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专题07 矩形的性质与判定
知识点一 矩形的性质
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形
2.性质： ①边：对边平行且相等；
②角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相平分且相等；
④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．
中心对称图形（对称中心为对角线的交点）
【典例1】（2023春 桓台县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OE，若AB＝2，BC＝4，求OE的长．
【点拨】（1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，欲求OE，只需在直角△OEF中求得OF、FE的值即可．OF结合三角形中位线求得EF，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥CE．
∵Ac∥DE．
∴四边形ACED是平行四边形．
∴AC＝DE．
在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴BD＝DE
（2）解：作OH⊥BE于H，如图．
在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC与BD交于点O，
∴OB＝OC＝OA．
∴BH＝HC． ，
∵AB＝2，BC＝4，
∴OH＝1，HC＝2．
在平行四边形ACED中，AD＝CE．
∴CE＝BC＝4．
∴HE＝6．
在Rt△OHE中，OE＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春 洛江区期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形的对角线长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【点拨】根据矩形的性质可证△AOB是等边三角形，可得AO＝2.5即可求AC的长．
【解析】解∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO
∴AO＝BO
∵∠AOD＝120°
∴∠AOB＝60°且AO＝BO
∴△ABO是等边三角形
∴AO＝BO＝AB＝2.5
∴AC＝5
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键．
2．（2023秋 鹤壁期末）如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后减小
【点拨】如图，连接CR，先说明明CR的长度是定值，再证明EF＝CR，可得EF的长度是定值，从而可得答案．
【解析】解：如图，连接CR，
∵在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，
∴CR的长度是定值，
∵E，F分别是RP，PC的中点，
∴EF＝CR，
∴EF的长度是定值．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键．
3．（2023秋 龙口市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【点拨】连接CE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得AE＝CE，S△BOE＝S△COE＝5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出AE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解析】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5，
∴S△ACE＝2S△COE＝10．
∴AE CD＝10，
∵CD＝4，
∴AE＝EC＝5，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝＝3．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2023秋 兴庆区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 18 ．
【点拨】过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，证明S四边形GPFD＝S四边形EPHB，从而S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB，求出S△DPF的值即可求出整个阴影部分的面积．
【解析】解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，
由矩形性质可知，
S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP，
∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，
即S四边形GPFD＝S四边形EPHB，
∴S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．
∵GP＝AE＝2，PF＝9，
∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．
即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB＝9+9＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键．
6．（2022春 安乡县期末）如图，在矩形ABCD中，M为AD的中点，连接MB，MC．
（1）求证：∠ABM＝∠DCM；
（2）若∠BMC＝70°，求∠ABM的度数．
【点拨】（1）根据矩形的性质得到AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BM＝CM，求得∠MBC＝∠MCB，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM与△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴∠ABM＝∠DCM；
（2）解：∵△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵∠BMC＝70°，
∴∠MBC＝×（180°﹣70°）＝55°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝35°，
故∠ABM的度数为35°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7．（2023春 朝阳区期末）如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝DF；
（2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明．
【点拨】（1）根据矩形的性质得到AD＝BC，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠AFD，根据角平分线的定义得到∠BAF＝∠DAF，于是得到结论；
（2）连接BD，BG，CG，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠BEA，根据角平分线的定义得到∠BAF＝∠DAF，求得∠BAE＝AEB，推出AB＝BE＝DC，根据等腰直角三角形的性质得到EG＝CG＝FG，∠ECG＝∠FCG＝45°，根据全等三角形的判定和性质得到BG＝DG，∠DGC＝∠BGE，求得BD2＝2DG2，等量代换即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AFD，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴BC＝DF；
（2）解：AD2+CD2＝2DG2．
证明：连接BD，BG，CG，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAE＝∠AEB，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝DC，
∵∠BCF＝90°，∠CEF＝∠AEB＝45°，
∴∠F＝45°，
∵G是EF的中点，
∴EG＝CG＝FG，∠ECG＝∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
∵BC＝DF，
∴△DCG≌△BEG（SAS），
∴BG＝DG，∠DGC＝∠BGE，
∵∠CGE＝90°，
∴∠BGD＝90°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BD2＝2DG2，
∵AB2+AD2＝BD2，AB＝CD，
∴AD2+CD2＝2DG2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
知识点二 矩形的判定
矩形的判定方法：
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 有三个角是直角的四边形是矩形；
3. 对角线相等的平行四边形是矩形.
【典例2】（2023春 应县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD＝180°，求证：四边形AECF是矩形．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，再证△AEO≌△CFO（ASA），得OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）证∠EAO＝∠CFO，再证OC＝OF，然后证AC＝EF，即可得出结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵∠EAO+∠CFD＝180°，∠CFO+∠CFD＝180°，
∴∠EAO＝∠CFO，
∵∠EAO＝∠FCO，
∴∠FCO＝∠CFO，
∴OC＝OF，
由（1）可知，OA＝OC，OE＝OF，
∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 项城市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO
【点拨】根据矩形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
【解析】解：∵四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当AB⊥AD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当OA＝OB时，AC＝BD，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠BAO＝∠ABO时，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
2．（2023秋 凤城市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD
【点拨】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
【解析】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
3．（2023秋 梅县区期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
【点拨】由AD∥BC，AD＝BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD可得平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
由AD∥BC，AD＝BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A＝∠B＝90°，可证得平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
由AD∥BC推出∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，进而推出∠B＝∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
由AD∥BC，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意
【解析】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形和有一个直角的平行四边形是矩形是解题的关键．
4．（2023秋 邵阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 此题答案不唯一，∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等 （填一个即可）．
【点拨】由在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，可判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
【解析】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD时，四边形ABCD是矩形．
故答案为：此题答案不唯一，如∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等．
【点睛】此题考查了菱形的判定定理．此题属于开放题，难度不大，注意掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键．
5．（2023春 尧都区期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 AC⊥BD ．（只需写出一个符合要求的条件）
【点拨】根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E＝90°即可．
【解析】解：添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
【点睛】本题主要考查对矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出平行四边形EFHGH和∠E＝90°是解此题的关键．
6．（2023秋 秦都区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．求证：四边形ABCD是矩形．
【点拨】先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明对角线相等即可．
【解析】证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB．
∵OA＝OB，
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
7．（2022春 南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
【点拨】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到 BECD是矩形．
【解析】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴ BECD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
知识点三 矩形的性质与判定综合
【典例3】44．（2023秋 莱州市期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）DE⊥AC垂足为点E，交BC于点F，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？
【点拨】（1）证四边形ABCD是平行四边形，得∠ABC＝∠ADC，再证∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）证∠FDC＝30°，则∠DCO＝60°，再由矩形的性质得OC＝OD，则∠ODC＝∠DCO＝60°，即可求解．
【解析】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形，
∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，
∴∠FDC＝30°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝60°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 临高县期末）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1），若将矩形绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1D1，则点B1的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【点拨】将矩形0ABC绕点O顺时针旋转180°，就是把矩形0ABC上的每一个点绕点O顺时针旋转180°，求点B1的坐标即是点B关于点O的对称点B1点的坐标得出答案即可．
【解析】解：∵点B的坐标是（2，1），
∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点睛】此题主要考查了旋转变换，本题实际就是一个关于原点成中心对称的问题，掌握成中心对称的点的坐标关系是解决问题的关键．
2．（2023春 农安县期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 5 s后，四边ABPQ成为矩形．
【点拨】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，列出一元一次方程，可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ＝BP
∴3x＝20﹣x
∴x＝5
故答案为：5
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
3．（2023春 孝义市期末）数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是平行四边形，请同学们添加个条件使 ABCD是矩形．小彤添加的条件是：AC＝BD．则小彤判定 ABCD是矩形的依据是（ ）
A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等
C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【点拨】根据矩形的判定方法进行解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴添加的条件AC＝BD可以根据对角线相等的平行四边形是矩形说明 ABCD是矩形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形．
4．（2023春 梁园区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
【点拨】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D＝90°，从而判定矩形；
（2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可．
【解析】解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
（2）∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠BAC＝∠ACB．
∴BA＝BC＝5．
∵EC＝2，
∴BE＝3．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
【点睛】本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．
5．（2023春 荆门期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，过点A作AE⊥BC，交CB延长线于点E，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求△OBE的周长．
【点拨】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，求得∠OEC＝∠OCE，根据矩形的性质得到∠AEC＝90°，根据勾股定理得到BE＝3，进而解答即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴∠E＝90°，∠EAF＝90°，
又∵CF⊥AD，
∴∠F＝90°，
∴∠E＝∠EAF＝∠F＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：如图，连接OE，
在菱形ABCD中，AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，
由（1）知，四边形AECF为矩形；
∴∠AEC＝90°，
∵AE＝4，
∴，
∴CE＝BE+BC＝8，
在Rt△AEC中，AE＝4，CE＝8，
∴，
∵AO＝CO，
∴．
∵菱形的面积＝＝，
∴，
∴BO＝BD＝＝，
∴△OBE的周长＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
6．（2023春 兴城市期末）如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
【点拨】（1）先根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而可得EF＝BC＝AD，再根据平行四边形的判定可得四边形AEFD是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）先求出EC＝9，EB＝CF＝3，DC＝6，再在Rt△DFC中，利用勾股定理可得，然后根据矩形的性质可得，在Rt△ACE中，利用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC，
∵AD＝6，BF＝3，
∴EB＝CF＝3，EC＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF＝6，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，
∴，
∵四边形AEFD是矩形，
∴，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2，
∴，
∵M是AC的中点，∠AEC＝90°，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
7．（2023春 馆陶县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF交AD于点P．
①当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由；
②在①的条件下，若AC＝10，BD＝12，求四边形EGCF的面积．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质可得∠ABE＝∠CDF．再由三角形的判定方法可得结论；
（2）①根据平行四边形的性质与判定可得四边形EGCF是平行四边形．根据矩形的判定方法可得结论；
②由三角形中位线定理可得OE＝OF＝3，再根据矩形的面积公式可得答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OB＝OD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴DF＝BE．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：①当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA．
∴AC＝2OA．
又∵AC＝2AB，
∴OA＝AB．
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°．
同理可得∠OFC＝90°，
∴∠OEG+∠OFC＝180°，
∴CF∥EG．
∵OA＝OC，EG＝AE．
∴OE是△ACG的中位线，
∴CG∥OE，
∴CG∥EF，
∴四边形EGCF是平行四边形．
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形；
②∵OB＝OD，OA＝OC，
∴OB＝OD＝6，OC＝5．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OF＝OE＝3，
∴EF＝6．
∵∠OFC＝90°，
∴CF＝4，
∴四边形EGCF的面积为4×6＝24．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
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专题07 矩形的性质与判定
知识点一 矩形的性质
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形
2.性质： ①边：对边平行且相等；
②角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相平分且相等；
④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．
中心对称图形（对称中心为对角线的交点）
【典例1】（2023春 桓台县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OE，若AB＝2，BC＝4，求OE的长．
【变式训练】
1．（2022春 洛江区期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形的对角线长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．（2023秋 鹤壁期末）如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后减小
3．（2023秋 龙口市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（2023秋 兴庆区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 ．
5．（2022春 安乡县期末）如图，在矩形ABCD中，M为AD的中点，连接MB，MC．
（1）求证：∠ABM＝∠DCM；
（2）若∠BMC＝70°，求∠ABM的度数．
6．（2023春 朝阳区期末）如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝DF；
（2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明．
知识点二 矩形的判定
矩形的判定方法：
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 有三个角是直角的四边形是矩形；
3. 对角线相等的平行四边形是矩形.
【典例2】（2023春 应县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD＝180°，求证：四边形AECF是矩形．
【变式训练】
1．（2023秋 项城市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO
2．（2023秋 凤城市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD
3．（2023秋 梅县区期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
4．（2023秋 邵阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 （填一个即可）．
5．（2023春 尧都区期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 ．（只需写出一个符合要求的条件）
6．（2023秋 秦都区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．求证：四边形ABCD是矩形．
7．（2022春 南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
知识点三 矩形的性质与判定综合
【典例3】（2023秋 莱州市期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）DE⊥AC垂足为点E，交BC于点F，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？
【变式训练】
1．（2023秋 临高县期末）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1），若将矩形绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1D1，则点B1的坐标为 ．
2．（2023春 农安县期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形．
3．（2023春 孝义市期末）数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是平行四边形，请同学们添加个条件使 ABCD是矩形．小彤添加的条件是：AC＝BD．则小彤判定 ABCD是矩形的依据是（ ）
A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等
C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．（2023春 梁园区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
5．（2023春 荆门期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，过点A作AE⊥BC，交CB延长线于点E，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求△OBE的周长．
6．（2023春 兴城市期末）如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
7．（2023春 馆陶县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF交AD于点P．
①当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由；
②在①的条件下，若AC＝10，BD＝12，求四边形EGCF的面积．
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