黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年八年级下学期开学测试数学试题
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（2024八下·哈尔滨开学考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·哈尔滨开学考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，有点，点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·哈尔滨开学考）到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
5．（2024八下·哈尔滨开学考）可以写成（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·哈尔滨开学考）等腰三角形的腰长等于2cm，面积等于，则它的顶角等于（ ）
A．150° B．30° C．60° D．150°或30°
7．（2024八下·哈尔滨开学考）已知分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．1或-1
8．（2024八下·哈尔滨开学考）一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·哈尔滨开学考）如图所示，在△ABC中，，，，AD平分∠BAC交BC于D，，则线段EB的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定
10．（2024八下·哈尔滨开学考）如图所示，在△ABC中，，于D，BE平分∠ABC交AD于E，F在BC上，并且，则下列四个结论：
①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（2024八下·哈尔滨开学考）将数0.000000069用科学记数法表示 ．
12．（2024八下·哈尔滨开学考）计算： = ．
13．（2024八下·哈尔滨开学考）二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
14．（2024八下·哈尔滨开学考）把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 ．
15．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，点D在AC上，点E在AB上，且，，，则 ．
16．（2024八下·哈尔滨开学考）若，，则 ．
17．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且，AD、BE相交于P点，，已知，，则 ．
18．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为27，则BC的长为 ．
19．（2024八下·哈尔滨开学考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
20．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，AD为△ABC中BC边上的中线，AE平分∠BAD交BC边于点E，且，若，则线段AB的长为 ．
三、解答题：（其中21-25题各8分，26-27各10分，共60分）
21．（2024八下·哈尔滨开学考）计算：
（1）
（2）
22．（2024八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中．
23．（2024八下·哈尔滨开学考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）请画出△ABC关于x轴对称的；
（2）请画出△ABC向右平移6个单位的图形；
（3）请直接写出的面积．
24．（2024八下·哈尔滨开学考）先阅读下面的解答过程，再解决问题
形如的化简，只要我们找到两个数a、，
使，，
这样，，
于是
举例：化简
解：这里，
∵，
即，，
∴
用上述例题的方法化简：
（1）
（2）
25．（2024八下·哈尔滨开学考）
（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②已知，，请利用上述等式求mn的值．
26．（2024八下·哈尔滨开学考）某中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
27．（2024八下·哈尔滨开学考）已知：CD是△ABC的高，且．
（1）如图1，求证：；
图1
（2）如图2，K为△ABC内一点，连接AK、BK，且，求证：；
图2
（3）如图3，在（2）的条件下，点E、F分别在线段AD、BD上，连接CE、CF分别交AK、BK于点G、H，连接DG、DH，若，试猜想∠ECF的度数，请直接写出你的猜想并证明．
图3
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，只有A选项为轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的定义，即平面内，一个图形沿一条直线折叠 ，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项判断即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：，故A选项错误；
B选项： ，故B选项正确；
C选项： ，故C选项错误；
D选项： ，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、合并同类项法则对选项逐一分析，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点，
∴ 点A关于y轴的对称点是（-2，-1）
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称点的性质，即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： ∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴ 到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的判定定理即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：=
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：
当等腰三角形为锐角时，如图，
∵AB=AC=2cm，面积为，
∴
∴CD=1cm，
∴
∴∠A=30°；
当等腰三角形为钝角时，如图，
∵AB=AC=2cm，面积为，
∴
∴CD=1cm，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=150°；
综上可知：顶角为150°或30°.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，当等腰三角形为锐角时，当等腰三角形为钝角时，根据三角形的面积公式求得高的长，再根据直角三角形的性质即可得到答案。
7．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故答案为：B．
【分析】根据分式的值为0的条件，即可得出x的值。
8．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意可知三角形的周长为：
故答案为：A.
【分析】根据三角形的周长公式，化简二次根式，即可得到答案。
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴CD=DE，
∵AD=AD，
∴，
∴AC=AE=4cm，
∴BE=AB-AE=3cm.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DE，根据全等三角形的判定HL即可证明，进而求出AE的长，最后根据BE=AB-AE即可求解。
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC交AD于E，
∴∠ABE=∠DBE，
在与中，
，
∴，故 ④ 正确；
∴∠EFB=∠BAD，AE=EF，故 ② 、 ③ 正确；
∵，于D，
∴∠BAE+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠C=∠EFB，
∴EF//AC，故 ① 正确.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠DBE，进而证明，再利用全等三角形的性质得到∠EFB=∠BAD，AE=EF，进而求出EF//AC，即可得到答案。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000069=
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示小于1的正数时， 表示为，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数(包含小数点前的那个0)，其中1≤|a|<10，据此即可求解。
12．【答案】3
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： =2 +
=3 ．
故答案为：3 ．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 要使代数式有意义，
∴2x+1≥0，
即.
故答案为：.
【分析】 根据代数式有意义的条件为a≥0，得到代数式有意义的条件为2x+1≥0，解不等式即可得到答案。
14．【答案】a（x+y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）=a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行分解即可．
15．【答案】45°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠EBD=x，
∵AD=DE=BE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=x+2x=3x，
又∵BC=BD，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
∴3x+3x+2x=180°，
即x=22.5°，
∴∠A=2x=45°
故答案为：45°.
【分析】设∠EBD=x，根据等腰三角形的两底相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和求出∠A、∠C与∠ABC，最后根据三角形的内角和求出x，即可得到答案。
16．【答案】5
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】利用平方差公式举哀那个第一等式的左边分解因式，再整体代入进行计算，即可得出答案．
17．【答案】4
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在与中，
∴，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ，
∴AD=BE=BP+PE=BP+1=9，
∴BP=8，
∴
故答案为：4.
【分析】根据题意证明，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠CAD，进而推出∠BPD=60°，再根据垂直定理求出BP的长，进而即可求出PQ的长。
18．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD=AC，
又∵ △DBC的周长为27，
∴BC+BD+CD=27，
即BC+AC=27，
∴BC=12
故答案为：12.
【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=BD，再根据△DBC的周长为27，等量代换即可得到答案。
19．【答案】71°或19°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°.
故答案为：19°或71°.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数；②若∠A＞90°，如图2所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠DAB的度数，进而邻补角定义算出∠BAC的度数，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数.
20．【答案】10
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：
如图，延长AD至F，使DF=AD，连接CF，
在与中，
，
∴，
∴AB=CF，∠FCD=∠B，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠AED+∠ACE=90°，∠EAD+∠DAC=90°，
∴∠B+∠BAE+∠ACE=90°，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠B+∠ACD=∠CAD，
∴∠FAC=∠FCA，
∴CF=AF=10，
∴AB=CF=10.
故答案为：10.
【分析】延长AD至F，使DF=AD，连接CF，根据题意证明，根据全等三角形的性质得到AB=CF，∠FCD=∠B，根据等腰三角形的判定定理得到CF=AF，等量代换即可得到答案。
21．【答案】（1）解：
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式的计算方法展开，再合并同类项即可；
（2）先将二次根式的除法转化为乘法，再利用二次根式的乘法公式计算即可。
22．【答案】解：原式=
=
=3x+6-x+2
，
=-2+1=-1，
将代入求值为6.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化简得到2x+8，将x的值求出代入化简后的式子，即可得到答案。
23．【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）8
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）如图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求；
（3）.
故答案为：8.
【分析】 （1）根据轴对称的性质写出的坐标，然后描点即可得到答案；
（2）根据平移的性质写出的坐标，然后描点即可得到答案；
（3）根据三角形的面积公式进行计算，即可得到答案。
24．【答案】（1）解：m=7，n=10，
∵2+5=7，2×5=10，
即，，
∴
（2）解：
m=9，n=8，
∵1+8=9，1×8=8，
即，，
∴
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】（1）根据题干中的化简方法，得到m与n的值，进而逐步化简，即可得到答案；
（2） 将 变成 的形式，再根据题干中的化简方法，得到m与n的值，进而逐步化简，即可得到答案。
25．【答案】（1）；4ab
（2）解：①∵，，
∴
∴；
②∵，，
∴
∴13-5=8mn，
即mn=1.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积和，即可得到答案；
（2） ① 根据代数恒等式得到，代入数值根据完全平方公式即可得到答案；
②根据代数恒等式得到，代入数值即可得到答案；
26．【答案】（1）解：设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，根据题意得：
，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解，当x=8时，x+4=12，
答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元；
（2）解：设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得：
8×(1+25%)y+12(200-y)≤2120
即y≥140，
∴y的最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本文学书.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，根据用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等，即可列出方程，进而得到答案；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，即可列出不等式，解不等式即可得到答案。
27．【答案】（1）解：∵ CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵CD=CD，∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AC=BC；
（2）解：
如图，延长BK交CD于F，
∵ ，
∴，
∵∠AKB=∠EFK+∠FEK，
∴，
∵
∠EFK=90°-∠ABK，
∴，
∴ ；
（3）解：猜想：
证明：过点C作CE的垂线，截取，连接PB，PH，
则∠ECP=90°，
∴∠BCP+∠BCG=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠ACG=∠BCP，
∵AC=BC，
∴，
∴ ， ，
延长GD至点Q，使 连接BQ，HQ，GH，
图3
∵AC=BC，∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，∠CAB=∠CBA，
∵∠ADG=∠BDQ，
∴，
∴ ， ，
∴BP=BQ，
∵∠GDH=90°，
∴DH⊥GD，
∵DQ=DG，
∴GH=QH，
∵∠CAG=∠ABK，
∴∠CBP=∠ABK，
∴∠CAB=∠CBA=∠PBH，
∵∠GAD+∠CAG=∠QBD+∠ABK，
∴∠CAB=∠QBH，
∴∠PBH=∠QBH，
∵BH=BH，
∴，
∴，
∴GH=PH，
∵CG=CP，CH=CH，
∴，
∴ ，
即
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明AC=BC；
（2）延长BK交CD于F，由三角形外角性质得到∠AKB=∠EFK+∠FEK，再由直角三角形的性质得到∠EFK=90°-∠ABK，进而得到答案；
（3）过点C作CE的垂线，截取，连接PB，PH，根据题意证明，根据全等三角形的性质得到 ，延长GD至点Q，使 连接BQ，HQ，GH，
证得 ， ，证得，证得，证得，即可得出结论。
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一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（2024八下·哈尔滨开学考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，只有A选项为轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的定义，即平面内，一个图形沿一条直线折叠 ，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项判断即可得到答案。
2．（2024八下·哈尔滨开学考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：，故A选项错误；
B选项： ，故B选项正确；
C选项： ，故C选项错误；
D选项： ，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、合并同类项法则对选项逐一分析，即可得到答案.
3．（2024八下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，有点，点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点，
∴ 点A关于y轴的对称点是（-2，-1）
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称点的性质，即可得到答案。
4．（2024八下·哈尔滨开学考）到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： ∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴ 到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的判定定理即可得到答案。
5．（2024八下·哈尔滨开学考）可以写成（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：=
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案。
6．（2024八下·哈尔滨开学考）等腰三角形的腰长等于2cm，面积等于，则它的顶角等于（ ）
A．150° B．30° C．60° D．150°或30°
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：
当等腰三角形为锐角时，如图，
∵AB=AC=2cm，面积为，
∴
∴CD=1cm，
∴
∴∠A=30°；
当等腰三角形为钝角时，如图，
∵AB=AC=2cm，面积为，
∴
∴CD=1cm，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=150°；
综上可知：顶角为150°或30°.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，当等腰三角形为锐角时，当等腰三角形为钝角时，根据三角形的面积公式求得高的长，再根据直角三角形的性质即可得到答案。
7．（2024八下·哈尔滨开学考）已知分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．1或-1
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故答案为：B．
【分析】根据分式的值为0的条件，即可得出x的值。
8．（2024八下·哈尔滨开学考）一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意可知三角形的周长为：
故答案为：A.
【分析】根据三角形的周长公式，化简二次根式，即可得到答案。
9．（2024八下·哈尔滨开学考）如图所示，在△ABC中，，，，AD平分∠BAC交BC于D，，则线段EB的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴CD=DE，
∵AD=AD，
∴，
∴AC=AE=4cm，
∴BE=AB-AE=3cm.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DE，根据全等三角形的判定HL即可证明，进而求出AE的长，最后根据BE=AB-AE即可求解。
10．（2024八下·哈尔滨开学考）如图所示，在△ABC中，，于D，BE平分∠ABC交AD于E，F在BC上，并且，则下列四个结论：
①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC交AD于E，
∴∠ABE=∠DBE，
在与中，
，
∴，故 ④ 正确；
∴∠EFB=∠BAD，AE=EF，故 ② 、 ③ 正确；
∵，于D，
∴∠BAE+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠C=∠EFB，
∴EF//AC，故 ① 正确.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠DBE，进而证明，再利用全等三角形的性质得到∠EFB=∠BAD，AE=EF，进而求出EF//AC，即可得到答案。
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（2024八下·哈尔滨开学考）将数0.000000069用科学记数法表示 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000069=
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示小于1的正数时， 表示为，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数(包含小数点前的那个0)，其中1≤|a|<10，据此即可求解。
12．（2024八下·哈尔滨开学考）计算： = ．
【答案】3
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： =2 +
=3 ．
故答案为：3 ．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
13．（2024八下·哈尔滨开学考）二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 要使代数式有意义，
∴2x+1≥0，
即.
故答案为：.
【分析】 根据代数式有意义的条件为a≥0，得到代数式有意义的条件为2x+1≥0，解不等式即可得到答案。
14．（2024八下·哈尔滨开学考）把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 ．
【答案】a（x+y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）=a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行分解即可．
15．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，点D在AC上，点E在AB上，且，，，则 ．
【答案】45°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠EBD=x，
∵AD=DE=BE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=x+2x=3x，
又∵BC=BD，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
∴3x+3x+2x=180°，
即x=22.5°，
∴∠A=2x=45°
故答案为：45°.
【分析】设∠EBD=x，根据等腰三角形的两底相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和求出∠A、∠C与∠ABC，最后根据三角形的内角和求出x，即可得到答案。
16．（2024八下·哈尔滨开学考）若，，则 ．
【答案】5
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】利用平方差公式举哀那个第一等式的左边分解因式，再整体代入进行计算，即可得出答案．
17．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且，AD、BE相交于P点，，已知，，则 ．
【答案】4
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在与中，
∴，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ，
∴AD=BE=BP+PE=BP+1=9，
∴BP=8，
∴
故答案为：4.
【分析】根据题意证明，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠CAD，进而推出∠BPD=60°，再根据垂直定理求出BP的长，进而即可求出PQ的长。
18．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为27，则BC的长为 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD=AC，
又∵ △DBC的周长为27，
∴BC+BD+CD=27，
即BC+AC=27，
∴BC=12
故答案为：12.
【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=BD，再根据△DBC的周长为27，等量代换即可得到答案。
19．（2024八下·哈尔滨开学考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
【答案】71°或19°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°.
故答案为：19°或71°.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数；②若∠A＞90°，如图2所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠DAB的度数，进而邻补角定义算出∠BAC的度数，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数.
20．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，AD为△ABC中BC边上的中线，AE平分∠BAD交BC边于点E，且，若，则线段AB的长为 ．
【答案】10
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：
如图，延长AD至F，使DF=AD，连接CF，
在与中，
，
∴，
∴AB=CF，∠FCD=∠B，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠AED+∠ACE=90°，∠EAD+∠DAC=90°，
∴∠B+∠BAE+∠ACE=90°，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠B+∠ACD=∠CAD，
∴∠FAC=∠FCA，
∴CF=AF=10，
∴AB=CF=10.
故答案为：10.
【分析】延长AD至F，使DF=AD，连接CF，根据题意证明，根据全等三角形的性质得到AB=CF，∠FCD=∠B，根据等腰三角形的判定定理得到CF=AF，等量代换即可得到答案。
三、解答题：（其中21-25题各8分，26-27各10分，共60分）
21．（2024八下·哈尔滨开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式的计算方法展开，再合并同类项即可；
（2）先将二次根式的除法转化为乘法，再利用二次根式的乘法公式计算即可。
22．（2024八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式=
=
=3x+6-x+2
，
=-2+1=-1，
将代入求值为6.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化简得到2x+8，将x的值求出代入化简后的式子，即可得到答案。
23．（2024八下·哈尔滨开学考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）请画出△ABC关于x轴对称的；
（2）请画出△ABC向右平移6个单位的图形；
（3）请直接写出的面积．
【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）8
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）如图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求；
（3）.
故答案为：8.
【分析】 （1）根据轴对称的性质写出的坐标，然后描点即可得到答案；
（2）根据平移的性质写出的坐标，然后描点即可得到答案；
（3）根据三角形的面积公式进行计算，即可得到答案。
24．（2024八下·哈尔滨开学考）先阅读下面的解答过程，再解决问题
形如的化简，只要我们找到两个数a、，
使，，
这样，，
于是
举例：化简
解：这里，
∵，
即，，
∴
用上述例题的方法化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：m=7，n=10，
∵2+5=7，2×5=10，
即，，
∴
（2）解：
m=9，n=8，
∵1+8=9，1×8=8，
即，，
∴
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】（1）根据题干中的化简方法，得到m与n的值，进而逐步化简，即可得到答案；
（2） 将 变成 的形式，再根据题干中的化简方法，得到m与n的值，进而逐步化简，即可得到答案。
25．（2024八下·哈尔滨开学考）
（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②已知，，请利用上述等式求mn的值．
【答案】（1）；4ab
（2）解：①∵，，
∴
∴；
②∵，，
∴
∴13-5=8mn，
即mn=1.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积和，即可得到答案；
（2） ① 根据代数恒等式得到，代入数值根据完全平方公式即可得到答案；
②根据代数恒等式得到，代入数值即可得到答案；
26．（2024八下·哈尔滨开学考）某中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【答案】（1）解：设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，根据题意得：
，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解，当x=8时，x+4=12，
答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元；
（2）解：设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得：
8×(1+25%)y+12(200-y)≤2120
即y≥140，
∴y的最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本文学书.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，根据用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等，即可列出方程，进而得到答案；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，即可列出不等式，解不等式即可得到答案。
27．（2024八下·哈尔滨开学考）已知：CD是△ABC的高，且．
（1）如图1，求证：；
图1
（2）如图2，K为△ABC内一点，连接AK、BK，且，求证：；
图2
（3）如图3，在（2）的条件下，点E、F分别在线段AD、BD上，连接CE、CF分别交AK、BK于点G、H，连接DG、DH，若，试猜想∠ECF的度数，请直接写出你的猜想并证明．
图3
【答案】（1）解：∵ CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵CD=CD，∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AC=BC；
（2）解：
如图，延长BK交CD于F，
∵ ，
∴，
∵∠AKB=∠EFK+∠FEK，
∴，
∵
∠EFK=90°-∠ABK，
∴，
∴ ；
（3）解：猜想：
证明：过点C作CE的垂线，截取，连接PB，PH，
则∠ECP=90°，
∴∠BCP+∠BCG=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠ACG=∠BCP，
∵AC=BC，
∴，
∴ ， ，
延长GD至点Q，使 连接BQ，HQ，GH，
图3
∵AC=BC，∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，∠CAB=∠CBA，
∵∠ADG=∠BDQ，
∴，
∴ ， ，
∴BP=BQ，
∵∠GDH=90°，
∴DH⊥GD，
∵DQ=DG，
∴GH=QH，
∵∠CAG=∠ABK，
∴∠CBP=∠ABK，
∴∠CAB=∠CBA=∠PBH，
∵∠GAD+∠CAG=∠QBD+∠ABK，
∴∠CAB=∠QBH，
∴∠PBH=∠QBH，
∵BH=BH，
∴，
∴，
∴GH=PH，
∵CG=CP，CH=CH，
∴，
∴ ，
即
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明AC=BC；
（2）延长BK交CD于F，由三角形外角性质得到∠AKB=∠EFK+∠FEK，再由直角三角形的性质得到∠EFK=90°-∠ABK，进而得到答案；
（3）过点C作CE的垂线，截取，连接PB，PH，根据题意证明，根据全等三角形的性质得到 ，延长GD至点Q，使 连接BQ，HQ，GH，
证得 ， ，证得，证得，证得，即可得出结论。
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