6.2.1 向量的加法运算 课件（共22张PPT）

(共21张PPT)
向量的加法运算
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景和数学内涵，是沟通代数和几何的桥梁。上节课咱们研究了向量的基本概念。我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么向量能否像数一样进行运算呢？
引言：
实际应用 运算性质
物理背景 向量运算
研究思路：
01
某质点从点A经过点B到达点C，这个质点的位移如何表示？
位移的合成可以看作向量的加法运算..
思考：
A
B
C
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，作
b
a
A
B
a
C
b
a + b
思考：如何依据位移的合成求两个非零向量的和
叫做 a与b的和，记作a+b ，
即a +b = j
=
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型..
A
B
a
C
b
a + b
图形
符号
首尾相接，
再连首尾
在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1和F2 的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？
思考：
O
B
A
F1
F2
合力F在以OA、OB为邻边的平行四边形对角线上OC上，大小等于对角线的长
力的合成可以看作向量的加法运算.
B
C
A
O
思考：
如图，已知非零向量a ，b，求a ，b的和.
从力的合成受到启发，你能给出两个非零向量加法的另一个运算法则吗？
b
a
向量加法的平行四边形法则
在平面内任取一点O ，
作 = a ， = b，
O
A
B
a
b
a b
+
C
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
b
a
则a + b=
+
共起点，对角线
作法1：在平面内任取一点O ，作
b
a
O
A
a
B
b
a + b
例1：如图，已知非零向量a ，b ，求作向量a +b.
作法2：在平面内任取一点O ，以，则
A
O
B
a
b
a b
+
C
向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗 ？
思考：
O
A
B
a
b
a b
+
C
1.如图，当非零向量a ，b不共线时
平行四边形法则中
a + b=
与三角形法则一致..
2.当非零向量，b共线时
b
同向
b
反向
A
B
C
b
A
B
C
b
共线时只有三角形法则可以作图.
=
a + b=
3.当有零向量时呢？
当非零向量，b不共线时,平行四边形法则与三角形法则一致;
对于零向量与任一向量
当非零向量，b共线时,只适用三角形法则；
当有零向量时，规定： ..
探究：
1.当向量a ，b不共线时
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，，
两边之和大于第三边.
A
B
a
C
b
a + b
作 =b = + b
2.当向量a ，b共线时：
b
同向
A
B
C
b
b
反向
A
B
C
b
综上所述可以得到:
有零向量时，||-|b||=||=||+|b|
向量加法的运算律
探究：实数的加法运算满足交换律、结合律，那么向量的加法也满足交换律和结合律吗？如何检验？
b
b b
交换律成立：
b b
O
A
B
C
b
b
b
向量加法的运算律
结合律成立：
A
C
D
B
作=
因为
所以
因为b =
所以+
所以+
应用：
例2:长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为6km/h..
北
；
A
B
C
D
应用：
解：
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与船实际航行的方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）.
解：在
因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，
方向与江水速度间的夹角约为68°.
课堂总结
启发
引进
类比数
研究
探索
体会
物理
背景
向量的运算
运算性质
运算法则
运算作用