上杭一中五月数学模拟考
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助向量垂直可得，结合投影向量定义计算即可得解.
【详解】由，则有，即，
则，故.
故选：C.
2. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A. 288 B. 144 C. 96 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的前项和列方程组求出，进而即可求解.
【详解】由题意，即，解得.
于是.
故选：B.
3. 已知随机事件，，满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 不可能事件与事件互斥
B. 必然事件与事件相互独立
C.
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件的概念，以及实践之间的关系，和条件概率的运算求解.
【详解】因不可能事件与事件不会同时发生，所以互斥，A正确；
因为,
所以，所以必然事件与事件相互独立，B正确；
因为，且不会同时发生，
所以，C正确；
例如，抛掷一枚骰子1次的试验，
设事件为出现点数小于等于4，事件为出现点数小于等于2，
则，但， D 错误，
故选:D.
4. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..
【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm，
由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有，
即，可得，则，
.
故选：B.
5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，可将转化为，结合导数可得在上单调递增，即可得.
【详解】由题可得，
所以，
即有，即，
故不等式等价于，
又，
当时，，故，
当时，
，，故，
即恒成立，故在上单调递增，
故由可得，即.
故选：A.
6. 设为函数在区间的两个零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质和诱导公式，可得再由二倍角公式和同角基本关系式求解.
【详解】因为，又因为，所以
则，
因为，所以，
所以.
故选：B．
7. 复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解.
【详解】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选：D
【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.
8. 已知函数，为的反函数，若、的图像与直线交点的横坐标分别为，，则下列说法正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，由条件可得，由其单调性即可判断AB，再由零点存在定理即可判断C，构造函数，求导可得其单调性即可判断D
【详解】由题意得且，而可变形为，
令，在上单调递增，
则，故，所以，所以A错误；
由可得，，所以B错误；
由于，，
结合在上单调递增，由零点存在性定理得，故C错误；
由，令，，
因为，所以，所以在时单调递减，
所以，所以，即，所以D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数单调性以及零点问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，利用导数研究函数性质.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线一定过样本点中心
C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助方差性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，
新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；
对B：由，故线性回归直线一定过样本点中心，故B正确；
对C：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
其模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知正方体的棱长为3，P在棱上，为的中点，则（ ）
A. 当时，到平面的距离为 B. 当时，平面
C. 三棱锥的体积不为定值 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】当时与重合，则为正三棱锥，求出点到平面的距离，即可判断A，设为的中点，连接、，即可证明、，从而得到平面，即可判断B，由判断C，设点到平面的距离为，与平面所成角为，则，求出的面积最值，从而求出相应的，再由判断D.
【详解】当时与重合，则为正三棱锥，，
设在平面内的投影为，则为的中心，
则，
所以，即当时，点到平面的距离为，故A正确；
由正方体的性质可得平面，平面，所以，
设为的中点，连接、，则平面，平面，所以，
当时为的中点，则，所以，
又，所以，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
，平面，所以平面，故B正确；
当运动时，到平面的距离保持不变为，
又，
所以，
所以三棱锥的体积为定值，故C错误；
由C可知，三棱锥的体积为定值，设点到平面的距离为，与平面所成角为，
所以，
显然当时，的面积最大为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
当时，的面积最小为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
所以与平面所成角正弦值的取值范围是，故D正确.
故选：ABD．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则在上递增
B. 若为奇函数，则
C. 若是的极值点，则
D. 若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为
【答案】BCD
【解析】
【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A；由奇函数即可判断B；根据已知条件计算出即可判断C；由已知求出范围，即可判断D．
【详解】对于A，，当时，，
因为时单调递减，时，单调递增，故A错误；
对于B，若为奇函数，则，则，又，所以，故B正确；
对于C，当时，，则，
又是的极值点，所以，即，又，则，经检验为的极值点，
故，故C正确；
对于D，由和都是的零点得，，
两式相减得，
由在上具有单调性且和都是的零点得，，
解得，所以的取值集合为，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：对于D选项中求的范围，一是根据和是的零点得出，二是结合在具有单调性，即区间左端点为零点，得出.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理得到，即可求出的取值范围.
【详解】由正弦定理，要使有两解，则，即，
所以，即的取值范围是.
法二：由正弦定理可得，
由题意可知：关于的方程：在有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，
因为它们有两个不同的交点，所以，所以.
故答案为：
13. 点为圆上的动点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.
【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，，
由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，.
而这又可以等价转化为，，
故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解.
该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得.
法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围，
使得直线和圆有公共点.
该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即.
解得.
故答案为：.
14. 已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称，若，则面积的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由求出点轨迹，由轨迹特征求点到直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围.
【详解】以为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
设，，所以，，
因为，所以，即位于双曲线的右支上，渐近线方程为或，
直线与直线：的距离为，即点到直线的距离的取值范围是，
又，所以面积的取值范围是.
因为不重合，故不重合，故面积不为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中为常数.
（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；
（2）若，使成立，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；
（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.
【小问1详解】
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
【小问2详解】
，，即成立，
则得在有解，
故有时，.
令，，，
令得；令得，
故在单调递减，单调递增，
所以，
则，故的最小值为.
16. 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
（2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，96
【解析】
【分析】（1）利用正难则反的原则即可得到答案；
（2）按步骤得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【小问1详解】
设事件“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，
因为每次摸出的球不放回袋中，所以.
【小问2详解】
由已知得，，
因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为，，，
所以，，
，
，，
所以得分布列为
80 90 100 110 120
所以.
17. 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.
（1）求证：；
（2）若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
分析】（1）通过证明平面，证得；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
因为，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，所以，
底面圆，而底面圆，则，
，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
因为，圆锥的体积为，所以，所以，
因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
即平面的法向量为，
显然，
又底面圆，底面圆，
所以，
所以，，两两垂直，
以为原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
由题意，
点在圆上，则，如图所示，
在中，，则，
过作轴的垂线，垂足为，
有，，则，
得，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）借助椭圆定义计算即可得解；
（2）设，代入曲线方程中联立可得，结合题意计算可得，设，结合点在曲线上计算可得的值，即可得的面积.
【小问1详解】
因为，
所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，
设，则，即.
由知，
所以点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
设，则由，得.
因为点均在曲线上，所以，
同向相乘得
整理得：
又因为，所以，
所以，
设，则，
又因为点在曲线上，所以，
整理得：，
又因为，，
代入上式得：，即，
又因为，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于计算出后，利用面积公式得到，从而可通过计算的值得解.
19. 数列满足则称数列为下凸数列.
（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
（2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
（3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列新定义即可证明结论；
（2）根据定义只需证明即可，从而结合正项等比数列的性质即可证明；利用反证法可证明不是等比数列；
（3）先用反证法证明不可能从某一项开始单调递增，可得出，令，，可推出，即得，从而，利用累加法即可证明结论.
【小问1详解】
设正项等比数列的公比为，
则，即，
所以任意一个正项等比数列为下凸数列.
【小问2详解】
显然，
，
所以正项数列为下凸数列.
下面证明：正项数列不是等比数列.
若是等比数列，则，
所以，
因为数列，分别为两个正项等比数列，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，与矛盾，
所以数列不是等比数列.
【小问3详解】
假设存在一个常数，使得，但，
因为，所以，
将中换成得，.
进一步得，.
又，由不等式的可加性得，，
同理可得，，
所以，
所以数列从项到项单调递减，从项开始向后单调递增，
所以，
因为该规律是固定的，且，
所以当足够大时，必有，与题设矛盾，
所以不可能从某一项开始单调递增，所以，
令，，
由得，，
所以
所以，
即，
进一步得，，
所以，
，
，
，
相加得，
所以.
【点睛】难点点睛：本题考查了数列的新定义问题，解答时要注意理解新定义的含义，难点在于（3）中数列不等式的证明，解答时要首先利用反证法说明不可能从某一项开始单调递增，然后结合新定义以及数列的单调性进行求解.上杭一中五月数学模拟考
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A B. 5 C. D.
2. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A. 288 B. 144 C. 96 D. 25
3. 已知随机事件，，满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 不可能事件与事件互斥
B. 必然事件与事件相互独立
C
D. 若，则
4. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3
5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 设为函数在区间的两个零点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A. B.
C D.
8. 已知函数，为的反函数，若、的图像与直线交点的横坐标分别为，，则下列说法正确的为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线一定过样本点中心
C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
10. 已知正方体的棱长为3，P在棱上，为的中点，则（ ）
A. 当时，到平面的距离为 B. 当时，平面
C. 三棱锥的体积不为定值 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则在上递增
B. 若为奇函数，则
C. 若是的极值点，则
D. 若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是_________．
13. 点为圆上的动点，则的取值范围为__________.
14. 已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称，若，则面积的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中为常数.
（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；
（2）若，使成立，求的最小值.
16. 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
（2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.
17. 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.
（1）求证：；
（2）若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
19. 数列满足则称数列下凸数列.
（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
（2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
（3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.
