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第21章 一元二次方程 单元测试(培优卷)
一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.如果0是关于的一元二次方程的一个根,那么的值是( )
A.3 B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程时,配方的结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程,其中较大的一个根为,下列最接近的范围是( )
A. B.
C. D.
4.若m是方程的根,则的值为( )
A. B. C.2 D.3
5.若关于x的方程有解,则k的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
6.在平面直角坐标系xOy中,若已知点,则下列结论一定不成立的是
A. B. C. D.
7.若使函数的自变量的取值范围是一切实数,则下面的关系中一定满足要求的是( )
A. B. C. D.
8.如图,一块直径为的圆形钢板,从中挖去直径分别为a和b的两个圆,当时,剩下的钢板面积的最大值是( )
A. B. C. D.
9.已知等腰的一条边为,其余两边的边长恰好是方程的两个根,则的值是( )
A. B. C.或 D.或
10.使得关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为( )
A.35 B.30 C.26 D.21
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
11.若方程有一个解为,则方程的解为 .
12.方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长,则直角三角形的第三条边长是 .
13.若实数x满足,则代数式的值是 .
14.已知平行四边形的两条邻边长,的长分别是关于x的方程的两个实数根,当 时,四边形是菱形.
15.已知关于的一元二次方程有实数根,设此方程的一个实数根为,令,则的取值范围为 .
16.如图,是一个闭环运算游戏,即:给x一个值,把它代入中得到一个y值,再把得到的y值代入中,又求出一个新的x值.如:把代入中得到;再把代入中求得.
(1)把代入中,最后求出的x值为 ;
(2)小明发现,给x一个整数并把它代入中后,最后求出的x值竟然是它自身,这个整数是 .
17.若关于的方程为正整数)的两根分别记为,,如:当时,方程的两根记为,,则 .
18.已知点为线段上一点.如果的比值为关于的方程的解,那么点为的阶黄金分割点.
已知阶黄金分割点作法如下:
步骤一:如图,过点作的垂线,在垂线上取,连接;
步骤二:以点为圆心,为半径作弧交于点;
步骤三:以点为圆心,为半径作弧交于点;
结论:点为线段的阶黄金分割点.
(1)作法步骤一中,当时,点为线段的 阶黄金分割点;
(2)作法步骤一中,当 (结果用的代数式表示)时,点为线段的阶黄金分割点.
三、解答题(本大题共6小题,共58分)
19.(8分)用指定方法解下列一元二次方程
(1)配方法 (2)公式法
20.(8分)已知关于x的一元二次方程.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.
(2)若该方程的两个根分别为,当时,求的值.
21.(10分)某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地,该基地两边靠着一个直角围墙如图(围墙的长足够长),另两边和由总长为80米长的篱笆组成.
(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米,求的长;
(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗?若能,求出的长;若不能,请说明理由.
22.(10分)若m,n为正实数,,t是关于x的方程的一正实根.
(1)求证:.
(2)若,求的值.
(3)用含k的代数式表示.
23.(10分)根据以下素材,解决生活问题
【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶,进价为每箱40元.若每箱售价为60元,每天可销售50箱.超市也可采取降价促销措施来提高利润,经过营销部的市场调研反馈:若A款牛奶单价每降1元,每天可多售出5箱.
【问题解决】
思考1:第一天超市决定按原价每箱60元出售,则第一天售出A款牛奶所获利润为______元.
思考2:第二天超市采取降价促销措施,为了使第二天的利润比第一天增加,又要让顾客实现最优惠,问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元?
思考3:第三天超市仍采取降价促销措施,既要销售完这批剩余的A款牛奶,又要使超市利益最大化,问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元?
24.(12分)阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想――转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为,解方程和,可得方程的解.
(1)问题:方程的解是______;
(2)拓展:用“转化”思想求方程的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪的长,宽,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿走到点P处,把长绳段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求的长.中小学教育资源及组卷应用平台
第21章 一元二次方程 单元测试(培优卷)
参考答案及解析
1.A
【分析】把代入一元二次方程得,解方程得,然后根据一元二次方程的定义得到的值.
【详解】解:把代入一元二次方程
得,
解得,
而,
所以的值为3.
故选:A.
【点拨】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方程的定义.
2.D
【分析】本题考查了解一元二次方程,利用配方法求解即可,解题的关键熟练掌握配方法解方程.
【详解】解:
,
,
故选:.
3.A
【分析】先利用配方法解一元二次方程求得,再根据,即可求解.
【详解】解:,
∴,
配方得,,
∴,
∵较大的一个根为,
∴,
∵,
∴,即,
故选:A.
4.B
【分析】本题考查了分式的化简求值,一元二次方程的解,先根据分式的运算法则化简分式,再结合代入计算即可.
【详解】解:
,
,
故选:B.
5.A
【分析】本题考查了方程有解的情况,以及一元二次方程根的判别式,根据以及分别讨论求解,即可解题.
【详解】解:关于x的方程有解,
当时,方程为,解得,
时,方程有解;
当,即时,方程为有解,
即,
,
解得,
综上所述,关于x的方程有解,k的取值范围是,
故选:A.
6.A
【分析】由勾股定理可得:,再利用配方法求解的最小值,再求解的最小值,从而可得答案.
【详解】解:由勾股定理可得:
当时,有最小值
∴的最小值为
所以A不符合题意,B,C,D都有可能,符合题意;
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用,利用平方根解方程,掌握“配方法的应用”是解本题的关键.
7.A
【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题.函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0.
函数的自变量取值范围是一切实数,即分母一定不等于0,即方程无解.即,即可解得、的关系.
【详解】解:∵函数的自变量取值范围是一切实数,
∴分母一定不等于0,
∴无解,
即,
解得:或.
当时,一定满足要求.
故选:A.
8.B
【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性,解题关键是把代数式配成完全平方式.首先根据题意可得,然后根据图形写出剩下的钢板面积,然后利用配方法可把代数式配成的形式,利用偶次方的非负性即可解出答案.
【详解】解:∵,
∴,则,
根据图形可得:剩下的钢板面积
;
∵,
∴,即剩下的钢板面积,
∴剩下的钢板面积的最大值为,只有选项B符合;
故选:B.
9.B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义,三角形的三边关系,一元二次方程根的判别式,解一元二次方程,分为等腰三角形的底和腰两种情形,讨论求解即可得到答案,应用分类讨论解答是解题的关键.
【详解】解:当为底时,由题意得,
解得,
此时一元二次方程为,
解得,
∵,
∴不能构成三角形,
∴不合,舍去;
当为腰时,将代入方程得,
,
解得或,
当时,一元二次方程为,
解得,,
三边长为,可以构成三角形;
当时,一元二次方程为,
解得,,
∵,
∴不能构成三角形,
∴不合,舍去,
综上,,
故选:.
10.B
【分析】先求出不等式组的解集,根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围,再通过根的判别式确定a的取值范围,最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可.
【详解】解:整理不等式组得:
由①得:,
由②得:x<4
∵不等式组有且只有4个整数解,
∴不等式组的4个整数解是:3,2,1,0,
∴,
解得:,
∵有实数根,
∴
解得:a≤9,
∵方程是一元二次方程,
∴a≠5
∴,且a≠5,
满足条件的整数有:6、7、8、9;
∴6+7+8+9=30,
故选:B.
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式,熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键.
11.
【分析】本题考查了一元二次方程的解,解一元二次方程,根据题意得出,进而解方程,即可求解.
【详解】解:∵方程有一个解为,
∴
∴
即
∴
解得:
故答案为:.
12.或4
【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理,能求出符合的所有情况是解此题的关键.
先求出方程的解,再分为两种情况,根据勾股定理求出第三边即可.
【详解】解:解方程得:或5,
即直角三角形的两边为3或5,
当5为直角边时,第三边为:;
当5为斜边时,第三边为:;
故答案为:或4.
13.2
【分析】本题考查了解一元二次方程.设,则,利用因式分解法求得即可.
【详解】解:设,则,
∴,
∴或,
解得或,
即或(方程无解,舍去),
∴代数式的值是2,
故答案为:2.
14.
【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质.先根据菱形的性质得到,则根据根的判别式的意义得到,然后解关于m的方程即可解题.
【详解】解:由题可得:,
则方程有两个相等的实数根,
∴,
解得:,
故答案为:.
15./
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程的解的定义,不等式的性质.由一元二次方程根的判别式先求解,根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式,进而即可求解.
【详解】解:关于的一元二次方程有实数根,
△,
解得:,
设此方程的一个实数根为,
,
,
,
,即.
故答案为:.
16.
【分析】本题考查了解一元二次方程,和分式方程.
(1)根据题意运算法则计算即可求解;
(2)设这个数为,依题意得,解一元二次方程求得整数解即可.
【详解】解:(1)把代入中,,
再把代入中,求得;
经检验是原方程的解,
故答案为:;
(2)设这个数为,依题意得,
整理得,
解得(舍去),,
故答案为:.
17.
【分析】本题考查了根与系数的关系:若,是一元二次方程的两根时,,.利用根与系数的关系得到,;,;,.把原式变形,再代入,即可求出答案.
【详解】解:,,2,3,,2020,
由根与系数的关系得:,;,;,,
原式
.
故答案为:.
18. 1/一 /
【分析】本题主要考查了勾股定理,解一元二次方程,根式的化简,解题的关键是熟练掌握勾股定理,公式法解一元二次方程.
(1)根据勾股定理得出,求出,根据的比值为关于的方程的解,得出,求出,即可得出答案;
(2)根据勾股定理得出,求出,解方程得出,根据的比值为关于的方程的解,且的比值大于0,得出,求出k的值即可.
【详解】解:(1)当时,,
根据勾股定理得:
,
∴,
∴,
∵的比值为关于的方程的解,
∴,
解得:,
∴,
解得:,
∴当时,点为线段的1阶黄金分割点;
故答案为:1;
(2)∵,
根据勾股定理得:
,
∴,
∴,
解方程得:,
∵,
∴,,
∵的比值为关于的方程的解,且的比值大于0,
∴,
∴,
令,
则
,
∴,
∴.
故答案为:.
19.(1),
(2),
【分析】(1)将常数项移至方程的右边,然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后,再开方,即可得出结果;
(2)先求解,再利用求根公式计算即可.
【详解】(1)解:
移项,化“1”得:,
配方,得:,
即,
由此可得:,
,;
(2)解:
,,,
,
方程有两个不等的实数根,
,
即,.
【点拨】本题考查了解一元二次方程,解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程.解一元二次方程的基本思路是:将二次方程转化为一次方程,即降次.
20.(1)且;
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,完全平方公式的变形求值,灵活运用所学知识是解题的关键.
(1)根据题意得到,,进而求解即可;
(2)首先得到方程,然后利用根与系数的关系得到,,然后利用完全平方公式的变形求解即可.
【详解】(1)由题意得,该方程有两个不相等的实数根
,即,
解得,
则的取值范围为且;
(2)当时,,
,
.
21.(1)的长为20米或60米
(2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地,理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式,
(1)设的长为米,则的长为米,依题意列出方程,解方程即可求解;
(2)根据题意,列出方程,由方程解的情况即可得解;
找准等量关系,正确列出一元二次方程是解决此题的关键.
【详解】(1)设的长为米,则的长为米,
根据题意,得,
整理,得,
解得:,
答:的长为20米或60米.
(2)不能,理由如下:
根据题意,得,
整理,得,
,
该方程无实数根,
不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地.
22.(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解,解一元二次方程:
(1)根据t是关于x的方程的一正实根得到,配方即可得出结论;
(2)根据,得到,即可得到,两边同时除以,将方程转化为,解方程即可;
(3)同法(2)进行计算即可.
【详解】(1)证明:∵t是关于x的方程的一正实根,
∴,
∴,
∴;
(2)∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得:或(不合题意,舍掉);
∴;
(3)∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴或(不合题意,舍掉).
故:.
23.思考1:1000;思考2:54元;思考3:3240元
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用:
思考1:售价与进价之差为每箱利润,乘以销量即为总利润;
思考2:设第二天A款牛奶的每箱售价为x元,则销量为箱,每箱利润为元,根据第二天的利润比第一天增加列一元二次方程,解方程即可;
思考3:先求出剩余牛奶的箱数,降价后的销量刚好等于该数时,可以使超市利益最大化,由此可解.
【详解】解:思考1:(元),
即第一天售出A款牛奶所获利润为1000元,
故答案为:1000;
思考2:设第二天A款牛奶的每箱售价为x元,
由题意得:,
整理得,
解得,,
要让顾客实现最优惠,
第二天A款牛奶的每箱售价为54元.
思考3:第一天销量为:50箱,第二天销量为:(箱),
第三天销量为:(箱),
设第三天A款牛奶的每箱售价为y元,
则,
解得,
第三天售出A款牛奶所获利润为:(元),
(元),
即销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为3240元.
24.(1),,
(2);
(3)AP的长为4m
【分析】(1)先将该方程转化成,然后再求解即可;
(2)由可得且,然后解出x即可;
(3)设,则,然后根据勾股定理求得和,然后再根据列方程求出x即可.
【详解】(1)解:,
,
,
所以或或,
,,;
(2)解:,
方程的两边平方,得,
即,
,
或,
,,
当时,,
所以不是原方程的解.
所以方程的解是;
(3)解:因为四边形是矩形,
所以,
设,则,
因为,
,,
∴,
∴,
两边平方,得,
整理,得,
两边平方并整理,得;即,
所以.
经检验,是方程的解.
答:AP的长为4m.
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用,掌握转换法是解答本题的关键.