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2023-2024学年第二学期七年级数学期末练习卷（解析版）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是0.00000025，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000025用科学记数法表示为，故A正确．
故选：A．
3．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可．
【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的，
所以小球最终停留在黑砖上的概率是，
故选：A．
4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长为腰或者底边时．
【详解】解：分情况考虑：当是腰时，则底边长是，此时，，能组成三角形，此时腰长是．
当是底边时，腰长是，，，能够组成三角形．此时腰长是．
故选：C．
5．如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】B
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝60°，再根据AD∥BC，即可得出∠2＝∠ABC＝60°．
【详解】解：∵∠1＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠2＝∠ABC＝60°，
故选B．
如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）
只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】连接AC，根据SAS证明△AOC≌△BOD，即可求解．
【详解】解：连接AC，如图，
根据题意得：AO=BO，CO=DO，
∵∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
故选：B
7．若，，则（ ）
A． B．11 C． D．7
【答案】D
【分析】将完全平方公式变形，再将已知代入即可求解
【详解】，，
故选D
8．某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点F；若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
9．如图，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C． D．
【答案】D
【分析】根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，根据作图可知，，垂直平分，得到，推出，进而得到，三线合一，推出垂直平分线段，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，得到，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，故选项C正确，不符合题意；
由作图可知：，垂直平分，
∴，，故选项A正确，不符合题意，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
根据同高三角形的面积比等于底边比可知：；故选项D错误，符合题意；
故选D．
如图1，在长方形中，点从点出发沿着四边按方向运动，
开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒2个单位匀速运动，
秒后又恢复为每秒个单位匀速运动．
在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图2所示．则的值为（ ）
A．10 B．11 C．11.5 D．12
【答案】B
【分析】由图象可知，CD的长度，当t＝6时，S△ABP＝16，求出BC的长；当t＝a时，S△ABP＝8，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当t＝b时，S△ABP4，从而求得b的值．
【详解】解：从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变，
即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位，
∴CD＝2×（8﹣6）＝4，
∴AB＝CD＝4，
当t＝6时（点P运动到点C），S△ABP＝16，
∴AB BC＝16，即×4×BC＝16，
∴BC＝8，
∴长方形的长为8，宽为4，
当t＝a时，S△ABP＝8＝×4×BP，
∴BP=4，
即点P此时在BC的中点处，
∴PC＝BC＝×8＝4，
∴2（6﹣a）＝4，
∴a＝4，
∵BP＝PC＝4，
∴m＝BP÷a＝4÷4＝1，
当t＝b时，S△ABP＝AB AP＝4，
∴×4×AP＝4，AP＝2，
∴b＝13﹣2÷1＝11，
故选：B．
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：m2﹣n2
＝（m+n）（m﹣n）
＝3×2
＝6．
故答案为：6．
如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，
击中黑色区域的概率是 ．
【答案】
【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
【详解】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3，
∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案是： ．
如图，，请你添加一个条件使．则可以添加的条件是 （添一个即可）．
【解答】解：添加的条件是，
理由是：在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
14．小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：通过读图可知：小明家距学校800米，小明从学校步行回家的时间是15﹣5＝10（分），
所以小明回家的速度是每分钟步行800÷10＝80（米）．
故答案为：80．
15 .已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，
则阴影部分的面积为 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
按如图方式用火柴混搭三角形，三角形的每一条边只用一根火柴棍，
火柴棍的根数与三角形的个数之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】根据图形找出火柴棒数与三角形个数之间的规律，
根据规律可直接得出搭x个这样的三角形需要（2x+1）根火柴棒．
【详解】结合图形发现：搭第x个图形,需要3+2(x 1)=2x+1(根).
∴火柴棍的根数 (根)与三角形的个数x(个)之间的关系式为：y=2x+1.
故答案为y=2x+1.
三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝（﹣2）2+（﹣1）+1﹣3
＝4﹣1+1﹣3
＝1．
18 .先化简再求值：，其中，．
【答案】，3
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把所给代数式化简，再把代入计算即可．
【详解】
，
当时，
原式．
19．方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积；
(3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为5
(3)见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可．
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
（3）连接交直线于点Q，此时最小．
【详解】（1）解：如图，为所作；
；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点为所作，
．
20．如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种．
（1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少
（2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，
而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗 为什么
【答案】（1）；（2）公平，理由见解析．
【分析】（1）根据红色的有4个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【详解】解：（1）∵一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有4个扇形，
∴指针指向红色的概率为：；
（2）由图可知：转盘被分成10个相同的扇形，
黄色区域有3块，绿色区域有3块，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，概率一样，
∴这个游戏对甲、乙公平．
21 .星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，
请根据图象回答下列问题．
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察图象可知：（1）玲玲到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米；
（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时；
（3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷（10﹣9）＝10千米/时；
10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）＝15千米/小时；
10.5～11时，速度为0；
11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）＝12.5千米/小时；
12～13时，速度为0；
13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）＝15千米/小时；
可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时．两段时间的速度都是15千米/小时．
速度为：30÷（15﹣13）＝15千米/小时；
（4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9﹣1.5）＝千米/小时．
22．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见解答；（2）∠BDE＝69°．
【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
解：（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°，
∴∠BDE＝∠C＝69°．
23．【探究】
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）5；
（2）①x﹣1，x﹣3；②12．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝9﹣4
＝5；
（2）①∵四边形EMFD是长方形，AE＝1，四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF，
∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1，
DF＝CD﹣CF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1，x﹣3；
②∵长方形EMFD的面积是8，
∴MF DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8，
阴影部分的面积＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36，
∴a+b＝±6，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝6，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12．
即阴影部分的面积12．
24 .如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接.
以为直角边且在的上方作等腰直角三角形.
（1）若，
①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与的数量关系和位置关系；
②当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；
（2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系.
【答案】（1）①CF⊥BD，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF⊥BD，证明见解析.
【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．
【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD；
②成立，理由如下：如图2：
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，
∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，
∴△ACF≌△AED(SAS)，
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
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2023-2024学年第二学期七年级数学期末练习卷
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是0.00000025，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C．或 D．
5．如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）
只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．若，，则（ ）
A． B．11 C． D．7
8．某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点F；若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C． D．
如图1，在长方形中，点从点出发沿着四边按方向运动，
开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒2个单位匀速运动，
秒后又恢复为每秒个单位匀速运动．
在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图2所示．则的值为（ ）
A．10 B．11 C．11.5 D．12
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝ ．
如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，
击中黑色区域的概率是 ．
如图，，请你添加一个条件使．则可以添加的条件是 （添一个即可）．
14．小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 米．
15 .已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，
则阴影部分的面积为 cm2．
按如图方式用火柴混搭三角形，三角形的每一条边只用一根火柴棍，
火柴棍的根数与三角形的个数之间的关系式为 ．
三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：．
18 .先化简再求值：，其中，．
19．方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积；
(3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置．
20．如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种．
（1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少
（2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，
而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗 为什么
21 .星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，
请根据图象回答下列问题．
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？
22．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
23．【探究】
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
24 .如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接.
以为直角边且在的上方作等腰直角三角形.
（1）若，
①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与的数量关系和位置关系；
②当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；
（2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系.
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