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暑假作业06认识三角形
一、三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：，如图：其中：线段是三角形的边，是三角形的顶点，是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
二、三角形的分类
1.按角分类：
2.按边分类：
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三、三角形的三边关系及稳定性
1.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
2.稳定性：①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
四、三角形的重要线段
1.三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
图形：
几何语言：是的上高线，
2.三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段
图形：
几何语言：是的上的中线，∴，
3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
图形：
几何语言：是的的平分线，
五、三角形的内角
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
2.证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
一、单选题
1．若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设三角形的第三边长为，
∴，
解得：，
∴选项中符合题意，
故选：．
2．下列说法错误的是（ ）
A．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释
B．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“线动成面”来解释
C．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性
D．日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性
【答案】B
【详解】解：A. 一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释，该说法正确，不符合题意；
B. 在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“点动成线”来解释，故原说法不正确，符合题意
C. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性，该说法正确，不符合题意；
D. 日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性，该说法正确，不符合题意．
故选：B．
3．如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则图中等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、是的中线，，原结论正确，不符合题意；
B、是的角平分线，，原结论正确，不符合题意；
C、是的中线，，，原结论错误，符合题意；
D、是的高，，原结论正确，不符合题意；
故选：C．
5．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【详解】解：如图，满足条件的点有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．
二、填空题
6．如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ．
【答案】36
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：36．
7．如图，D，E，F，G是线段BC上的点．
（1）以AC为边的三角形有 ；
（2）图中共有 个三角形．
【答案】 ，，，， 15
【解析】略
8．如图，在中，，，，，则点到边距离为 ．
【答案】//
【详解】解：在中，，
是直角三角形，
设点到边距离为h，
，即，
，
故答案为：．
9．如图，在中，是角平分线，为中线，如果cm，则 ；如果，则 ．
【答案】
【详解】解：∵BE为中线，，
∴；
∵是角平分线，，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题考查三角形的中线、角平线的定义；理解定义是解题的关键．
三、解答题
10．如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)和是什么关系？为什么？
(3)若，那么和各是多少度？
【答案】(1)4个
(2)，见解析
(3)，
【详解】（1）解：，，
，
是直角三角形，
图中有4个直角三角形,；
（2）解：由（1） 知是直角三角形，
，
；
（3）解：，，
，
，
．
11．如图，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的度数．
【答案】
【详解】解：根据题意可知，
直线是与的对称轴，
所以．
因为，
所以，
所以．
在中，．
12．请仅用无刻度的直尺完成以下作图：
(1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线；
(2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【详解】（1）如图，延长交于点，
∴即为所求；
（2）如图，延长交于点，延长交于点，
∵点，关于对称，
∴，
∴是三角形的高，
∴即为所求．
1．五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【详解】解：由题意，，则m的值为5或6．
若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；
若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，
所以．
故选：C．
2．如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】解：连接，如图，
∵点为的中点，
∴，
∵为的中线，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得，
作于点，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是；
故选：C．
3．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：是的中线，
，
故④正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定，
与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意；
∵，是高，
∴
∴，故⑥正确
综上，符合题意的有4个，
故选：C
4．将一副三角板中直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，点D在直线的上方．若三角板中有一条边与斜边平行，则 °．
【答案】或或
【详解】解：如图1，，，
；
如图2，时，延长交于，
则，
在中，，
，
则．
；
如图3，
时，，
故答案为：或或．
5．如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的顶点都是格点，已知，依次解答下列问题．
(1)将三角形平移后得到三角形，且点的对应点为，画出三角形；
(2)画线段，使且；
(3)连接，，直接写出四边形的面积；
(4)在直线上，直接写出线段的最小值．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)9
(4)
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）解：连接，，
四边形的面积为．
（4）解：当垂直于直线时，线段最小．
连接，
由平移的性质得，．
设点到直线的距离为，
，
解得，
点到直线的距离为，
线段的最小值为．
【点睛】本题主要考查了平移作图，作平行线段，平移的性质，网格中求平行四边形和三角形面积，等面积法求高，以及垂线段最短，熟知网格的特点是解题的关键．
6．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E．
(1)当时，求的度数；
(2)当的一边与平行时，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得；
（2）解：如图所示，当时，
∴，
由折叠的性质可得，
同理可得；
如图所示，当时，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
3．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
4．（2023·四川达州·中考真题）如图，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
5．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
6．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：由折叠的性质得：；
∵，
∴；
①当在下方时，如图，
∵，
∴，
∴；
②当在上方时，如图，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
7．（2023·四川遂宁·中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
【答案】直角
【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，
解得．
所以，，即，．
故这个三角形是直角三角形．
故答案是：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
8．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证：
方法一 证明：如图，过点A作 方法二 证明：如图，过点C作
【答案】答案见解析
【详解】证明：
方法一：过点作，
则，． 两直线平行，内错角相等）
∵点，，在同一条直线上，
∴．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
方法二：
如图，过点C作
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
即三角形的内角和为．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
暑假作业06认识三角形
一、三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：，如图：其中：线段是三角形的边，是三角形的顶点，是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
二、三角形的分类
1.按角分类：
2.按边分类：
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三、三角形的三边关系及稳定性
1.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
2.稳定性：①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
四、三角形的重要线段
1.三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
图形：
几何语言：是的上高线，
2.三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段
图形：
几何语言：是的上的中线，∴，
3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
图形：
几何语言：是的的平分线，
五、三角形的内角
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
2.证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
一、单选题
1．若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释
B．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“线动成面”来解释
C．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性
D．日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性
3．如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则图中等于（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题
6．如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ．
7．如图，D，E，F，G是线段BC上的点．
（1）以AC为边的三角形有 ；
（2）图中共有 个三角形．
8．如图，在中，，，，，则点到边距离为 ．
9．如图，在中，是角平分线，为中线，如果cm，则 ；如果，则 ．
三、解答题
10．如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)和是什么关系？为什么？
(3)若，那么和各是多少度？
11．如图，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的度数．
12．请仅用无刻度的直尺完成以下作图：
(1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线；
(2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线．
1．五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
2．如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．将一副三角板中直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，点D在直线的上方．若三角板中有一条边与斜边平行，则 °．
5．如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的顶点都是格点，已知，依次解答下列问题．
(1)将三角形平移后得到三角形，且点的对应点为，画出三角形；
(2)画线段，使且；
(3)连接，，直接写出四边形的面积；
(4)在直线上，直接写出线段的最小值．
6．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E．
(1)当时，求的度数；
(2)当的一边与平行时，求的度数．
1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川达州·中考真题）如图，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．
6．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
7．（2023·四川遂宁·中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
8．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证：
方法一 证明：如图，过点A作 方法二 证明：如图，过点C作
