5.1.2+弧度制 课件（共18张PPT）-2023-2024学年高一数学同步精品课件（人教A版2019必修第一册）

5.1.2弧度制
复习导入
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生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制; 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.
问题：角的度量单位是什么？换算的进制是多少？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小？
新知探究
活动1：准备一张半圆纸板、一把刻度直尺、若干细线。通过小组合作,试试运用现有的实验用具, 在这张半圆纸上标出 36°的角.
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先用细线度量半圆弧长, 然后再用刻度尺，将细线分成 5 份, 其中一份弧长所对的角就是 36° 的角.
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思考：通过弧长，我们可以量出 36°的角，那我们可以直接用弧长来衡量角的大小吗?
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新知探究
问题1：观察这三个扇形, 同学们发现什么?
追问1：完成下表，并观察，你发现什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}半径r
r=1
r=2
r=3
r=4
圆弧长l
????=????????
?
????=????????????
?
????=????
?
????=????????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
结果：若????=60°，则????????=????3
?
弧长之比=所对圆心角之比
????2????????=????360
?
?????=????????????180
?
(????为圆心角度数)
?
新知探究
追问2：其它角是否也有这一规律呢？
α=45°
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}半径r
r=1
r=2
r=3
r=4
圆弧长l
????=????????
?
????=????????
?
????=????????????
?
????=????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
结果：若????=45°，则????????=????4
?
弧长之比=所对圆心角之比
?????=????????????180
?
(????为圆心角度数)
?
????2????????=????360
?
?????????=????????180 ?
?
当圆心角α确定后，所对的圆弧的长与圆的半径的比值????????是一个定值.
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新知探究
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号????????????表示，读作弧度.
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则|α|=lr.
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追问：角度制中，1度角的大小是怎么规定的？
古巴比伦人发现地球公转周期大约为360天
新知探究
活动2：在单位圆中画出下列角度，并换算为弧度制。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
?
????6
?
????4
?
????3
?
2????3
?
????2
?
3????4
?
5????6
?
????
?
3????2
?
2????
?
新知探究
????????????°=???? ????????????
?
????°=???????????????? ????????????≈????.????????????????????????????????
?
???? ????????????=(????????????????)°≈????????.????????°
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练习1：把下列角度化为弧度：
(1)144°； (2)?300°； (3)-210°； (4)22°30’
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解：(1)144°=144×????180=144????180=4????5. (2)?300°=?300×????180=?5????3.
(3)210°=210×????180=210????180=7????6. (4)22°30’=22.5×????180=45????360=????8.
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新知探究
变式1-1：把下列弧度化为角度：
(1)π6； (2)?2π3； (3)11π9； (4)4．
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解：（1）????6=????6×180????°=30°.
（2）?2????3=?2????3×180????°=?120°.
（3）11????9=11????9×180????°=220°.
（4）4=4×(180????)°=(720????)°.
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练习巩固
变式1-2：把下列角度与弧度进行互化.
(1)120°； (2)-32°； (3)?3????5； (4)????9； (5)112°30’.
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解：(1)120°=120×????180=2????3.
(2)?32°=?32×????180=?8????45.
(3)?3????5=?3????5×(180????)°=?108°.
(4)????9=????9×(180????)°=1809°≈20°.
(5)112°30’=112.5°=112.5×????180=5????8.
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练习巩固
变式1-3：把下列各角化成α+2kπ0≤α<2π,k∈Z的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)23π6； (2)?1680?； (3)?18π7； (4)755?．
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解：（1）23π6=11π6+2π，是第四象限角；
（2）?1680?=120??5×360?=2π3?10π，是第二象限角；
（3）?18π7=10π7?4π，是第三象限角；
（4）755?=35?+2×360?=7π36+4π，是第一象限角.
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练习巩固
例6：写利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)l=αR； (2)S=12αR2； (3)S=12lR.
其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.
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证明：由公式|????|=????????可得：????=????????.下面证明(2)(3).
半径为????，圆心角为????°的扇形的弧长公式和面积公式分别是：
????=????????????180,????=????????????2360,将????°转换为弧度制，得：????=????????180，于是，????=12????????2.
将????=????????代入上式，即得????=12????????.
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
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练习巩固
弧长公式：????=????????； 扇形面积公式：????=12????????2=12????????
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练习2：已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.
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解：设扇形圆心角的弧度数为????(0当????1=1时，???? =8，此时，????=8 ????????????，舍去.
当????2=4时，???? =2，此时，????=12 ????????????.
综上所述，扇形圆心角的弧度数为12 ????????????.
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练习巩固
变式2-1：已知一扇形的圆心角是150°，半径为12，求扇形的面积.
解：设扇形的弧长为????，
∵圆心角150°=150×????180=5????6 ????????????.
∴扇形弧长???? =|????|?????=5????6×12=10????，
于是，扇形的面积????=12?????????=12×10????×12=60????.
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练习巩固
变式2-2：扇形圆心角为αα>0，周长为C，面积为S，所在圆半径为r.
（1）若α=90°，r=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积
（2）若C=6cm，S=2cm2，求α的值.
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解：（1）设弧长为l，弓形面积为S1，则α=90°=π2，r=10，l=π2×10=5π????????，
S1=S?S△=12×5π×10?12×10×10 =25π?50????????2；
（2）由已知得2r+l=612lr=2，解得r=1l=4或r=2l=2，
∴α=4或α=1
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练习巩固
练习3：已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
(1)若α=60°，R=6，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角α．
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解：（1）因为α=60°=π3，R=6，所以扇形的弧长l=αR=2π；
（2）由扇形面积S=12αR2=12lR=16，得l=32R，则
扇形周长为l+2R=32R+2R≥232R×2R=16，当且仅当32R=2R，即R=4时，取等号，
此时，12α×42=16，所以α=2，
所以扇形周长的最小值为16，此时α=2.
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小结