厦门双十中学2024届高三热身考试数学试题
考试时间120分钟，祝考试顺利！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合B，再根据集合间关系判断.
【详解】由，得，则，所以.
故选：A.
2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可.
【详解】方程可化为：，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：C
3. 设l，m，n是不同的直线，m，n在平面内，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】若且，当时，直线可以与平面平行，此时，不能推出，
若，m，n是平面内两条不同的直线，则，，
所以“且”是“”的必要不充分的条件.
故选：B
4. 在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律结合，求出，继而根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得答案.
【详解】因为点分别为和的中点，
，所以，
又
，
故选：B.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 52 B. 54 C. 56 D. 58
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得也是等差数列，可求得，进而可得.
【详解】由等差数列的前项和为，可得也是等差数列，
又，，所以的公差为1，
所以，所以，所以.
故选：C.
6 已知，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，利用，可求值.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：D.
7. 已知为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数图象平移的规则，且为奇函数，得出函数图象的对称性，进而得出的值.
【详解】由函数图象平移的规则可知：
函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得到的，
因为函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
所以函数的图象关于点对称，得：
，
即，
故选：D.
8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解.
【详解】令外接球的半径为，依题意，，，
过点作，则，所以，
又，所以，
所以圆台的侧面积，
球的表面积，
所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A. B.
C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立
【答案】AC
【解析】
【分析】分别求出事件的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.
【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，
所以；故A正确；
“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，
所以；
“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，
所以；
表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以；
表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，
所以.
因为，故B错误；
因为，所以互斥，故C正确；
因为，所以不独立，故D错误.
故选：AC
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 若方程在上有且只有5个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.
【详解】对于A，由，得，即，又，
，故A正确；
对于C，又的图象过点，则，即，
，即得，，又，，
所以，故C正确；
对于B，因为，而，
故直线不是函数的对称轴，故B错误；
对于D，由，得，
解得或，，
方程在上有5个根，从小到大依次为：，
而第7个根为，所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ）
A. C的离心率为3 B. 当时，
C. D. 为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.
【详解】由题意得，，故A错误；
联立，得，解得或，则，故B正确；
由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上，
设，的斜率分别为，，，故直线的方程为，
联立，得，
设，则，，故.
当轴时，，是等腰直角三角形，且易知；
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故，
因为，所以，所以，，故C正确；
因为，故，故，故D正确.
故选:BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.
【详解】由题意得，，解得，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
【答案】270
【解析】
【分析】
首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.
【详解】令，展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，
所以展开式的通项，令，得，
所以常数项为.
故答案为：270.
【点睛】对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.
14. 在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】借助等面积法及基本不等式计算即可得.
【详解】如图所示，由题意知，
因为是的平分线且，，
可得，
即，即，且，，
则，
当且仅当，即也即时，等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 正方体的棱长为2，分别是的中点.
（1）求证：面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理构建线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行即可.
（2）利用线面平行合理转化点面距离，再利用等体积法处理即可.
【小问1详解】
连接，因为分别是的中点，
由中位线定理得，又，
所以，所以四点共面，由于是AD的中点，
则且那么四边形为平行四边形，
从而，又面面故面，
【小问2详解】
由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离.
易得，
利用余弦定理得
则
设点到平面的距离，
利用等体积法，
可得，
即点到平面距离为.
16. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）递增区间为，递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；
（2）可借助，得到，在的情况下，借助，从而构造函数，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到对任意的恒成立，通过研究得解.
【小问1详解】
当时，，其定义域为，
，
令，得（舍去），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
方法1：由条件可知，于是，解得．
当时，，
构造函数，，
，
所以函数在上单调递减，于是，
因此实数m的取值范围是．
方法2：由条件可知对任意的恒成立，
令，，只需即可．
，
令，则，
所以函数在上单调递增，
于是，所以函数在上单调递增，
所以，于是，因此实数m的取值范围是．
17. 某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下：
7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09
6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14
根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，.
（1）估计优果的个数；
（2）为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小.
（ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数.
附：若，则；，.
【答案】（1）
（2）说明见解析；3，
【解析】
【分析】（1）根据样本估计总体的思想求解即可；
（2）根据正态分布和独立重复试验的二项分布规律即可求解.
【小问1详解】
根据题意，20棵样本果树中果实平均直径大于7.2cm的有3棵，
所以该农村地区2000棵果树中果实平均直径大于7.2cm的有棵，
平均每棵果树结果50个，
所以估计优果的个数为（个）；
【小问2详解】
（ⅰ）
因为，
所以，
所以，
个测量果实直径，出现果实小于的果实的概率为：
，
当越来越大时，越来越小，越来越大，
所以试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅰⅰ）得，
，
因为为整数，
所以，
估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数为个.
18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线的方程.
（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【答案】（1）
（2）过定点，定点坐标为
【解析】
【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；
（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.
【小问1详解】
点到圆上点的最大距离为，即，得,
故抛物线的方程为.
【小问2详解】
设，则方程，方程为,
联立与抛物线的方程可得，即,
因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，
则点坐标为,同理可得点坐标为,
因此直线的斜率为,
代入点坐标可以得到方程为,
整理可以得到,因此经过定点.
19. 对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.
（1）若为等比数列，求；
（2）求在，，，…，中，3级十全十美数的个数.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）设的公比为，根据题意，列出方程组，即可求得的值；
（2）由（1）知，得到，和，两式相减得，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合二项展开式的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公比为，
则，即，
由，可得，解得或，
所以或.
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，，
当时，，
两式相减得.
当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0；
当为偶数时，设，则，
要想末尾3个数字为0，需满足被整除，
当时，均不符合题意；
当时，，
自，以后各项均可被125整除，
故只需考虑能否被125整除，
其中不是5的倍数，
故若原式能被整除，需为偶数且能被整除，即需是50的倍数，
在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000，
故在，，…，中，3级十全十美数的个数为40.
【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解；
4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解；
5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明；
6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解.厦门双十中学2024届高三热身考试数学试题
考试时间120分钟，祝考试顺利！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A. B.
C. D. 或
3. 设l，m，n是不同的直线，m，n在平面内，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 52 B. 54 C. 56 D. 58
6. 已知，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
7. 已知为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A. B.
C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 若方程在上有且只有5个根，则
11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ）
A. C的离心率为3 B. 当时，
C. D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.
13. 已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
14. 在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 正方体的棱长为2，分别是的中点.
（1）求证：面；
（2）求点到平面的距离.
16. 已知函数．
（1）当时，求函数单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
17. 某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下：
7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09
6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14
根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，.
（1）估计优果的个数；
（2）为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小.
（ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数.
附：若，则；，.
18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线的方程.
（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19. 对于，，不是10整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.
（1）若为等比数列，求；
（2）求在，，，…，中，3级十全十美数个数.
