河北省邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（含解析）

2023—2024学年高二（下）质检联盟第三次月考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：计数原理，随机变量及其分布，成对数据的统计分析，集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量，则（ ）
A. B. C.1 D.2
3.的展开式中的常数项为（ ）
A.12 B.8 C.-12 D.-8
4.已知随机变量，且，则（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.在数轴上，一质点从原点0出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有（ ）
A.165种 B.210种 C.330种 D.462种
8.已知函数，则（ ）
A.-11520 B.-23040 C.11520 D.23040
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列函数中是偶函数，且在上单调递减的有（ ）
A. B.
C. D.
10.某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（ ）
A.晚会节目不同的安排顺序共有种
B.若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种
C.若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种
D.若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种
11.已知函数是定义在上的奇函数，，对任意的，且，均有，则（ ）
A. B.
C.在上单调递增 D.函数为常数函数
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.随机变量的分布列为
1 2 3
则__________.
13.已知集合，若“”是“”的充要条件，则__________.
14.若不等式对任意满足的正实数均成立，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）：
经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50
初中学生 100
合计 400
从被调查的高中 初中学生中各随机选取1人，这2人都经常做家务的概率为.
（1）通过计算将列联表中的数据补充完善；
（2）依据的独立性检验，能否认为学生的年级段与经常做家务有关？
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
16.（15分）
人口结构的变化能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格.
城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8
空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2
经计算得.
（1）若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率；
（2）估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）.
参考公式：样本相关系数
17.（15分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
（2）讨论的单调性.
18.（17分）
在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为.
（1）若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为，求的分布列与期望；
（2）若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）设，证明：.
2023—2024学年高二（下）质检联盟第三次月考数学
参考答案
1.A 因为，所以.
2.B 因为，所以.
3.D 展开式的通项.令，得，所以展开式中的常数项为.
4.C 因为，所以，则.
5.B 因为，所以，
故.
6.B 设的零点分别为，其中，当时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，选项B符合条件.
7.C 从原点0出发，平移11次最终达到3的位置，则可知这11次有7次向右平移，4次向左平移，故不同的平移方法共有种.
8.A 令，则，则，所以.
9.BC 对于选项A为奇函数，不符合题意，A不正确.对于选项B为偶函数，且当时，恒成立，故在上单调递减，B正确.对于选项C，为偶函数，且当时，恒成立，故在上单调递减，C正确.对于选项D为偶函数，且当时，在上单调递增，不符合题意，D不正确.
10.AC 由题可知，晚会节目不同的安排顺序共有种，正确.若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种，不正确.若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种，正确.若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有
种，D不正确.
11.ACD （法一）由，得，则.由的任意性可知函数为常数函数，不妨令为常数，则，即，所以，解得，故，则在上单调递增，为常数函数.故选ACD.
（法二）令，易得，结合，解得，
，A正确.令，易得，则.因为是奇函数，所以
，B不正确.令，则，则（为常数），则，由，得，从而，易得C，D正确.
12. 由题可得，解得.
13.1 由题意知关于的方程只有一个解，则，即，则.
14. 由题可知，因为，所以，当且仅当时，等号成立.
15.解：（1）设被调查的高中学生中，不经常做家务的人数为，则
解得或（舍去），
故列联表的数据补充完善后如下：
经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50 150 200
初中学生 100 100 200
合计 150 250 400
（2）零假设为：学生的年级段与经常做家务之间无关联.
由（1）可知，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即学生的年级段与经常做家务有关联.
16.解：（1）由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个，故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为.
（2），
则
.
故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63.
17.解：（1）因为，所以.
由，
得曲线在点处的切线方程为，即，
则
解得
（2）.
若，则当时，，当时，.
若，则当时，，当时，.
若，则在上恒成立.
若，则当时，，当时，.
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
18.解：（1）由题可知，的所有可能取值为，且，
，
，
.
的分布列为
0 1 2 3
则.
（2）设“考生甲答对第道试题”，
则，
，
则.
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
则，即他第10道试题也答对的概率为.
19.（1）解：当时，等价于.
令，则.
令，则.
当时，单调递增，则，从而在上恒成立，则在上单调递增，故，则的取值范围为.
（2）证明：令，由（1）可得，在上恒成立，当且仅当时，等号成立.
令，则，则，
即.
因为，
所以.