中小学教育资源及组卷应用平台
暑假作业04平行线模型及动态问题
一、猪蹄模型（M型）
图①可得：已知，结论：；
已知，结论：.
图②可得：已知，结论：.
二、铅笔头模型
图①可得：已知，结论：；
②已知，结论：.
图① 图②
图②可得：已知，结论：.
三、拐弯模型
类型1（鸟嘴形）：如图，已知，结论：.
类型2（骨折形）：如图，，结论：.
四、“5”字模型
如图，，结论：.
一、单选题
1．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
【答案】C
【详解】解：过C作CQAB，
∵ABDE，
∴ABDECQ，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
∵∠ACE=110°，
∴∠ECQ=110°-30°=80°，
∴∠E=180°-80°=100°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
2．如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴与不全等，
又∵点在上，
∴无法判断（1）是否正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故（2）正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故（3）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴无法知道的度数，
∴无法判断（4）是否正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，添加辅助线是解题的关键．
3．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
【答案】B
【详解】解：如图，作CF//ED，
∵AB//ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED//CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB//ED，ED//CF，
∴AB//CF，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ，
∴ β＝2α ．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．
4．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】B
【详解】解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
5．把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，是折痕，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，
∴，故正确，不符合题意；
B、由折叠可得，
则，故正确，不符合题意；
C、∵，故正确，不符合题意；
D、∵，
∴，故错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题
6．如图，，，，则 °．
【答案】25
【详解】解：如图，过点A作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
7．如图，已知，，，则 ．
【答案】/度
【详解】解：如图，过点作，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
8．如图，把长方形沿折叠，使D、C分别落在的位置，若，则 ．
【答案】/65度
【详解】解：
，
由折叠的性质可得：，
故答案为：
9．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ．
【答案】/80度
【详解】解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
三、解答题
10．如图，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题．
11．有一副直角三角板按照如图放置，，保持三角板固定不动，此时，，将三角板绕着C点顺时针方向旋转，使与三角板一直角边平行，求此时的度数．
【答案】或
【详解】解：①当时，如图，
，
，
②当时，如图，
同理可得：，
的度数或．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．注意不要缺少情况．
12．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20
【详解】（1）证明：如图①，过点作，
则，
又∵，
∴，
，
，
即；
（2）解：．
证明：如图②，过作，
，
∵，
∴，
，
，
即：．
故答案为：；
（3）如图③，过作，
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：20．
13．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4）
【详解】（1）解：猜想．
理由：过点P作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）．
理由：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图（3）：．
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
即；
如图（4）：．
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．
1．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）.
A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】B
【详解】解：如图，过点B作直线，
∵直线m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．
2．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ．
【答案】/36度
【详解】解：由题意可得，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
3．如图，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．点N为直线上的一个动点，连接．在整个运动过程中，使得，请求出的度数 ．
【答案】或
【详解】解：Ⅰ．如图，当点在点A的左侧时．
，
．
，
．
，
，
；
Ⅱ．如图，当点在点A的右侧时．
，
．
，
．
，
，
．
故答案为：或.
4．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点作．
，，
．
__________．
，
__________．
__________．
即；
（2）拓展探究：
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：；
（3）解决问题：
如图③，，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】（1）证明：如图①，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
（2）证明：如图②，过点E作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过点E作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为___________
(2)在平面内，点是平面内一点，连接，．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)60
(2)①，②见解析，
【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，，
解得，，
的4系补周角的度数为，
故答案为60；
（2）解：①过作，如图1，
，
，
，，
，
，
即，
是的3系补周角，
，
，
；
②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时．
若是的k系补周角，
则，
∴，
过F作，
又，
，，
，即，
∴k，
又∵，，
∴，
∵平分，PD平分，
∴，，
∵，
∴
又，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意，添加合适辅助线是解题的关键．
6．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
(1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．
(2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由．
(3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：， 理由如下：
过E作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）如图，过作，过作，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，分别过作，的垂线，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
过作的平行线，而，
∴，
∴，，
∴，
∴．
1．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】D
【详解】延长交直线n于点D，如图所示．
∵，
∴．
在中，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键．
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
3．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2023·辽宁阜新·中考真题）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．
【答案】/50度
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等．
5．（2023·湖南永州·中考真题）如图，，则 度．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
6．（2023·浙江台州·中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：如图，先标注点与角，
由对折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案为：中小学教育资源及组卷应用平台
暑假作业04平行线模型及动态问题
一、猪蹄模型（M型）
图①可得：已知，结论：；
已知，结论：.
图②可得：已知，结论：.
二、铅笔头模型
图①可得：已知，结论：；
②已知，结论：.
图① 图②
图②可得：已知，结论：.
三、拐弯模型
类型1（鸟嘴形）：如图，已知，结论：.
类型2（骨折形）：如图，，结论：.
四、“5”字模型
如图，，结论：.
一、单选题
1．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
2．如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
4．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，是折痕，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，，，，则 °．
7．如图，已知，，，则 ．
8．如图，把长方形沿折叠，使D、C分别落在的位置，若，则 ．
9．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ．
三、解答题
10．如图，，，求的度数．
11．有一副直角三角板按照如图放置，，保持三角板固定不动，此时，，将三角板绕着C点顺时针方向旋转，使与三角板一直角边平行，求此时的度数．
12．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
13．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．
1．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）.
A．30° B．40° C．50° D．65°
2.如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ．
3.如图，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．点N为直线上的一个动点，连接．在整个运动过程中，使得，请求出的度数 ．
4.（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点作．
，，
．
__________．
，
__________．
__________．
即；
（2）拓展探究：
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：；
（3）解决问题：
如图③，，，，求的度数．
5.对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为___________
(2)在平面内，点是平面内一点，连接，．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）．
6.【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
(1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．
(2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由．
(3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程．
1．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁阜新·中考真题）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．
5．（2023·湖南永州·中考真题）如图，，则 度．
6．（2023·浙江台州·中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．
