【北师大版九上同步练习】 第四章 图形的相似（培优）检测题（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
第四章图形的相似（培优）检测题
一、单选题
1．已知，则下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，能使∽成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点O是坐标原点），则的值为（　　）
A． B． C．或2 D．或
二、填空题
6．设是关于x的方程x2－12x＋1＝0的两个根，则　 　．
7．如图，在中，对角线，BD交于点O，，于点，若AB=2，，则的长为　 　．
8．如图，在中，，，分别为，上的动点，，分别以，所在直线为对称轴翻折，，点，的对称点分别为，若、、、恰好在同一直线上，，且，则的长是　 　.
三、计算题
9．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，求DF的长度．
四、解答题
10．如图，已知 ， ，且 ，求证： .
11．在矩形中，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到．
（1）若．
①如图1，若点在边上，的长为_______________；
②如图2，若三点在同一直线上时，求的长；
（2）如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若，求的长．
12．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，使点A，F，E三点共线，得到对应矩形EFCG，连接AF，AC，DG，DE．
（1）求证：AF＝CG；
（2）判断DG与AC的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝3，BC＝4，求tan∠AED的值．
五、综合题
13．如图，在 中， ， ， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
14．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
15．抛物线过点，点，顶点为，与轴相交于点，点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图，连接，，，若的面积为，求的值；
（3）连接，过点作于点，是否存在点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
六、实践探究题
16．【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．
【应用拓展】
（1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为 　 　．
（2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为 　 　．
17．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到点M，使，连接.
图1 图2 图3
（1）【探究发现】图1中与的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
（3）【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围.
18．综合与实践：
综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；再将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．根据以上操作，同学们很快发现，，三点共线，且有以下结论：①；②线段，，之间的数量关系为：．
【深入探究】
操作二：如图2，再将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接、．同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，在这次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现：
一、小曾发现，当点落在折痕上时，设交于点，如图2，则有结论：；
二、小段发现，当点落在折痕上时，是一个定值．
【解决问题】
（1）证明小曾同学结论的正确性：；
（2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由．
（3）【拓展应用】
如图3，矩形中，，，点、分别在边、上，，，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．【答案】B
【知识点】位似变换
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
6．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
7．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
8．【答案】7
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】解：∵E是矩形ABCD的边CB上的一点
∴
∴
∵AF⊥DE
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∵AB＝3
∴
∵ ，CE＝1
∴
∵AD＝2
∴
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
10．【答案】解：∵
∴
∴Rt△ABD∽Rt△DBC
∴∠ABD=∠DBC
【知识点】相似三角形的判定与性质
11．【答案】（1）①3；②1
（2）6
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD，EFCG是矩形
∴AB＝CD，∠B＝90°，∠CFE＝90°．
∴∠CFA＝180°－∠CFE＝90°．
由旋转的性质可得：BC＝FC，CG＝CD∴AB＝CG
在Rt△ABC和Rt△AFC中，
∴Rt△ABC≌Rt△AFC(HL)．
∴AF＝AB，∴AF＝CG．
（2）解：．理由如下：
连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∴，∠DAC＝∠BCA．
∵Rt△ABC≌Rt△AFC，∴∠FCA＝∠BCA．∴∠DAC＝∠FCA．
∴OA＝OC，∵AD＝FC∴OD＝OF∴∠ODF＝∠OFD．
∵∠AOC＝∠DOF∴∠DAC＝∠ODF．∴．
∵AF＝CG，，∴四边形ACGF是平行四边形∴．
∴F，D，G三点共线．∴．
（3）解：过点C作CK⊥FG于点K，延长ED交CF于点H
∵CG＝AB＝3，CF＝BC＝4，∴
∵，∴
∴．
∵CD＝CG，CK⊥FG，∴
∴．
∵，∴∠DFH＝∠DGE，∠DHF＝∠DEG．
∴，∴∴．
∴．
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
13．【答案】（1）解：设 ，则
∵ ，
∴
解得
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴
即 ．
∴ ．
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
14．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，是菱形的对角线，
∴，点是的中点，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】（1）解：将点，点代入得：
，
解得．
抛物线的表达式为；
（2）解：，令，则，
点，
设直线的解析式为，
点，
，
解得．
直线解析式为，
过点作轴交于点，
设点，点，
，
的面积为，
，
，，
的值为或，
，
的值为；
（3）解：存在点，使得；理由如下：
在中，，
，
设交轴于点，延长交轴于，连接，过点作轴于点，如图，
，
顶点，
，
，，
，，．
，．
在中，，，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
，为的中点，
是等腰三角形，，
，
，
∽，
，
，
．
，
设直线的解析式为，
，
解得．
直线的解析式为．
，
解得，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；数学思想
16．【答案】（1）16
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）；
（2）解：如图1，延长至点，使，连接.
图1
由（1）可知，，
，，，.
，，，
，.
，
，
，
，
为直角三角形.
（3）解：如图2，延长至点，使，连接，
图2
.
又，
，
.
，，
.
在中，由三角形三边关系可得，
即，
.
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
18．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴．
由折叠的性质可知，，，
∴，
又∵，
∴．
由操作一知，
∴是等腰直角三角形，
∴N，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：成立，理由如下：
由折叠的性质可知，．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：将三角形沿翻折，使点F落在点G处，连接交与点O，
∴，．
由折叠的性质得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
设，则，
∴，．
在中，，
∵，
∴，
整理得，
∴或（舍去），
即．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
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