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暑假作业08全等三角形常见模型
一、平移模型
沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示:
常用解题思路:
（1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等.
二、轴对称模型
所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示:
常用解题思路:
（1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等;
（2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等
三、旋转模型
1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示:
常用解题思路:
（1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等.
2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示:
常用解题思路:
（1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等.
四、一线三等角模型
三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示:
常用解题思路:
(1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等;
(2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等
五、倍长中线模型
适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题.
已知:如图,在中,是边上的中线
作法:如图,延长至点,使,连接.结论:(SAS)
六、半角模型
1. 等边三角形含半角
已知:是等边三角形,,
,
结论:,
2. 正方形含半角
已知:四边形是正方形,.
结论:,.
3. 等腰直角三角形含半角
已知:是等腰直角三角形,,.
结论:.
七、手拉手模型
已知:在和中, ,
连接相交于,连接
结论1:,
结论2:,
结论3:平分.
八、截长补短模型
适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题.
已知：如图,在中,平分
1. 截长法
作法:如图,在上取一点,使,连接，结论:
2. 补短法：
作法:如图,延长至点,使,连接，结论:
1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
3．如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ．
4．如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则图中全等的三角形记为 ，的对应角为 ，的对应边为 ．
5．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( )
6．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．
7．如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ．
8．四边形中，平分，，，则的度数是 ．
9．如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接．
(1)求证：；
(2)若直线交于点G，直接写出的度数．
10．如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．
11．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．
12．已知与都是等腰直角三角形，且．求证：
(1)；
(2)．
13．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长．
1．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
2．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
3．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
4．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
5．已知、都是等边三角形．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在内，为的中点，连接、、，若，且．
①求证：；
②判断与的数量关系并证明．
6．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
7．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
(3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值．
1．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．
2．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
3．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，，，请添加一个条件 ，使．
4．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．
5．（2023·四川乐山·中考真题）如图，和相交于点，点为的中点，求证：．
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暑假作业08全等三角形常见模型
一、平移模型
沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示:
常用解题思路:
（1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等.
二、轴对称模型
所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示:
常用解题思路:
（1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等;
（2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等
三、旋转模型
1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示:
常用解题思路:
（1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等.
2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示:
常用解题思路:
（1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等.
四、一线三等角模型
三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示:
常用解题思路:
(1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等;
(2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等
五、倍长中线模型
适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题.
已知:如图,在中,是边上的中线
作法:如图,延长至点,使,连接.结论:(SAS)
六、半角模型
1. 等边三角形含半角
已知:是等边三角形,,
,
结论:,
2. 正方形含半角
已知:四边形是正方形,.
结论:,.
3. 等腰直角三角形含半角
已知:是等腰直角三角形,,.
结论:.
七、手拉手模型
已知:在和中, ,
连接相交于,连接
结论1:,
结论2:,
结论3:平分.
八、截长补短模型
适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题.
已知：如图,在中,平分
1. 截长法
作法:如图,在上取一点,使,连接，结论:
2. 补短法：
作法:如图,延长至点,使,连接，结论:
1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：延长至，使，连接．
则，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
即，
，
故选：A．
2．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【详解】解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
3．如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ．
【答案】BD与EF互相平分
【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
设EF与BD交于点G，
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∴BD与EF互相平分．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．
4．如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则图中全等的三角形记为 ，的对应角为 ，的对应边为 ．
【答案】
【详解】解：把绕点旋转一定的角度得到，
∴，
，，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( )
【答案】①②④
【详解】
解：∵是中线，
∴
∴与的面积相等，故①正确，
延长至，使，如图
∵，，
∴，
∴
则在中，
∴，故②正确，
点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，
∵
∴
又∵与的面积相等
∴的面积和的面积相等，故③不正确，
点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，
由，，，
∴，
∴
∴
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系以及平行线的判定，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．
6．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．
【答案】6
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：6．
7．如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
即；
，
，
；
，，
，
则；
故答案为：．
8．四边形中，平分，，，则的度数是 ．
【答案】或
【详解】解：如图，在线段取一点，使得，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点位于时，
∵，
∴，
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出相应的图形以及运用截长补短的方法构造全等三角形是解本题的关键．
9．如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接．
(1)求证：；
(2)若直线交于点G，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）∵将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）如图，
由题意：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
10．如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．
【答案】全等，理由见解析
【详解】全等，理由如下：
，，
∴，．
∴；
在和中，
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．
11．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．
【答案】见解析
【详解】在上取点F，使
∵，分别是，的平分线
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．
12．已知与都是等腰直角三角形，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）与都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴；
（2）设与交于F，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴（即），
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等，和全等下的两对应线段的位置关系问题，掌握全等三角形的证明方法，会利用等式的性质补足全等的条件，会利用直角三角形两锐角互余的代换等量证线段的位置关系是解题关键．
13．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长．
【答案】7cm
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键．
1．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【答案】B
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
∵∠ACE＝90°，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
2．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
【答案】B
【详解】
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，
AD是△ABC中BC边上的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，由三角形三边关系得：
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
∴，
∴，
故①正确；
在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
作于于，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
，
，
在与中，
．
（2），理由如下：
设交于点O，
由（1）得，
，
，
，
．
5．已知、都是等边三角形．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在内，为的中点，连接、、，若，且．
①求证：；
②判断与的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②．证明见解析
【详解】（1）证明：，都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
≌，
；
（2）①证明：如图，延长到点，使得，连接．
，为的中点
，．
在和中，
≌，
，．
，都是等边三角形，
，，，
，即．
在和中，
≌，
．
，
．
在和中，
≌，
，
；
②．
证明：≌，
．
设，则．
，
，
，
．
，
．
，，
．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
6．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．理由见解析．
【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是．
如图，延长至，使，连接，
∵，，即：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）结论：．
理由：在上截取，连接，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，则，
∴
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
即，
即，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
(3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：∵
∴
故答案为：；
（2）证明：作
由“K字模型”可得：
∴
即：点G是的中点
（3）解：作，如图：
∵四边形和四边形均为正方形
∴
由“K字模型”可得：
即：
∵
∴
【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键．
1．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．
【答案】3
【详解】解：由全等三角形的性质得：，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
2．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【详解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
3．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，，，请添加一个条件 ，使．
【答案】∠A＝∠D（答案不唯一）
【详解】解：可添加∠A＝∠D，理由如下：
∵，
∴∠DCE=∠ACB，
∵，∠A＝∠D，
∴．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
5．（2023·四川乐山·中考真题）如图，和相交于点，点为的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
