2023一2024学年度第二学期第二次月考
高一数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.请按题号顺序在答題卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡
上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章一第四章4.4。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
1.若(x十3i)2是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数x=
A.±3
B.±1
C.-1
D.3
2.cos43°cos13°+sin43°sin13°=
A司
B号
c
D.c0s57°
3.若直线l⊥平面a,则下列说法正确的是
A.l仅垂直平面α内的一条直线
B.l仅垂直平面a内与L相交的直线
C.L仅垂直平面a内的两条直线
D.l与平面a内的任意一条直线垂直
4.已知正六边形ABCDEF,则AC+BD-F方=
A.BC
B.AE
C.BE
D.AC
B
5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bc,a=6,A=号，则△ABC外接圆的面积为
A.4π
B.12x
C.16π
D.48x
6.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB,小胡同学先在塔
的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进
140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是
A.70米
B.80米
C.90米
D.100米
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7.已知osa十5sin。=是，则co(2十答)步为5水2量，西
A影
c-
D.
8.如图所示，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E,F分别为AA1,AB上的中
D
点，且EF=√3，P点是正方形ABB1A,内的动点，若C,P∥平面CDEF,
则P点的轨迹长度为
A.2√3
B.3π
C.√3
D.元
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知i为虚数单位，复数之1=1十2i,x2=2-i,则
A.之1的共轭复数为一1十2i
B.|z1l=|z2
C.之1+z2为实数
D.之1·之2在复平面内对应的点在第一象限
10.已知a,B是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是
A,如果m⊥n,m⊥a,n∥B,那么a⊥B
B.如果m⊥a,n∥a,那么m⊥n
C.如果a∥B,mCa,那么m∥B
D.如果m∥n,a∥B,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等
11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是
A.若A>B,则sinA>sinB
B.若A=60°，c=2,a=1.74,则△ABC只有一解
C.若tanA-号，则△ABC为直角三角形
D.cos A+cos B+cos C-0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.已知sina十cosa=号，则sin2a的值为
13.设复数z=号ina+icos(受-ai为虑数单位，且e∈(o,受）若=
1,则tan2a=
14.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4,AB=2,则直线AB与直
线B,C所成角的正切值为
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24662A2023~2024学年度第二学期第二次月考·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.A本题考查纯虚数.(x十3i)2=x2一9十6xi,(x+3i)2是纯虚数，∴.x=士3.
2.c cos 43'cos 13+sin 43'sin 13"-cos(43-13"cos 30 C.
3.D若直线1⊥平面a,则1与平面α内的任意一条直线都垂直.
4.B在正六边形ABCDEF中，AC+BD-FD=AC+BD+D京-AC+BF-AC+C克-C元-CA-A龙.故选B.
5B位△A8C外接圆的半径为R,2R一品后-45，据得R-25,△ABC外接时的面积为12x故法B
2
6.A设塔AB的高度为h,在Rt△ABC中，因为∠ACB=45°，所以BC=h;在Rt△ABD中，因为∠ADB=
30°，所以BD=√3h;在△BCD中，∠BCD=60°，BC=h,BD=√3h,根据余弦定理可得BD2=BC+CD2
2BC.CDeos60,即(W5h)2-2+1402-2h×140×号，解得方=70或h=-140(舍去).故选A.
7.D cosa+5sina=2sin(a+吾)=号，则sin(a+5）=高则cos(2a+号）=co[2(a+若)门=1
2sim2(a+）=0,故选D.
8.C如图所示，作CG∥DE交BB1于点G,作CH∥CF交A1B,于点H,连接HG,
D
.CH∩CG=C,CG∥DE,CH∥CF,∴.平面CGH∥平面CDEF,又：P点是A
B
正方形ABB1A1内的动点，∴点P在线段HG上，即轨迹HG=EF=√.
9.BD因为z1=1十2i的共轭复数为z=1一2i,所以A不正确；
因为|1|=√2+22=√5，|2|=√22十(-1)2=√5，所以B正确；
因为1十2=1十2i+2一i=3十i,所以C不正确；
因为1·22=(1十2i)(2-i)=4十3i,点的坐标(4,3)在第一象限，所以D正确.
10.BCD对于A,可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设AA'为直线m,CD为直线n,四边形ABCD所在的平面为a,四边形ABCD
所在的平面为3，显然这些直线和平面满足题目条件，但ā⊥B不成立；
B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面a相交于直线l,则l∥n,由m⊥。
知m⊥l,从而m⊥n:
由平面与平面平行的定义知，如果a∥B,mCa,那么m∥B,C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果m∥，α∥B,那么m与a所成的角和1与B所成的角相等，D正
确.故选BCD.
11.AD对于A选项，由A>B,有a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,故A选项正确；
对于B选项，由√3<1.74<2，可知△ABC有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由tanA=分，得sinA=sin Ban A,有cosA=sinB,可得A+B=受或B=受十A,可知C选
项错误；
对于D选项，若△ABC为锐角三角形或直角三角形，有cosA+cosB+cosC>0;若△ABC为钝角三角形，
不妨设C为钝角，有cosC<0,cosA>0,cosB>0,有cosA十cosB+cosC>cosA+cosC=cosA一cos(A
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