江西省南昌市外国语学校2023-2024学年度高一下学期5月份月考数学试卷（含解析）

南昌市外国语学校2023-2024学年度下学期5月份月考试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 满足 ，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设 为平面向量，则“存在实数 ，使得 ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系 中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点 重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当 时，点 与点之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知等腰梯形 中，,的中点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．计算：（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形 中，，为线段的中点，为线段 上一动点（包括端点），且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．若 为线段 的中点，则
C．的最小值为 D．的最大值比最小值为
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量 ，且 与 的夹角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．在 上的投影向量是
10．下列关于非零复数 的结论正确的是（ ）
A．若 互为共轭复数，则 B．若 ，则 互为共轭复数
C．若 互为共轭复数，则 D．若 ，则 ,互为共轭复数
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数 不是周期函数； B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于 对称： D．方程 只有一个实数根；
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量 ，满足 ，，则
13．已知与为互相垂直的单位向量，，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 .
14．函数的值域为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在锐角 中，角,,所对的边分别为,,，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的面积.
16．某同学用五点法作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数 的图象；
（2）将 的图象向右平移个单位，得到 的图象，若 的图象关于 轴对称，求 的最小值.
17．在 中，点 分别在边和边上，且 ,,交 于点 ，设.
（1）试用表示;
（2）点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置.
18．已知向量 ，若函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 ，求 的最值及取得最值时的 值；
（3）若函数 在 内有且只有一个零点，求实数的取值范围.
19．在路边安装路灯，灯柱 与地面垂直（满足 ），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且 ，路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ，路宽. 设灯柱高 .
（1）当 时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高（用 表示）；
（3）若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为，求关于 的函数表达式，并求出的最小值.
【参考答案】
南昌市外国语学校2023-2024学年度下学期5月份月考试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D
【详解】由题意知：,
所以 ，所以在复平面内对应的点 位于第四象限.
故选：.
2．B
【详解】若存在实数 ，使得 ，则有 ，
，若，则
故“存在实数 ，使得 ”不是“ ”的充分条件；
若 ，则有 ,
由平面向量共线定理可得：此时存在实数 ，使得 ,
故“存在实数 ，使得 ”是“ ”的必要条件；
即“存在实数 ，使得 ”是“ ”的必要不充分条件. 故选：.
3．B
【详解】设 ，则 ，
因 ，则 ， 故 ，故选：
4．D
【详解】展开过程中：，故选：.
5．B
【详解】 ，
，
. 故选 .
6．A
【详解】
，故选：
7．D
【详解】
,
，
. 故选：
8．C
【详解】以 为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，则 ,
因为 ，
所以 ，设 ，则 ，则 ,
则 ，即 ，解得 或 （舍去），
则 ，
说法正确；
若 为线段 的中点，则 ,
所以 ,
则 ，解得 ，则 ， 说法正确；
设 ，
则 ，
故当 时,取得最小值，故最小值为 ，选项说法错误；
，则 ，
因为 ，则 ，所以 ,
解得： ，
所以 的最大值比最小值大 ，说法正确.
故选：
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．ABD
【详解】对于 ，由 可得 ，故 正确；
对于 ，由于 ，所以 ，故 正确；
对于 ， ,
由于 ，所以 ，故 错误；
对于 ， 在 上的投影向量为 ，故 正确，故选：
10．AC
【详解】设 ，由 互为共轭复数，得 ，则 ，故 正确.
当 时，，此时，不是共轭复数，则 错误.
由 互为共键复数，得 ，从而 ，即 ，则 正确.
当 时，，即 ，此时，不是共轭复数，则 错误. 故选：
11．BD
【详解】函数 的定义域为 ,
因为 ，所以 为偶函数，
当 时，,
则
当时，,
当时，,
所以函数 的图象如图所示
由 可知，在 内，,
当 时，,
当 ，且 时，,
当或，时，,
因为 ，所以 为偶函数，
则函数 的图象如图所示：
由函数 的图象得到 不是周期函数，故选项 不正确；所以函数 的值域是 ，故选项 正确；
由 ，
所以函数 的图象不关于 对称，故选项 不正确；
对于方程 ，当 时，方程有一个实数根，
当 时，，此时 ，方程没有实数根，
当 时，，此时 ，方程没有实数根，
所以方程 只有一个实数根，故 正确.
故答案为：
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．
【详解】法一：因为 ，即 ,
则 ，整理得 ,
又因为 ，即 ,
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ,
由题意可得：，则 ,
整理得：，即 .
故答案为：.
13．
【详解】不妨令 ,
所以 ,
,
因为 与 的夹角为钝角，所以且 与 不反向，
若，则，解得，
若 与 共线，则 ，解得 ，综上可得实数 的取值范围是 .
故答案为：
14．
【详解】令 ，
则 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
即函数 的值域为 . 故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1） ；
【详解】试题分析：（1）先由正弦定理求得 与 的关系，然后结合已知等式求得 的值，从而求得 的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由 的范围取舍的值，进而由面积公式求解。
【解析】试题解析：在 中，由正弦定理 ，得 ，即 .
又因为 ，所以 .
因为 为锐角三角形，所以 .
（2） .
【解析】在 中，由余弦定理 ，得 ，即 . 解得 或 . 当 时，因为，所以角 为钝角，不符合题意，舍去. 当 时，因为，又，所以 为锐角三角形，符合题意. 所以 的面积 .
16．（1） 答案见解析；
【详解】易知，，再根据表格中已知数据可知， ，故可得 ；
令 ，解得 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ;
故填表如下：
0
0 2 0 0
根据五点作图法，结合表格中数据，画图如下所示：
（2） .
【解析】由（1）可知，，根据题意可得 ,
由题可知，为偶函数，故 ，故可得 ,
又，故当 时，取得最小值 .
17．（1）
【详解】解：在 中，由 ，可得 ，且 ,
设 ，则 ,
又因为 三点共线，可得 ，解得 .
可得 .
（2）
解：设 ，所以 ,
因为 ，又因为 ，三点共线，所以 ,
所以 ，解得 ，所以 满足 .
18．（1）
【详解】因为函数
.
所以函数 的最小正周期为 .
（2） 最小值为 ，此时 ；最大值为2，此时
【解析】由（1）知 ,
因为 ，所以 ，令 ，
则 在区间 上单调递减，在区间 单调递增，
所以 ，即 时，
函数 有最小值，最小值为 ;
当 ，即 时，
函数 有最大值，最大值为 ；
综上，的最小值为 ，此时 ；最大值为2，此时 .
（3）
【解析】因为函数 在 内有且只有一个零点，
所以 在 内有且只有一个实根，
得 ，即 ，
即函数 在 上的图象与直线 只有一个交点，
当 时，，
画出 在 上的图象如下，
结合函数图象可知，函数 在区间 上的图象与直线 只有一个交点时，
所以 ，即 的取值范围是 .
19．（1）
【详解】当 时，，
所以 ,
又
所以 是等边三角形，所以 ,
所以在 中，，即 ，
所以 ；
（2）
【解析】，，
，
在 中，由正弦定理得 ,
所以
所以
在 中，由正弦定理得 ,
所以 ，
所以 ，所以 ；
（3） ，最小值为
【解析】在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
所以
所以
,
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，取最小值 ，
故关于 的函数表达式为，最小值为 .