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专题05 多边形及平行四边形的性质
知识点一 多边形的有关概念
1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。
2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。
3.四边形的内角和等于360o。
n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。
任何多边形的外角和为360o。
【典例1】（2023秋 东城区期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【点拨】设这个多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和与外角和可得：（n﹣2） 180°＝360°×2，进行计算即可解答．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n﹣2） 180°＝360°×2，
n﹣2＝4，
n＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 沙坪坝区校级期末）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【点拨】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．
【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
2．（2023秋 东莞市期末）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【点拨】n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得（n﹣2）×180＝1800，
解得n＝12，
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
【点评】此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为（n﹣2）×180°是解题关键．
3．（2023秋 五华区期末）已知一个多边形的每个外角为45°，则该多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【点拨】根据多边形外角和为360度进行求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得45° n＝360°，
∴n＝8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形外角和问题，熟知多边形外角和为360度是解题的关键．
4．（2023秋 龙山区期末）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（ ）
A．18° B．36° C．72° D．108°
【点拨】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠ADE＝∠DAE＝∠BDC＝∠DBC＝36°，从而求出∠ADB＝108°﹣72°＝36°．
【解答】解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠EDC＝∠C＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠ADE＝∠DAE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠DAB＝∠BE﹣∠DAE＝72°，
∠BDC＝∠DBC＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝36°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠ADE＝∠DAE＝∠BDC＝∠DBC＝36°，和正五边形的每个内角是108度．
5．（2023秋 播州区期末）如图，∠1、∠2、∠3，∠4是六边形ABCDEF的四个外角，延长FA．CB交于点H．若∠1+∠2+∠3+∠4＝224°，则∠AHB的度数为（ ）
A．24° B．34° C．44° D．54°
【点拨】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论．
【解答】解：∵多边形的外角和恒为360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH＝360°，
∴∠HAB+∠ABH＝136°．
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH＝360°，
∴∠AHB＝44°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”、“多边形的外角和是360°”等知识点是解决本题的关键．
6．（2023秋 潮南区校级期末）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝5，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形对角线的总条数．
【点拨】（1）直接根据多边形的内角和公式（n﹣2）×180°计算即可求解；
（2）根据题意，求出每个外角的度数，再用外角和360°除以外角的度数得到边数，代入多边形对角线的总条数计算公式求解即可．
【解答】解：（1）多边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
答：这个多边形的内角和为540°；
（2）设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为（4x+30）°，
依题意得，4x+30+x＝180，
解得x＝30，
∴n＝360°÷30°＝12，
∴这个多边形对角线的总条数＝，
答：这个多边形对角线的总条数为54．
【点评】本题考查了求多边形内角和，求多边形对角线的总条数，掌握多边形内角和计算公式和多边形对角线的总条数计算公式是解题的关键．
知识点二 平行四边形及其性质
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。
4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。
【典例2】（2023春 定州市期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且AE∥CF．求证：BE＝DF．
【点拨】证明△ABE≌△CDF（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵AE∥CF，
∴∠AED＝∠CFB，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 福山区期末）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【点拨】由在 ABCD中，若∠A+∠C＝100°，根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝130°．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
2．（2023秋 招远市期末）如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝12，则△BOC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
【点拨】根据平行四边形对角线平分可得OC+BO＝6，即可求出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝3，
∵AC+BD＝12，
∴OC+BO＝6，
∴C△BOC＝OC+OB+BC＝6+3＝9，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
3．（2023秋 淄川区期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【点拨】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2023秋 广饶县期末）已知 ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB＝2，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点D的坐标为 （0，3），（4，3） ．
【点拨】根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝2，根据已知条件得到B（2+（﹣2），3），或（（﹣2）﹣2，b），由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论．
【解答】解：当B点在A点的右边时，如图1，
∵AB与x轴平行且AB＝2，A（﹣2，﹣3），
∴B（﹣2+2，﹣3），
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴D（﹣（﹣2）﹣2，﹣（﹣3））；
当B点在A点的左边，如图2，
同理可得B（﹣2﹣2，﹣3），则D（﹣（﹣2）+2，﹣（﹣3））．
故点D的坐标为（0，3）或（4，3）．
故答案为：（0，3），（4，3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类思想的应用．
5．（2023秋 南关区校级期末）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．
【点拨】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝24，
∴OC+BO＝12，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
6．（2023春 大冶市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD＝12，则S阴影＝ 3 ．
【点拨】通过证明△AEO≌△CFO（AAS），知道S阴影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABO＝S ABCD，求解即可．
【解答】解：AC于BD的交点记作点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝OD，AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴S阴影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABO＝S ABCD，
∵S ABCD＝12，
∴S阴影＝×12＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的对角线互相平分．
7．（2023春 内乡县期末）下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．
平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图， ABCD．求证：∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC．
方法一：证明：如图，连接AC． 方法二：证明：如图，延长BC至点E． 方法三：证明：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O．
【点拨】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：选择方法一：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ADC与△BCA中，
，
∴△ADC≌△BCA（SAS），
∴∠B＝∠D，
即平行四边形的对角相等．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．
8．（2023春 宜州区期末）如图，已知 ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝108°，求∠BAE的度数．
【点拨】（1）由AD∥BC可得∠ADE＝∠DEC，再由∠ADE＝∠EDC，从而可得∠DEC＝∠EDC，继而可证得CD＝CE；
（2）由题意可得AD∥BC，AB＝CD，继而可求得∠BAD的度数，AB＝BE，从而可求得∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠C＝108°，
∴∠B＝180°﹣108°＝72°，
∵BE＝CE，CE＝CD，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣72°）÷2＝54°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9．（2022秋 绥中县校级期末）如图，在 ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°；然后根据角平分线的性质推知∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°，即∠AGD＝90°．证得∠BAF＝∠AFB，由等腰三角形的判定可得出AB＝BF，同理可得CD＝CE，则可得出结论；
（2）过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，证明四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，得出AF＝CK＝8，由勾股定理求出DI，则可得出答案．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
又∵∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理可得CD＝CE，
∴BF＝CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AF＝CK＝8，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC＝6，
∴KI＝CI＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵CI⊥DE，
∴EI＝DI，
∵DI＝＝＝2，
∴DE＝2DI＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
知识点三 中心对称
1.如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
【典例3】（2023春 唐河县期末）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【变式训练】
1．（2023秋 蚌埠期末）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（2023秋 宣化区期末）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO≌△CDO，则下列结论中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③线段AB与CD关于点O成中心对称；④△ABO和△CDO关于点O成中心对称．
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】直接根据全等三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△ABO≌△CDO，线段AC与BD相交于点O，
∴OB＝OD，AB＝CD，线段AB与CD关于点O成中心对称，△ABO和△CDO关于点O成中心对称，
故选：A．
【点评】本题考查成中心对称的两个图形的性质，全等三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（2023秋 邯郸期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点M D．点N
【点拨】A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是2×3的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是1×2的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M．
【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，
∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称，关键是能够仔细观察网格图．
4．（2023春 滕州市期末）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【点拨】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
5．（2023秋 高阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点B（3，1）．若△OAB与△OA'B'关于原点成中心对称，则：
（1）点A的对应点A'的坐标是 ；
（2）AB和A'B'的位置关系和数量关系是 平行且相等 ．
【点拨】（1）根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数写出即可；
（2）根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小进行解答．
【解答】解：（1）点A的对应点A'的坐标是；
故答案为：；
（2）如图所示：
根据旋转的不变性，AB＝A′B′，
∵∠A＝∠A′，
∴AB∥A′B′．
故答案为：平行且相等．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟记旋转的性质并准确作出图形是解题的关键．
6．（2023秋 中江县期末）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1 的坐标，求△A1B1C1的面积．
【点拨】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；
（2）首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可．
【解答】解：（1）A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）；
（2）A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1），如图所示：
＝＝6．
【点评】此题主要考查了点的坐标，以及关于原点对称的点的坐标，关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
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专题05 多边形及平行四边形的性质
知识点一 多边形的有关概念
1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。
2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。
3.四边形的内角和等于360o。
n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。
任何多边形的外角和为360o。
【典例1】（2023秋 东城区期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式训练】
1．（2023秋 沙坪坝区校级期末）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
2．（2023秋 东莞市期末）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2023秋 五华区期末）已知一个多边形的每个外角为45°，则该多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（2023秋 龙山区期末）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（ ）
A．18° B．36° C．72° D．108°
5．（2023秋 播州区期末）如图，∠1、∠2、∠3，∠4是六边形ABCDEF的四个外角，延长FA．CB交于点H．若∠1+∠2+∠3+∠4＝224°，则∠AHB的度数为（ ）
A．24° B．34° C．44° D．54°
6．（2023秋 潮南区校级期末）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝5，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形对角线的总条数．
知识点二 平行四边形及其性质
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。
4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。
【典例2】（2023春 定州市期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且AE∥CF．求证：BE＝DF．
【变式训练】
1．（2023秋 福山区期末）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
2．（2023秋 招远市期末）如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝12，则△BOC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
3．（2023秋 淄川区期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
4．（2023秋 广饶县期末）已知 ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB＝2，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点D的坐标为 ．
5．（2023秋 南关区校级期末）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 ．
6．（2023春 大冶市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD＝12，则S阴影＝ ．
7．（2023春 内乡县期末）下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．
平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图， ABCD．求证：∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC．
方法一：证明：如图，连接AC． 方法二：证明：如图，延长BC至点E． 方法三：证明：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O．
8．（2023春 宜州区期末）如图，已知 ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝108°，求∠BAE的度数．
9．（2022秋 绥中县校级期末）如图，在 ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
知识点三 中心对称
1.如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
【典例3】（2023春 唐河县期末）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023秋 蚌埠期末）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋 宣化区期末）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO≌△CDO，则下列结论中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③线段AB与CD关于点O成中心对称；④△ABO和△CDO关于点O成中心对称．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023秋 邯郸期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点M D．点N
4．（2023春 滕州市期末）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
5．（2023秋 高阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点B（3，1）．若△OAB与△OA'B'关于原点成中心对称，则：
（1）点A的对应点A'的坐标是 ；
（2）AB和A'B'的位置关系和数量关系是 ．
6．（2023秋 中江县期末）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1 的坐标，求△A1B1C1的面积．
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精讲精练
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