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专题08 菱形的性质与判定
知识点一 菱形的性质
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）
性质：①边：四条边都相等；
②角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；
④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．
【典例1】（2022秋 余江区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
【变式训练】
1．（2023秋 昌图县期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
2．（2023春 迪庆州期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
3．（2023春 临沭县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
4．（2023秋 福山区期末）如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD，CD的中点，EG⊥BC交CB的延长线于点G．若∠GEF＝66°，则∠A的度数是（ ）
A．24° B．33° C．48° D．66°
5．（2023秋 临泽县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝4，则BD的长为 ．
6．（2023秋 济阳区期末）如图，菱形ABCD中，过点C分别作边AB，AD上的高CE，CF，求证：BE＝DF．
7．（2023春 铜仁市期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G．
（1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由；
（2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数．
知识点二 菱形的判定
菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的平行四边形；
③四条边都相等．
【典例2】（2023春 庆云县期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
【变式训练】
1．（2023秋 榆林期末）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．（2023秋 鼓楼区校级期末）要使 ABCD成为菱形，则可添加一个条件是（ ）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD
3．（2023秋 南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A．B． C． D．
4．（2022秋 紫金县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AC⊥BD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则应选择 （填序号）．
5．（2023春 海林市期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，请你添加一个条件 ，使四边形BECF是菱形．
6．（2023秋 朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．
求证：四边形DBFE是菱形．
7．（2023春 朝阳区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF＝∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
知识点三 菱形的性质与判定综合
【典例3】（2023秋 宽甸县期末）如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
【变式训练】
1．（2023春 东港区期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
2．（2023秋 牟平区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，AD＝2CD．下列结论：①DC⊥AC；②BC＝4OF；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ADC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023春 老城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFG＝S平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
4．（2023春 武威期末）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC，若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023春 滨州期末）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠DBC＝180°．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，a＝ ．（直接写出答案）
6．（2023春 雁塔区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF＝，求∠ACD的度数及BD的长．
7．（2023春 交口县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，点E是AC上一点，BE⊥AD于点F，连接DE．
（1）求证：四边形ABDE是菱形；
（2）若AB＝2，∠ADC＝90°，求BC的长．
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专题08 菱形的性质与判定
知识点一 菱形的性质
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）
性质：①边：四条边都相等；
②角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；
④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．
【典例1】（2022秋 余江区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
【点拨】（1）根据菱形的性质得到CB＝CD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，推出△DEG与△BEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC＝FC，
∴BF＝DE；
（2）解：∵∠A＝45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，AB＝BC，
∴∠CBG＝∠G＝45°，
∴△DEG与△BEC是等腰直角三角形，
∵BE＝CE＝4，
∴AB＝BC＝AD＝4，
∵∠A＝∠G＝45°，
∴∠ABG＝90°，
∴AG＝8，
∴DG＝AG﹣AD＝8﹣4．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，第（2）问的关键是得到三角形DEG和三角形BEC是等腰直角三角形
【变式训练】
1．（2023秋 昌图县期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【点拨】由三角形的中位线定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．
【解析】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
2．（2023春 迪庆州期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
【点拨】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝5，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×6×8＝24，
∵S菱形ABCD＝BC×AH，
∴BC×AH＝24，
∴AH＝＝4.8，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
3．（2023春 临沭县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【点拨】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC BD＝24，
∴×8 BD＝24，
∴BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．
4．（2023秋 福山区期末）如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD，CD的中点，EG⊥BC交CB的延长线于点G．若∠GEF＝66°，则∠A的度数是（ ）
A．24° B．33° C．48° D．66°
【点拨】连接AC，由菱形的性质推出AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，判定EG⊥AD，得到∠DEF+∠FEG＝90°，求出∠DEF＝24°，由三角形中位线定理推出EF∥AC，得到∠DAC＝∠DEF＝24°，即可求出∠BAD＝2×24°＝48°．
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，
∵EG⊥BC，
∴EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∵∠GEF＝66°，
∴∠DEF＝24°，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EF∥AC，
∴∠DAC＝∠DEF＝24°，
∴∠BAD＝2×24°＝48°，
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由菱形的性质得到∠BAD＝2∠DAC，由三角形中位线定理推出EF∥AC，得到∠DAC＝∠DEF．
5．（2023秋 临泽县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝4，则BD的长为 8 ．
【点拨】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2，
∵AB＝2，
∵BO＝＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴BD＝2BO＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
6．（2023秋 济阳区期末）如图，菱形ABCD中，过点C分别作边AB，AD上的高CE，CF，求证：BE＝DF．
【点拨】由菱形的性质得到BC＝CD，∠B＝∠D，根据全等三角形的AAS定理证得△BCE≌△DCF，由全等三角形的性质可得BE＝DF．
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE，CF分别边AB，AD上的高，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴BE＝DF．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的性质和判定，由菱形的性质结合三角形全等的判定定理定理证得△BCE≌△DCF是解决问题的关键．
7．（2023春 铜仁市期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G．
（1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由；
（2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数．
【点拨】（1）先证明四边形AGCF是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判断即可；
（2）由折叠的性质可得∠ACG＝25°，∠ACB＝40°，从而可求出结论．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵CG∥AF
∴四边形AGCF是平行四边形
∵AB∥CD，
∴∠FCA＝∠GAC，
由折叠得，∠GAC＝∠FAC，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴FC＝FA，
∴四边形AFCG是菱形，
∴小明说得对，
（2）∵四边形AFCG是菱形，
∴∠FCA＝∠GCA，
由折叠得，∠ACB＝∠ACE，
∴∠GCB＝∠FCE＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCG＝50°，
∴，
∴∠ACB＝∠ACG+∠GCB＝25°+40°＝65°．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质等知识，正确证明四边形AGCF是平行四边形是解答本题的关键．
知识点二 菱形的判定
菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的平行四边形；
③四条边都相等．
【典例2】（2023春 庆云县期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
【点拨】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠DCB
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 榆林期末）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【点拨】翻折后得到的四边形ABDC的四条边都相等．
【解析】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形．
故选：B．
【点睛】本题侧重考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形．
2．（2023秋 鼓楼区校级期末）要使 ABCD成为菱形，则可添加一个条件是（ ）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD
【点拨】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、由AB＝AD，能判定 ABCD为菱形，故选项A符合题意；
B、由AB⊥AD，能判定 ABCD为矩形，不能判定 ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、由AD＝BC，不能判定 ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、由AC＝BD，能判定 ABCD为矩形，不能判定 ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．
3．（2023秋 南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A．B． C． D．
【点拨】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．
【解析】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键．
4．（2022秋 紫金县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AC⊥BD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则应选择 ① （填序号）．
【点拨】①根据对角线垂直的平行四边形为菱形，可得四边形ABCD为菱形；②不能证明四边形ABCD为菱形；③不能证明四边形ABCD为菱形．
【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；故①符合题意；
②不能证明四边形ABCD为菱形；故②不符合题意；
③不能证明四边形ABCD为菱形；故③不符合题意；
故答案为：①．
【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握对角线垂直的平行四边形为菱形，是解题的关键．
5．（2023春 海林市期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，请你添加一个条件 AB＝AC ，使四边形BECF是菱形．
【点拨】根据等腰三角形的性质和已知求出EF⊥BC，BD＝DC，先根据平行四边形的判定得出四边形BECF是平行四边形，再根据菱形的判定推出即可．
【解析】解：添加一个条件是AB＝AC，
理由是：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴EF⊥BC，BD＝DC，
∵DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能熟记菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键．
6．（2023秋 朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．
求证：四边形DBFE是菱形．
【点拨】证四边形DBFE是平行四边形，再证DE＝DB，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解析】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC，
∴EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∴四边形DBFE是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
7．（2023春 朝阳区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF＝∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝CO，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO＝∠CFO，等量代换得到∠CFO＝∠CEF，求得CE＝CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFO＝∠CEF，
∴CE＝CF，
由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
知识点三 菱形的性质与判定综合
【典例3】（2023秋 宽甸县期末）如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
【点拨】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，再由勾股定理得OD＝2，然后由矩形的在得CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝2，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
即AE的长为2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春 东港区期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
【点拨】根据菱形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，然后根据给出的方案进行判定即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，
∵BM＝DN，
∴OM＝ON，
∵OA＝OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，
∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC＝∠NAC，
∵∠AOM＝∠AON＝90°，
在△AOM和△AON中，
，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON，
∵OA＝OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙正确．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形．
2．（2023秋 牟平区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，AD＝2CD．下列结论：①DC⊥AC；②BC＝4OF；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ADC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵AD＝2CD，
∴BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，
∵AB∥CD，
∴CD⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；
∴AC⊥EF，
在Rt△AOF中，∠CAF＝30°，
∴OF＝AF＝AD＝BC，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，故④正确；
正确的结论有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
3．（2023春 老城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFG＝S平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【点拨】①根据题意可证明四边形DEBF为平行四边形，继而可判断出此项正确；
②根据①的结论，再结合AD⊥BD，E为边AB的中点得出DE＝BE＝AE可判断出四边形BEDF是菱形；
③，，可得出结论；
④要使FG⊥AB，则BF＝BC＝BG，而因为得不出BF＝BC，即不等得出FG⊥AB．
【解析】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF，故①正确．
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB的中点，
∴DE＝BE＝AE，
∴四边形BEDF是菱形，故②正确．
④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD，
∴AGBD为矩形，
∴AD＝BG＝BC，
要使FG⊥AB，则BF＝BC＝BG，
不能证明BF＝BC，即FG⊥AB不恒成立，
故④不正确．
③由④知BC＝BG，
∴，
∵F为CD中点，
∴，
∴，
故③正确．
综上可得：①②③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，还有全等三角形的知识，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解．
4．（2023春 武威期末）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC，若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【点拨】设AE交BC于点G，AD交CF于点H，先证明△ABG≌△CEG，则AG＝CG，由AB2+BG2＝AG2，得12+（3﹣CG）2＝CG2，则CG＝，所以S阴影＝CG AB＝×1＝，于是得到问题的答案．
【解析】解：设AE交BC于点G，AD交CF于点H，
∵矩形ABCD与矩形AECF全等，
∴AB＝AF＝CE＝1，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，CF∥AE，
∴AH∥CG，CH∥AG，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∵AB2+BG2＝AG2，且BG＝BC﹣CG＝3﹣CG，
∴12+（3﹣CG）2＝CG2，
解得CG＝，
∴S阴影＝CG AB＝×1＝，
故选：B．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，证明△ABG≌△CEG是解题的关键．
5．（2023春 滨州期末）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠DBC＝180°．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，a＝ ．（直接写出答案）
【点拨】（1）先证明四边形OBEC是平行四边形，再由已知结合三角形内角和定理推出OB＝OC，即可得到结论；
（2）证明平行四边形ABCD是矩形，推出△OAB是边长为4的等边三角形，利用勾股定理求得BC的长，利用矩形的面积公式即可求解；
（3）连接OP，利用，，代入数据即可求解．
【解析】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵∠BOC+2∠DBC＝180°，∠BOC+∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴四边形OBEC是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，又OB＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵∠AOB＝60°，AB＝4，
∴△OAB是边长为4的等边三角形，
∴AC＝2AB＝8，，
∴四边形ABCD的面积为；
（3）解：如图，连接OP，FG⊥OA，FH⊥OD，由题意得a＝FG+FH，
∵OA＝OD＝4，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
6．（2023春 雁塔区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF＝，求∠ACD的度数及BD的长．
【点拨】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得∠BDC＝∠DBC，则BC＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BO＝DO，∠DCA＝∠BCA＝∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD，再证∠DCA＝∠DCM，然后由角平分线的性质得DO＝DF＝，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∴BC＝CD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，∠DCA＝∠BCA＝∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∠DCE＝∠ABC＝70°，
∴∠DCA＝∠BCD＝55°，
∵∠ECM＝15°，
∴∠DCM＝∠DCE﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°，
∴∠DCA＝∠DCM，
∵DF⊥CM，BD⊥AC，
∴DO＝DF＝，
∴BD＝2DO＝2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
7．（2023春 交口县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，点E是AC上一点，BE⊥AD于点F，连接DE．
（1）求证：四边形ABDE是菱形；
（2）若AB＝2，∠ADC＝90°，求BC的长．
【点拨】（1）先证BD＝AE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后由AB＝BD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得DE＝AE＝AB＝2，再证∠EDC＝∠ECD，则DE＝EC＝2，得AC＝AE+CE＝4，然后由勾股定理求出BC的长即可．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
∵BE⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BD∥AC，
∴∠BDF＝∠EAF，
∴∠BAF＝∠BDF，
∴AB＝BD，
∴BD＝AE，
∵BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB＝BD，
∴ ABDE是菱形；
（2）解：∵四边形ABDE是菱形，
∴DE＝AE＝AB＝2，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠EDA＝90°，∠EAD+∠ECD＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝EC＝2，
∴AC＝AE+CE＝4，
∵∠ABC＝90°，
∴BC＝．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
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