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专题06 平行四边形的判定及综合
知识点一平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5.两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
【典例1】（2023秋 岱岳区期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：
（1）AB＝DC，AD∥BC；（2）AB＝CD，AB∥CD； （3）AB∥CD，AD∥BC；
（4）OA＝OC，OB＝OD； （5）AB＝CD，AD＝BC．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（2023秋 绥化期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2．（2022秋 台江区校级期末）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个全等三角形 C．两个锐角三角形 D．两个直角三角形
3．（2023秋 沂源县期末）如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ）
A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD
4．（2023秋 绥化期末）如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形．现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形AECF为平行四边形．（图中不再添加点和线）
5．（2023秋 蓬莱区期末）在平面直角坐标系中A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），要使四边形A、B、C、D为平行四边形，则顶点C的坐标是 ．
6．（2023春 礼泉县期末）如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE．
求证：四边形ABCE是平行四边形．
7．（2023秋 高青县期末）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE．
（1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
8．（2023秋 杜尔伯特县期末）如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
知识点二 三角形的中位线
1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
【典例2】（2023春 南谯区期末）△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
【变式训练】
1．（2023秋 高州市期末）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N．若MN的长为18米，则A，B间的距离是（ ）
A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
2．（2022秋 钢城区期末）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（2023秋 驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023春 柳州期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
5．（2023秋 睢宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D、E分别是AB、AC的中点，CF是∠ACB的平分线，交ED的延长线于点F，则DF的长是 ．
6．（2023秋 淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．
（1）求证：∠AEN＝∠F；
（2）若∠A+∠ABC＝122°，求∠F的大小．
7．（2023春 迁安市期末）数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线：
甲：延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理；
【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是 ；
A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确
【定理应用】如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离 m．
知识点三 反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。
(3)反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【典例3】（2023秋 新安县期末）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
【变式训练】
1．（2023秋 射洪市期末）利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的两个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的两个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45°
2．（2023秋 淮阳区期末）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
3．（2023秋 邯郸期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
4．（2023秋 宽城区期末）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法
5．（2022秋 沈丘县期末）用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 ．
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专题06 平行四边形的判定及综合
知识点一 平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5.两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
【典例1】（2023秋 岱岳区期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：
（1）AB＝DC，AD∥BC；（2）AB＝CD，AB∥CD； （3）AB∥CD，AD∥BC；
（4）OA＝OC，OB＝OD； （5）AB＝CD，AD＝BC．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可．
【解析】解：（1）由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
（2）由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（3）由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（4）由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（5）由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【变式训练】
1．（2023秋 绥化期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【点拨】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．
B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于基础题．
2．（2022秋 台江区校级期末）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个全等三角形 C．两个锐角三角形 D．两个直角三角形
【点拨】因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答．
【解析】解：∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，
∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，本题的关键是明确平行四边形的特征：两组对边平行且相等．
3．（2023秋 沂源县期末）如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ）
A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD
【点拨】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故D不正确，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故ABC正确，
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．
4．（2023秋 绥化期末）如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形．现在请你添加一个适当的条件： BE＝DF ，使得四边形AECF为平行四边形．（图中不再添加点和线）
【点拨】添加条件是BE＝DF，根据三角形全等的性质和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明．
【解析】解：添加的条件：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD
∴∠AEF＝∠EFC
∴AE∥FC
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：BE＝DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
5．（2023秋 蓬莱区期末）在平面直角坐标系中A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），要使四边形A、B、C、D为平行四边形，则顶点C的坐标是 （3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3） ．
【点拨】利用平行四边形的性质列出等式，可求解．
【解析】解：若AB为边，∵A，B的坐标分别是（0，0），（5，0），
∴AB＝5，
∵四边形A、B、C、D为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD＝5，
∵D（2，3），
∴可设C点坐标为（x，3），
∴CD＝|x﹣2|＝5，解得x＝7或x＝﹣3，
∴C点坐标为（7，3）或（﹣3，3），
若AB为对角线，设点C（a，b），
∴0+5＝a+2，0+0＝3+b，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴点C坐标为（3，﹣3），
故答案为：（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（2023春 礼泉县期末）如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE．
求证：四边形ABCE是平行四边形．
【点拨】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定平行四边形即可．
【解析】解：∵BD是△ABC的AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理，难度不大．
7．（2023秋 高青县期末）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE．
（1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【点拨】（1）由平行四边形的性质可得出答案；
（2）根据ASA证明△ABE≌△CDF，由全等三角形的性质得出AE＝CF，AE∥CF，则可得出结论．
【解析】（1）解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠BCF＝65°×2＝130°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2023秋 杜尔伯特县期末）如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DAF＝∠AFB，由已知得出∠BAF＝∠DAF，得出∠AFB＝∠BAF，证出BF＝AB＝8，即可得出答案；
（2）证出四边形AFCE是平行四边形，再证明四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，得出四边形EGFH是平行四边形，即可得出EF和GH互相平分．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠BCD，∠ABF＝∠CDE，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴BF＝AB＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣8＝4；
（2）证明：∵∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠FCE＝∠DCE，
∵∠DAF＝∠AFB，
∴∠FCE＝∠AFB，
∴AF∥CE，
ABCD中，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∵AF∥CE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF和GH互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
知识点二 三角形的中位线
1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
【典例2】（2023春 南谯区期末）△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
【点拨】（1）延长BD交AC于E，证△BAD≌△EAD，推出AB＝AE，BD＝DE，根据三角形的中位线性质得出DM＝CE即可；
（2）根据勾股定理求出AB，求出AE，根据三角形的中位线求出CE，即可得出答案．
【解析】（1）证明：延长BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵M为BC的中点，
∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；
（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，
∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，
∵DM＝2，DM＝CE，
∴CE＝4，
∴AC＝10+4＝14．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAD，题目比较好，难度适中．
【变式训练】
1．（2023秋 高州市期末）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N．若MN的长为18米，则A，B间的距离是（ ）
A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
【点拨】根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN，
∵MN＝18米，
∴AB＝36米，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
2．（2022秋 钢城区期末）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【点拨】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝，BD＝BC＝2，再结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出DF＝BD＝2，再代入EF＝DE﹣DF计算即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBD，
∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝，BD＝BC＝2，
∴∠ABF＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠FBD，
∴DF＝BD＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3．（2023秋 驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
4．（2023春 柳州期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【点拨】根据中位线定理求得PM和PN的长，然后证明△PMN是等边三角形即可证得．
【解析】解：∵P、N是AB和BD的中点，AD＝BC，BC＝8，
∴PN＝AD＝×8＝4，PN∥AD，
∴∠NPB＝∠DAB＝50°，
同理，PM＝4，∠MPA＝∠CBA＝70°，
∴PM＝PN＝4，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN＝PM＝PN＝4，
∴△PMN的周长是12．
故选：B．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
5．（2023秋 睢宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D、E分别是AB、AC的中点，CF是∠ACB的平分线，交ED的延长线于点F，则DF的长是 4 ．
【点拨】根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理求出DE、EC，根据等腰三角形的性质求出EF，计算即可．
【解析】解：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝13，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝，EC＝AC＝，DE∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠FCB＝∠FCE，
∴∠F＝∠FCE，
∴EF＝EC＝，
∴DF＝EF﹣DE＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
6．（2023秋 淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．
（1）求证：∠AEN＝∠F；
（2）若∠A+∠ABC＝122°，求∠F的大小．
【点拨】（1）根据三角形中位线定理得到PM∥BC，，求得∠PMN＝∠F，同理 PN∥AD，，等量代换即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠PNB＝∠A，根据三角形外角的性质得到∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，根据平行线的性质得到∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM是△BDC的中位线，
∴PM∥BC，，
∴∠PMN＝∠F，同理 PN∥AD，，
∴∠PNM＝∠AEN，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理即可得到结论．
7．（2023春 迁安市期末）数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线：
甲：延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理；
【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是 D ；
A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确
【定理应用】如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离 （2b﹣a） m．
【点拨】【定理证明】由平行四边形的判定可得出四边形DBCF是平行四边形，得出DF＝BC，DF∥BC，可证出结论；
【合作交流】根据三角形中位线定理的证明解答即可；
【定理应用】由三角形中位线定理的结论可得出答案．
【解析】【定理证明】解：∵E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠DAE＝∠ECF，
∴BD∥CF，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC＝DF＝2DE，BC∥DE；
【合作交流】乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF，推出四边形ADCF是平行四边形，得到BD＝CF，BD∥CF，因此四边形DBCF是平行四边形，即可证明．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，根据全等三角形的判定和性质得出BG＝AH，AH＝CF，推出四边形BGCF是矩形，即可证明．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F，根据全等三角形的判定和性质得出AF＝CG，AF＝BG，即可证明．
故答案为：D．
【定理应用】连接AN并延长交BC延长线于G，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠NCG，∠DAN＝∠G，
∵N是DC中点，
∴ND＝NC，
∴△ADN≌△GCN（AAS），
∴AN＝NG，AD＝CG，
∵M是AB中点，
∴MN是△ABG的中位线，
∴MN＝BG，
∵BG＝BC+CG＝BC+AD，
∴MN＝（AD+BC）．
∵AD＝a m，MN＝b m，
∴BC＝（2b﹣a）m，
故答案为：（2b﹣a）．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的判定和性质，梯形，关键是通过作辅助线构造平行四边形，应用平行四边形的性质证明三角形中位线定理；通过作辅助线构造全等三角形，应用三角形中位线定理，证明梯形中位线定理．
知识点三 反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。
(3)反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【典例3】（2023秋 新安县期末）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
【点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解析】解：“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．”第一步应假设：a≠0，b≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【变式训练】
1．（2023秋 射洪市期末）利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的两个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的两个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45°
【点拨】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
2．（2023秋 淮阳区期末）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
【点拨】根据反证法的步骤，直接选择即可．
【解析】解：根据反证法的步骤，得：
第一步应假设a＜b不成立，即a≥b．
故选：D．
【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是解答本题的关键．
3．（2023秋 邯郸期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
【点拨】利用反证法的一般步骤判断即可．
【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，
则三角形的三个内角的和大于180°，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°，
所以这四个步骤正确的顺序是③④①②，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
4．（2023秋 宽城区期末）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法
【点拨】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解析】解：推理使用的证明方法反证法，
故选：B．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．（2022秋 沈丘县期末）用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 |a|≥2 ．
【点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解析】解：用反证法证明“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设|a|≥2．
故答案为：|a|≥2．
【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
知识网络
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