2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练一
数 学
参考答案与评分标准
一、选择题: 本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D C B A C D
二、选择题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ABC CD ABD
三、填空题: 本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. , 13. 14. ; （第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题: 本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
a
（1）由于 a ，故T ， ，（1分） T
a a
故数列 n 是首项为 1，公差为 1的等差数列，因此 n n .（2分）
Tn Tn
an nTn，当 n 时， an n Tn .
a nT
故 n n
T a na
.（3分）又
n a ， a ，故 n n ，（4分）
an n T n nn Tn an n
a n n因此 n ，（5分） an n
n
.当 n 时， a 同样成立.（6分）
n n n n
n
综上， an .（7分）n
n
（2）由于 an nTn， an ，故Tn .（8分）n n
n
n n .（9分）
Tn
设 Sn
... n n，（10分）
S 则 n ... n n .（11分）
1
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
Sn Sn ，得 S
n
n ... n n .（12分）
S n n 整理得 n .（13分）
16.（15分）
cos ADB BD cos ADC CD
（1）由余弦定理， ， ,（1分）
BD CD
ADB ADC ，因此 cos ADB cos ADC .（2分）
BD CD
故 .（3分）
BD CD
整理得 BD CD BD CD BD CD .
由于 BD CD ，故 BD CD .（4分）
因此 BD CD BD CD ，当且仅当 BD .CD 时取等.（5分）
综上， BD CD的最小值为 4.（6分）
（2）设 BAD ， CAD BAD，则 CAD ，
B C ， ADB .（7分）
sin
由正弦定理， sin ，整理得 cos cos .
解得 cos 或 .（8分）由于 BAC ，故 ， .
因此 cos ， ，B C ， DAC .故BD ,CD .（9分）
PA AB ,PB ,PA AB PB ，因此 PA AB .
PA AB,PA AD
AB AD A ，因此 PA 平面ABD .（10分）
AB 平面ABD, AD 平面ABD
以 A为原点，建立图示的空间直角坐标系 A xyz .
则D , , ，P ， ， ，B ， , .（11分）
2
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
AP
, , , AB , , ,
m AP
设平面 PAB的法向量为m a,b,c ，则
m AB
因此 c ,a b .设 a ，则b .故m , , .（12分）
DP , , ,DB , , ,
n DB
设平面 PBD的法向量为 n x, y, z ，则 .
n DP
y z
因此 .令 x ，则 y , z .故 n , , .（13分）
x y
cos m,n m n .（14分）
m n
设二面角 A BP D的平面角为 ，可知 为锐角，因此 cos .故 cos .
综上，余弦值为 .（15分）
17.（15分）
（1）设事件 A=第一次抽到数字 1，事件 B=第二次抽到数字 4，（1分）因此
P A ,P B A , P B A ,（3分）
P B P B A P A P B A P A ,（5分）
P B A P A 因此 P AB .（6分）P B
（2）X的可能取值为 2,3,4；（7分）
若 X=2,则初始值为 2的卡片抽到两次，初始值为 3的卡片抽到一次，或初始值为 1的卡片
抽到两次，初始值为 2的卡片抽到一次.（8分）
P X C 因此 C ；（9分）
若 X=4，则可能三次抽到同一张初始值为 2,3或 4 的卡片，或三次分别抽到初始值为 2,3,4
的卡片，或两次抽到初始值为 4的卡片一次抽到初始值为 3的卡片，或两次抽到初始值为 3
一次抽到初始值为 2的卡片,或两次抽到初始值为 2的卡片，一次抽到初始值为 4的卡片.
3
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
（10分）
P X A
因此 C .（11分）
故 P X P X P X .（12分）
分布列为
X 2 3 4
P
（14分）
E X .（15分）
18.（17分）
（1）C的焦距为 ，故 c ， c .（1分）
过点 , 的直线 l与C交于 A,B两点，当 l平行于 x轴时，直线 l的方程为 y .点 A,B关
于 y轴对称，且 AB ，故 A ， .（2分）
带入双曲线的方程，得 .又 a b c ，解得 a ,b .（4分）a b
因此C : x y .（5分）
（2）当 l的斜率不存在时，不妨设 A , ，B , ，点 P在直线 x 上，故PA 与 PB
不可能相等，故不成立.因此 l的斜率一定存在.（6分）
设 l : y kx ，
y kx k x ，整理得 kx .（7分）
x
y
且 k ，解得 k 且 k .（8分）
设 A x , y ,B x , y x x
k
，故 k
， x x .（9分） k
设线段 AB x , y x x k 的中点坐标为 ，则 x ，y kx k k .（10分）
k
故线段 AB的中垂线为 y x x .（11分）k k k k k
x 将 P 带入，解得 y P
. k k
4
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
P 因此 , .（12分）
k k
PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，故点 P到 l的距离 d AB .
k
d k k
；（13分）
k
AB k x x k x x x x k k
.（14分） k
k
k k
因此 k k ，（15分）k k
整理得 k k k k .
化简得 k k k .由于 k ，故 k .（16分）
l : y 因此 x .（17分）
19.（17分）
1 f ' x ae x e x（ ） ，（1分）
①当 a 时， f ' x ，因此 f x 在 R上单调递增；（2分）
a f ' x R f ' x x ln ②当 时，可知 在 上单调递减，令 ，解得 .（3分）
a
x , ln f ' x f x x ln 因此当 时， ， 单调递增；当 , 时，
a a
f ' x ， f x 单调递减；（4分）
综上，当 a 时， f x 在 R上单调递增；当 a 时， f x 在 ， ln 上单调
a
递增；在 ln , 上单调递减.（5分）
a
（2）（ⅰ） f x b ln a g x ，即 ae x e x b ln x b x b a ln a .
设 y ae x e x b y y，将式子中的 x 与 y 互换，得 x ae e b .化简后即得
5
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
y ln x b x b a ln a .( a , x )
x
因此曲线 y ae e x b与 y ln x b x b a ln a的图像关于直线 y x
对称.
x x x x
因此 ae e b ln x b x b a ln a等价于 y ae e b x .
由于 a e e e ，因此 e e x e x x b 在 ， 上恒成立.
h x e e e x e x设 x b，
x x
h' x e e e x e x e e e e x ，令 h' x ，解得 x .e
h x 在 , 上单调递减，在 ， 上单调递增.
当 x 时， h x 的最小值为 h b e .
b e b e ，解得 ;
（ⅱ x x）同理，b ln ，故只需 ae e x ln .
e x x ln
整理得 a .
e x
e x x ln e x x ln
设H x x ，H ' x x .e e
m x e x 令 x ln x，m' x e .
m' ln ，当 x , ln 时，m' x ；当 x ln , 时，m' x .
m ln ,m ln ln ,m ln ,
因此存在 x , ln ，使得m x .
因此H x 在 , x 上单调递减， x , ln 上单调递增， ln , 上单调递减.
H ln ，H ln .
由于 ln ，故H x 的最大值为 .
a 因此 .
6
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}绝密★启用前 试卷类型:A
2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练一
数 学
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题
卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知复数 z满足 i z i，则 z
A. B. C. D.
2. 若抛物线 y ax a 的焦点到准线的距离为 a，则 a
A. 2 B. C. 4 D.
3. 若函数 y log f x 的定义域和值域均为 R，则 f x 的表达式可以为
A. x B. x C. x e x D. x e x
n
4. a若 x b (a,b,n N
)的展开式中存在常数项，则 n的最小值为
x
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 已知事件 A,B相互独立，且 P AB P A B ，则 P AB 的最大值为
A. B. C. D. 1
数学试卷 （第 1页，共 4页）
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
6. 从棱长为 2的正方体的六个面的中心中任取三点，记其构成的三角形面积为随机变量 X ，
则 E X
A. B. C. D.
7. *已知数列 an 满足 an an ，a Z ，若 M ，使得 n N ，an M 恒成
立，则 a 的所有可能值之和为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8. 已知点 A , ，Q , ，⊙ P与直线 x 相切于点 B，过点 A且垂直于 AP的直线与
⊙ P 交于C,D两点，且 sin CBD .则PQ PA 的最小值为
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
二、选择题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 记以棱长为 2的正四面体的各边中点为顶点的多面体为 ，则
A. 的体积为 B. 的表面积为
C. 的外接球的表面积为 D. 相邻两面的夹角为
10. 设直线 y k x t 与圆 x y 交于 A,B两点，O为坐标原点，若在 k变化的过程
中， AOB的面积存在最大值，则 t的值可以为
A. B. C. D.
11. x曲线 y e 与 y ln x的两条公切线为 l 、 l ，其斜率分别为 k ,k ， l 与 l 的交点为
x , y ，四个切点的横坐标由小到大依次为 x , x , x , x ，则
A. k k B. x x x C. x x x
D. x ,
三、填空题: 本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. A x x 设集合 ax ，B x x ，若 A B，则实数 a的取值范围为
__________.
数学试卷 （第 2页，共 4页）
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
13. 如图，点 A,B,C是函数 f x Asin x A , , 与坐标轴的交
点，且 ABC为直角三角形， ABC ，则 A =__________.
C : x
y
14. 已知椭圆 a b 的左、右焦点分别为F ，F ，P为C上一点.若a b
PF F
的内切圆半径与外接圆半径之比为 ， F PF ，则C的离心率为________;
PF F 的内切圆半径与外接圆半径的比值的最大值为__________.
四、解答题: 本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
a
已知正项数列 an 的前 n项积为T nn， a ，数列 是公差为 1的等差数列. Tn
（1）求数列 an 的通项公式;
n
（2）求数列 的前 n项和.
T
n
16.（15分）
如图， ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，D为边 BC上一点，b c ，
AD .
（1）求 BD CD的最小值;
（2）若 CAD BAD ,将 ACD沿 AD折起，使点C落在点 P处，且 BP .
求二面角 A BP D的余弦值.
数学试卷 （第 3页，共 4页）
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
17.（15分）
现有分别标有数字 1,2,3,4的四张卡片，每次从中随机抽取一张卡片，将卡片上的数字
增加 1后放回.
（1）若第二次抽到数字 4，求第一次抽到数字 1的概率;
（2）经过三次抽取后，记四张卡片上共有 X 个不同的数字，求 X 的分布列及数学期
望.
18.（17分）
C : x y
已知双曲线 a ,b 的焦距为 ，过点 , 的直线 l与C交于a b
A,B两点，当 l平行于 x轴时， AB .
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）设点 P为直线 x 上一点，且 PAB 是以 AB为斜边的等腰直角三角形，求直
线 l的方程.
19.（17分）
已知函数 f x ae x e x .
（1）讨论函数 f x 的单调性;
（2）设函数 g x ln x b x bx b a ， a ，b R，且对于任意
x , ， f x b ln a g x 恒成立.
（ⅰ ）若 a e e ，求b的取值范围; （ⅱ）若b ln ，求 a的取值范围.
数学试卷 （第 4页，共 4页）
{#{QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=}#}
