = = 2，
∑ x2i nx 2 ∑ y2 ny 2 ∑ y2 ny 2 y 7i i
i=1 i=1 i=1
2 56.64
所以模型①的相关系数 r1 = 28.32× = ≈ 0.910 ， 62.23 62.23
模型②的相关系数 r2 = 0.24
2 0.48
× = ≈ 0.972，
0.494 0.494
因此 r1 < r2 ，模型②预测值精度更高、更可靠；
（3）设预计 n 年后开始盈利，
将 x = 8代入 y =100.62+0.24x 中，得 y =102.54 = 347，
n 年后的利润为W = (1 0.2)×1000n y 200×8000 = 277600n 160000，
要使W > 0，只需n > 5.76，且n∈N+故：预测 6 年后开始实现盈利.
19．（17 分）（23-24 高二下·浙江舟山·月考）已知集合A 中含有三个元素 x, y, z，同时满足① x < y < z ；②
x + y > z；③ x + y + z 为偶数，那么称集合A 具有性质 P .已知集合 Sn = {1,2,3, , 2n} (n∈N*, n ≥ 4) ，对于
集合 Sn 的非空子集 B ，若 Sn 中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a + b,b + c,c + a均属于 B ，则称集合 B
是集合 Sn 的“期待子集”.
（1）试判断集合 A = {1,2,3,5,7,9}是否具有性质 P ，并说明理由；
（2）若集合B = {3,4, a}具有性质 P ，证明：集合 B 是集合 S4 的“期待子集”；
（3）证明：集合M 具有性质 P 的充要条件是集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
【答案】（1）不具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）集合 A = {1,2,3,5,7,9}不具有性质 P ，理由如下：
（i）从集合A 中任取三个元素 x, y, z均为奇数时， x + y + z 为奇数，不满足条件③
（ii）从集合A 中任取三个元素 x, y, z有一个为2，另外两个为奇数时，
不妨设 y = 2， x < z ，则有 z x ≥ 2，即 z x ≥ y ，不满足条件②，
综上所述，可得集合 A = {1,2,3,5,7,9}不具有性质 P .
（2）证明：由3+ 4+ a 是偶数，得实数a是奇数，
当 a < 3 < 4时，由a + 3 > 4，得1< a < 3，即a = 2，不合题意，
当3 < 4 < a 时，由3+ 4 > a，得4 < a < 7 ，即a = 5，或a = 6（舍），
因为3+ 4+ 5 =12是偶数，所以集合B = {3,4,5}，
令 a + b = 3,b + c = 4,c + a = 5，解得a = 2,b = 1,c = 3，
显然a,b,c∈S4 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以集合 B 是集合 S4 的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合M 是集合 Sn 的“期待子集”时，
存在三个互不相同的a,b,c，使得a + b,b + c,c + a均属于M ，
不妨设a < b < c，令 x = a + b， y = a + c， z = b + c，则 x < y < z ，即满足条件①，
因为 x + y z = (a + b) + (a + c) (b + c) = 2a > 0，所以 x + y > z，即满足条件②，
因为 x + y + z = 2(a + b + c)，所以 x + y + z 为偶数，即满足条件③，
所以当集合M 是集合 Sn 的“期待子集”时，集合M 具有性质 P .
再证必要性：
当集合M 具有性质 P ，则存在 x, y, z，
同时满足① x < y < z ；② x + y > z；③ x + y + z 为偶数，
a x + y + z x + y + z x + y + z令 = z ，b = y， c = x，则由条件①得a < b < c，
2 2 2
a x + y + z z x + y z由条件②得 = = > 0，
2 2
由条件③得a,b,c均为整数，
x + y + z z + x y z + ( z y) y
因为 z c = z + x = > = z y > 0，
2 2 2
所以0 < a < b < c < z，且a,b,c均为整数，所以a,b,c∈Sn ，
因为a + b = x, a + c = y,b + c = z ，
所以a + b,b + c,c + a均属于M ，
所以当集合M 具有性质 P 时，集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
综上所述，集合M 是集合 Sn 的“期待子集”的充要条件是集合M 具有性质 P .
