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暑假作业07全等三角形的判定与性质
一、全等图形
1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（1）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（2）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（3）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2.全等三角形
（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形中的对应元素
概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点与点，点与点，点与点。
对应边：与，与，与。
对应角：与，与，与。
（3）全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”。如三角形和全等，记作。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（2）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵，
∴（全等三角形的对应边相等）。
（全等三角形的对应角相等）。
二、判定全等三角形
1.角角边AAS：
证明过程：在和中，
∴
2.边边边SSS：
证明过程：在和中，
3.边角边SAS：
证明过程：在和中,
4.角边角ASA：
证明过程：在和中，
一、单选题
1．下列选项的图形中，和如图所示的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，仍不能说明的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
5．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
二、填空题
6．在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
7．如图在和中，，当添加条件 时，可由“边边边”判定．
8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
三、解答题
9．如图，C是的中点，，．求证：．
10．如图，在中，，，，垂足为F，且连接，．求证：．
11．如图，点在的边上，，，．若，，求的长．
12．如图，，，，垂直的延长线于点F．
(1)如图1．
①和全等吗？请说明理由；
②求的度数；
(2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由．
1．如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：
甲：作底边的中线
乙：作平分交于C，则（ ）
A．甲、乙两种作法都正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确、乙正确 D．甲乙两种作法都不正确
2．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号）
4．我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）．
5．如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
6．如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
7．完成下列各题：
(1)如图，
①若，求的度数；
②若，求证：．
(2)如图，在和中，点，，，在同一条直线上，给出下列条件：
①；②；③；④．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题，并说明理由．
条件为______（填序号），结论为______（填序号）．
8．在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
1．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
2．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
4．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．
5．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．
6．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
7．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．
8．（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
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暑假作业07全等三角形的判定与性质
一、全等图形
1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（1）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（2）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（3）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2.全等三角形
（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形中的对应元素
概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点与点，点与点，点与点。
对应边：与，与，与。
对应角：与，与，与。
（3）全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”。如三角形和全等，记作。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（2）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵，
∴（全等三角形的对应边相等）。
（全等三角形的对应角相等）。
二、判定全等三角形
1.角角边AAS：
证明过程：在和中，
∴
2.边边边SSS：
证明过程：在和中，
3.边角边SAS：
证明过程：在和中,
4.角边角ASA：
证明过程：在和中，
一、单选题
1．下列选项的图形中，和如图所示的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：观察四个选项可知，只有选项A符合题意，
故选：A．
2．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，仍不能说明的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解： A、由可得，结合，，可根据“”判定，故不符合题意；
B、由，，，可根据“”判定，故不符合题意；
C、由，，，可根据“”判定，故不符合题意；
D、由，，，根据“”不能判定，故符合题意．
故选：D．
3．如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】解：为边的中点，
；
在与中，
，
，
；
，，
，
故可以为4,
故选：A．
4．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故选B．
5．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可证，
∴，
∴．
空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和．
故选：B．
二、填空题
6．在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
【答案】4
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．
由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
7．如图在和中，，当添加条件 时，可由“边边边”判定．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴只要添加，即可通过“边边边”判定．
故答案为：．
8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
【答案】/45度
【详解】解：标注字母，如图所示，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题
9．如图，C是的中点，，．求证：．
【答案】证明详见解析．
【详解】证明：∵C是的中点，
∴
在和中，
，
∴．
10．如图，在中，，，，垂足为F，且连接，．求证：．
【答案】见解析
【详解】，
．
，
，
，
．
，，
，
．
11．如图，点在的边上，，，．若，，求的长．
【答案】
【详解】解：∵，
∴．
在和中，
∵
∴．
∴，．
∴．
12．如图，，，，垂直的延长线于点F．
(1)如图1．
①和全等吗？请说明理由；
②求的度数；
(2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①和全等，理由见解析；②；
(2)，理由见解析．
【详解】（1）解：①，理由如下：
，
，
在和中，
，
；
（2）②，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：．
理由：，
，，
，
，，
，
，，
又，
，
，
．
1．如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：
甲：作底边的中线
乙：作平分交于C，则（ ）
A．甲、乙两种作法都正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确、乙正确 D．甲乙两种作法都不正确
【答案】A
【详解】解：甲：作底边的中线，则，
在与中，
，
，
，
故甲的作法正确；
乙：作平分交于C，则有，
在与中，
，
，
，
故乙的作法正确．
综上所述，甲、乙都正确．
故选A．
2．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
，
在与中，
，
，
，
则
壁虎以的速度B处往处爬，
．
故选：C．
3．已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∴，，
当时，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴形四边形，
∴①符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴形四边形，
∴②符合题意，
当时，不能得到，
故③不符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴形四边形，
∴④符合题意，
故答案为：①②④．
4．我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使
，
，
，
，
．
故答案为：．
5．如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在中，
，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
6．如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明∶延长至F使，连接，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
7．完成下列各题：
(1)如图，
①若，求的度数；
②若，求证：．
(2)如图，在和中，点，，，在同一条直线上，给出下列条件：
①；②；③；④．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题，并说明理由．
条件为______（填序号），结论为______（填序号）．
【答案】(1)①；②见解析
(2)条件为：①②④，结论：③；证明见解析
【详解】（1），
，
又，
，
②证明：，
，
，
又，
，
；
（2）条件为：①②④，结论：③；（答案不唯一）
已知：如图，在和中，点A、E、F、C在
同一条直线上，．求证：
证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
故答案为：①②④；③．
8．在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
【答案】(1)见解析，见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
证明：由（）知：，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
1．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【答案】A
【详解】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
2．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【详解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
4．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．
【答案】或或
【详解】解：∵在与中，，，
∴添加，则；
或添加，则；
或添加，则；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
6．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
7．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：是的中点，
，
在和中，
，
【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．
8．（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
