2023-2024学年吉林省四平市四平第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省四平第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数虚部是( )
A. B. C. D.
2.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.已知复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.某校高一年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量山峰的高度如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了米到达点在同一个平面内，在处测得山顶的仰角为，则山峰高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则下列叙述中正确的是( )
A. 的实部是
B.
C.
D. 在复平面内，复数对应的点位于第一象限
10.已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
11.在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是( )
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则______．
13.设复数，，则 ______．
14.已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，其中为虚数单位．
若，求；
若复数为纯虚数，求的值．
16.本小题分
已知向量，，．
若向量，求向量与向量的夹角的大小；
若向量，求向量在向量方向上的投影向量的坐标．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若，又以，，为边长的三个正三角形的面积分别为，，，且．
求角的大小；
求的面积；
若，求的周长．
18.本小题分
如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点．
用，表示；
过点作直线交线段于点，交线段于点，且，，求的值；
若，求的值．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边．
若．
求；
当时，求面积的最大值；
若，，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数虚部是．
故选：．
直接计算虚部即可．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
结合已知，根据正弦定理，可求．
【解答】
解：根据正弦定理，，
则，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，，
，，三点共线，
，
解得，
故选：．
利用向量共线定理即可得出．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由已知，又，
所以，
解得．
故选：．
利用向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，，，满足两边之和大于第三边，
由余弦定理可得：，
则为锐角，可得三角形只有一解，故A错误；
B.由，，，可得，则三角形有两解，故B正确；
C.由，，，可得，则三角形有一解，故C错误；
D.由，，，可得，则，为锐角，可得三角形只有一解，故D错误．
故选：．
根据正弦定理，余弦定理，三角形的性质即可逐项判断三角形的个数．
本题考查三角形个数的判断，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设，，，
则，
即，表示以为圆心，为半径的圆，
所以可理解为圆上的点到的距离，
所以的最大值为．
故选：．
几何意义为圆上的点，理解为圆上的点到的距离，利用圆的性质求最值即可．
本题主要考查了复数几何意义的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在中，，，，
因为，且，
所以，在中，．
故选：．
在中，利用正弦定理列式算出的长，进而在中求出的长，可得山峰的高度．
本题主要考查三角恒等变换公式、利用正弦定理解三角形及其应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，以及正弦定理和三角恒等变换，属较难题．
由已知得点在的平分线上，即为的平分线，由正弦定理得，计算可得的最小值．
【解答】
解：，，
点在的平分线上，即为的平分线，
在中，，，利用正弦定理得，
在中，，，利用正弦定理得，
，其中，
，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：，
故的实部是，，，
其在复平面对应的点为，在第一象限．
故选：．
求出复数的代数形式，然后逐一判断即可．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若，根据大边对大角，所以，故A正确；
对于，因为为锐角，故，即，
即，因此选项正确；
对于，因为函数在区间上单调递增，，
故若，则有，
又因为函数在区间上单调递减，故，故选项C错误；
对于，因为，所以，
所以，同理可得，，
三个式子相加得，故D正确．
故选：．
根据大边对大角，即可判断；利用余弦定理即可判断；利用正余弦函数的单调性即可判断；利用诱导公式和正弦函数的单调性可得，同理可得，，即可判断．
本题主要考查了三角形的边角关系，余弦定理，三角函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，为内的一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
对于选项A：若为的重心，
则，，
则，
所以，
若，
由平面向量基本定理可得：，
解得，
所以，
即选项A正确；
对于选项B：若为的外心，其必在直线上，
所以，
即选项B错误；
对于选项C：若为的垂心，其必在上，
设，
则，
解得，
此时，
若，
由平面向量基本定理可得：，
解得，
所以，
即选项C正确；
对于选项D：若为的内心，
设内切圆半径为，
则，
得，
则，
此时，
若，
由平面向量基本定理可得：，
解得，
所以，
即选项D正确．
故选：．
对于：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于：利用展开计算即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量基本定理，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：向量，的夹角为，，，
则，
则，
故答案为：
根据向量的数量积和向量的模计算即可．
本题考查了向量的数量积和向量的模，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
则，
所以．
故答案为：．
通过计算得到，然后整体代入计算即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数量积与向量的夹角，得出，且与不共线是解决问题的关键，属中档题．由向量坐标的运算可得的坐标，由题意可得，且与不共线，解不等式可得实数的取值范围．
【解答】解：，
．
与的夹角为锐角．
，且与不共线．
，且．
解得且．
故答案为．
15.【答案】解：时，，所以．
因为复数为纯虚数，
所以，即，
解得或．
【解析】时求出，再由复数模的公式求解；
由复数为纯虚数，根据虚部、实部满足条件求解即可．
本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念的应用，属于基础题．
16.【答案】解：因为，所以，即，
所以，，
所以，
又因为，
所以向量与的夹角为；
，；
由，得，所以，
，，
则在方向上的投影向量为：
．
【解析】根据向量垂直的坐标表示求得，然后由向量夹角的坐标表示可得；
由向量垂直的坐标表示求得，然后由投影向量公式可得．
本题考查向量的坐标运算及投影向量的求法，属中档题．
17.【答案】解：因为由正弦定理可得为外接圆半径，
可得，，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
又
所以；
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以；
由题意，，
所以，
由代入得，，
所以，
又因为，
所以，即，
于是的周长为．
【解析】利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简可得结论；
根据面积公式化简，结合余弦定理可求，利用三角形面积公式求的面积；
由正弦定理可将条件可化为，结合的结论可求，再由正弦定理求，结合余弦定理求，可得结论．
本题考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：由是的中点，，
可得；
，，共线，所以，
所以，即，
由，得，
又因为，所以，
由平面向量基本定理，可得，
解得，即，
因为，，共线，所以，
即，
所以，解得；
因为，
故可得，
所以，
整理得，所以，从而得．
【解析】根据平面向量的线性运算，结合三角形的结合特点，直接求解即可；
先求得，再将其转化为用表示，结合三点共线，即可求得参数值；
用基底表示目标式中的所有向量，再结合向量的数量积运算，即可求得结果．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
19.【答案】解：在中，由正弦定理得，
又因为，
所以，
化简得，即，
又，则，所以，所以；
由余弦定理得，所以，即，
所以，当且仅当时面积最大；
因为，
由题意可得，即，
整理得，
由正弦定理可得，即，
则由余弦定理得，
所以，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
即面积的最大值．
【解析】利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理化简即可；
利用余弦定理以及基本不等式求出的最大值，进而可得面积的最大值；
先将条件利用三角公式变形，然后利用正弦定理角化边可得，接着利用余弦定理和同角关系结合面积公式得，最后利用基本不等式求面积的最大值即可．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
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