福建省龙岩市漳平第二中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（含解析）

漳平二中2023-2024学年下学期第二次月考
高一数学试卷
一、单选题
1．若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知在正四面体中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．掷一枚均匀的正六面体骰子，设表示事件“出现2点”，表示“出现奇数点”，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（ ）
A． B． C． D．
7．某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）
①a的值为0.005
②估计这组数据的众数为75
③估计这组数据的下四分位数为60
④估计成绩高于80分的有300人
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在棱长为a的正方体中，P在线段上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（ ）
B．
C． D．与点M的位置有关
二、多选题
9．若复数z满足（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为 B．z的共轭复数为
C．z的模为 D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）.
A．、为实数，若，则与共线
B．若、，则
C．两个非零向量、，若，则与垂直
D．若，、分别表示、的面积，则
11．在如图所示的三棱锥中，，，，两两互相垂直，下列结论正确的为（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．二面角的正切值为
C．到面的距离为
D．作平面，垂足为，则为的重心
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．如图，直角梯形ABCD是某个多边形的斜二测直观图，，，，则该多边形原本的面积为 ．
13．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是 ．
14．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则面积S的取值范围 .
四、解答题
15．已知向量，.
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数k的值.
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
18．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC．
(1)若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
(2)求三棱锥A CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离.
参考答案
1．D【详解】由得，故的虚部为，故选：D.
2．A【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，所以由正弦定理得，
解得，故选：A.
【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》
3．A【详解】因为直线平面，直线平面，当时，可得，即充分性满足；当时，不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
4．C【详解】设正四面体的棱长为2，取BD的中点N，连接MN，CN，如图， 由M是AB的中点，得，则是CM与AD所成的角或其补角，显然，取MN的中点E，连接CE，则，
在中，，因此，
所以直线CM与AD所成角的余弦值为.故选：C
B【详解】掷一枚均匀的正六面体骰子,共有六个基本事件，因为A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，所以表示事件为出现2点、1点、3点、5点这四个基本事件，因此故选：B
6．B【详解】几何体如图所示：因为轴截面是正三角形，所以.圆锥的侧面积等于，
圆锥的体积等于，由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，得，得.
故圆锥的底面积为.故选：B.
7．D【详解】由频率分布直方图可知，解得，①正确；
根据频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确；前两组频率之和为，所以这组数据的下四分位数为60，③正确；成绩高于80分的频率，所以估计总体成绩高于80分的有人，④正确；综上①②③④正确，故选：D
8．A【详解】由题意知，点到平面MBC的距离为a，又，所以点到平面MBC的距离为，
又点M在上运动，所以，所以，故选：A.
9．ACD【详解】由，得，则的虚部为，故A正确；
的共轭复数为，故B错误；的模为，故C正确；
在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．故选：ACD．
10．AB【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错，
对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，
若，设，，可得为的重心，
设，，，则，，，由，
可得，故D正确；故选：AB.
11．BD解：因为，，两两互相垂直，，平面，故为直线与平面所成的角，又，所以，故直线与平面所成的角为，故A错误；
取中点为，连接，因为，，，两两互相垂直，所以，因为，所以平面，故为二面角的平面角，
则，故二面角的正切值为，故B项正确；因为，所以，设到面的距离为，则，解得，故C项错误；因为，故为等边三角形，因为平面，
则点为点在平面上的投影，又，
即点到顶点的距离相等，即点到顶点的距离相等，
故为的重心，故D项正确.故选：BD.
12．【详解】过点A作，垂足为E，易知为正方形，因为，，
所以，，所以，所以，根据斜二测画法还原后的平面图形，是上底为1，下底为2，高为的梯形，所以该多边形原本的面积为.故答案为：
13．【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数，出现向上的点数之和等于6包含的基本事件有：，共5个，
∴出现向上的点数之和等于6的概率为．故答案为：．
14．【详解】因为，所以由正弦定理有，整理得，
所以由余弦定理有，又，所以，又，所以由正弦定理有，因为为锐角三角形，所以且，所以，所以，则，所以，即，
所以.故答案为：.
15．(1)(2)【详解】（1）由知，即.
（2）由，，知.由知，故，即，从而.
16．【详解】（1）连接交于点，连接，由底面是正方形，故为中点，又点为线段的中点，故，又平面，平面，故平面；
（2）由点为线段的中点，，故，
由平面，平面，故，又底面是正方形，故，
又、平面，，故平面，又平面，
故，又、平面，，故平面；
（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，故.
17．【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，所以.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.
18．【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得，此时就变为．由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，两边平方得，即．又，即，所以，进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，因为，故，
消去得．，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，故面积的取值范围是．
19．【详解】（1）AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时.理由如下：当时，，
如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接ME，则，∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，∴MP∥EC，故四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME，又CP 平面ABEF，ME 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF.
（2）设BE＝x，则AF＝x(0∴当x＝3时，VA-CDF有最大值，且最大值为3，此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，.
∴，.在△ACD中，由余弦定理得
,,.设到平面的距离为，
，.