2023-2024学年辽宁省沈阳市沈阳二中高一（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，，则集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，若，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.( )
A. B. C. D.
4.古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼现在的阿斯旺，在北回归线上记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为他又派人测得，两地的距离，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为( )
A. B. C. D.
5.已知均为单位向量，且满足，则( )
A. B. C. D.
6.如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有个零点，至多有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等腰中，已知，，若、、、分别为的垂心、外心、重心和内心，则下列四种说法正确的有( )
A. B. C. D.
10.下列说法中正确的有( )
A. 与垂直的单位向量为
B. 已知在上的投影向量为且，则
C. 若非零向量，满足，则与的夹角是
D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
11.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若方程在上有且只有个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则 ______．
13.求值 ______．
14.已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”已知集合，函数，表示不超过的最大整数，例如，当时，函数的所有“子母数”之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为米，轮上最低点与地面的距离为米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟在圆周上均匀分布个座舱，标号分别为可视为点，在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．
求号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
在前分钟内，求号座舱与地面的距离为米时的值；
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于，两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数．
若为偶函数，求函数的定义域；
若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知向量，，函数．
求的值；
当时，方程有解，求实数的取值范围；
是否存在正实数，使不等式对所有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；
已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：解不等式，可得，
所以，整数的取值有、、，
又因为集合，，
则，即集合中的元素个数为．
故选：．
解不等式，得出整数的取值，即可得解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：平面向量，，，
则，即，即，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知，
所以，
即．
故选：．
利用正切和角公式得到，整理后得到答案．
本题考查了正切和角公式，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：设地心为，依题意可得，，，
设地球的周长为，半径为，
则，所以．
故选：．
利用圆的性质及周长公式即可求解．
本题考查三角函数的实际应用，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
两边同时平方得：，
因为均为单位向量，所以，
所以，
由，得，
所以，
所以．
故选：．
由，得，两边平方求出，，分别求出，再根据向量夹角得计算公式即可得解．
本题考查平面向量数量积的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：
，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形的顶点时，，
所以，
则，
即．
故选：．
根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为是的外心，为的中点，
设的中点为，连接，
所以，，
设，
则
，
又是的外心，
所以
，
所以．
故选：．
根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解．
本题考查了三角形外接圆的性质，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，
即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，
则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻三个零点之间的距离为，相邻四个零点之间的最大距离为，
所以要使函数在区间上至少有个零点，至多有个零点，
则需相邻三个零点之间的距离不大于，相邻四个零点之间的最大距离大于，
即，解得，即．
故选：．
根据题意，将问题转化为研究在任意一个长度为的区间上的零点问题，分别求得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最大距离，从而得到关于的不等式组，解之即可得解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项：因为为垂心，为三条高线的交点，则，选项A正确；
选项：因为为外心，是三条边中垂线的交点，
则，选项B正确；
选项：因为为重心，所以，
所以，选项C正确；
选项：因为为内心，为等腰三角形，为底边，
所以在方向上的投影为，
所以，选项D错误．
故选：．
根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得．
本题考查了三角形四心的性质，考查了平面向量的数量积，考查了转化思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，设与垂直的单位向量的坐标为，
则，解得或，故A错误；
对于，因为在上的投影向量为，所以，
又因为，所以，从而，故B正确；
对于，若非零向量，满足，则，
即有，所以，
又因为，
所以与的夹角的余弦值为，
因为，所以与的夹角是，故C正确；
对于，当时，与平行，不满足与夹角为锐角，
所以若与夹角为锐角，则的取值范围不包含，但答案中的取值范围包含，故D错误．
故选：．
对于，设所求向量坐标为，由此可得，进一步即可验算；对于，一方面有，进一步有，由此即可验算；对于，由已知首先得，进一步，且，由此结合向量夹角的余弦公式即可求解；对于，可以说明时，与夹角为锐角不成立即可判断．
本题考查平面向量的数量积与夹角，涉及向量的模，投影向量等，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由已知函数的部分图象可得：，，即，
又因为，所以，所以．
因为的图象过点，所以，即，
解得，
由已知函数的部分图象可可知：，即，即，
所以，故，故A正确；
将的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是，
显然该函数为非奇非偶函数，故B错误；
因为，所以点不是函数的对称点，故C不正确；
因为，
若方程在上有且只有个根，则，故D正确．
故选：．
根据已知图象及特殊点的坐标得出函数的解析式，进而判断选项A的正误；根据函数的平移变换可得出新函数的解析式，进而判断选项B的正误；将点代入函数的解析式验证即可判断选项C的正误；结合三角函数的图象与性质可判断实数的取值范围即可判断选项D的正误．
本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，且为单位向量，
所以，所以，
所以．
故答案为：．
首先由两边平方结合是单位向量得，从而由向量夹角公式、数量积运算律以及模的计算公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积与夹角的求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由和差化积公式可得
，
则
．
故答案为：．
利用切化弦，辅助角公式和和差化积公式化简得到答案．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以由，
可得，解得，即，
如图为的图象，
由的周期性，所以只需讨论一个周期内的情况即可，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以，即在一个周期内的部分，
由图得时，，
，，
所以且在定义域内的为，，，，，，
所以数的所有“子母数”之和为．
故答案为：．
解不等式，得集合，画出的图象，根据图象得到的部分，求出且在定义域内的之和即可求解．
本题属于新概念题，考查了三角函数的性质、数形结合思想，理解定义及作出图象是关键上，属于中档题．
15.【答案】解：设号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，
依题意可得，，
．
依题意，
，
当时，，
，
．
令，
即，
，
，，
或，解得或，
或时，号座舱与地面的距离为米．
【解析】依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可；
令，结合正弦函数的性质计算可得．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：由题意知，，点，
则有，解得，
又为锐角，则，
因钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，则，
所以．
由知，
则，
从而，
因为为锐角，，
则有，即，又，
因此，
所以．
【解析】根据已知条件，利用三角形面积公式及同角公式求出，的正余弦，再利用差角的余弦计算作答．
利用中信息求出，再讨论的范围求解作答．
本题考查了两角和与差的三角函数的求值以及三角函数的定义的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为为偶函数，所以，
所以，由，可得，
，，
所以，，
所以的定义域是．
因为过点，所以，，
所以，又因为，，
所以，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，，
，
因为，所以，
设，
则有图像是开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，所以，
所以，解得，所以，
当时，在上单调递减，
所以，所以，解得，
所以，
当时，，
所以，解得，
所以，
综上所述：实数的取值范围为．
【解析】由函数为偶函数可求出，从而可得的解析式，由对数函数的性质可得，解三角函数不等式即可得解；
由题意可将问题转化为，结合正弦函数的性质及二次函数的性质求解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可知：，
可得．
令，
因为，
则，，
可得，
且的图象开口向上，对称轴为直线，
可知在上单调递减，
则，，
因为方程在有解，
可得，
解得．
存在，符合题意，
因为，
则，
不等式可化为对恒成立，
令，，
则，解得，
若，则，可知的开口向下，
则，可知符合题意，
综上所述：的取值范围为．
【解析】根据题意可得，代入即可得结果；
令，可得，根据题意结合二次函数分析求解；
根据题意分析可知对恒成立，取特值可得取值范围，并代入结合二次函数的最值分析求解．
本题考查了平面向量的线性运算、三角恒等变化及二次函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：由已知可得：，
所以，
又，所以，
所以，
所以
；
，
所以，，，
所以与共线的单位向量为和；
，
因为为的相伴特征向量，
所以，解得，
所以，
所以，
，
假设在的图象上是否存在一点，使得，
由，，
可得，
化简得，
令，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以，因为，
所以当且仅当且时，成立，
此时，，即，即点，
所以的图象上是存在一点，使得．
【解析】利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解；
利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解；
利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解．
本题考查向量与三角的综合应用，属中档题．
第1页，共1页