8.3 简单几何体的表面积与体积 课件（共21张PPT）

(共23张PPT)
8.3 简单几何体的表面积与体积
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1 基本立体图形
3 棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
2 棱柱、棱锥、棱台的表面积
4 小结（求几何体的常用方法）
1 基本立体图形
1 基本立体图形
01
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形.
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形.
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形.
这样， 我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积.
多面体的表面积就是围成多面体各个面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的面积的和.
2 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.如图，四面体P-ABC 的各棱长均为，
求它的表面积.
P
B
A
C
[分析]：四面体P-ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的四倍.
解：因为是正三角形，其边长
为，所以
因此，四面体P-ABC 的表面积
.
正方体体积=（ 是正方体的棱长）.
长方体体积=bc(分别是长方体
的长、宽、高).
3 棱柱、棱锥、棱台的体积
问题
一般地，如果棱柱的底面积是，高是那么这个棱柱的体积是？
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面做垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
底面积
高
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
探究
1
2
3
1
2
3
三棱锥1，2的底面积相等，高也相等.
三棱锥2，3的底面积相等，高也相等.
因此，这三个三棱锥的体积相等，每个
三棱锥的体积是
1
2
3
1
2
3
因此，一般地，如果棱锥的底面积是，高是那么该棱锥的体积是
高
棱锥的高是指从顶点向底面做垂线，顶点与垂足之间的距离。
底面积
棱台是由棱锥截成的，利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面做垂线，这点与垂足之间的距离。
上底面积
高
下底面积
棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．
(2)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
(3)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
上底扩大
上底缩小
例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是，公共面ABCD是边长为1的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到)？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
[分析]：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.
解：由题意知
所以这个漏斗的容积
例3 如图，在三棱台中，
求三棱锥，三棱锥,三棱锥的体积之比.
[分析]：(1)相似三角形的面积比等于相似三角形边长比的平方；
（2）题中三个棱锥可看成是由三个棱台分割而成的；
（3）求几何体体积的方法有公式法、等积法、补体法，分割法等.
解：设棱台的高为，,则.
所以,
又因为,
所以
,
所以三棱锥，三棱锥,三棱锥的体积之比为
4 小结（求几何体体积的常用方法）
体积
公式法
等积法
补体法
分割法
直接带入公式求解
如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
作业
1.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体表面积为（）
A. B. C. D.
2.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）.
3.已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是边长为2的正方形，高为2，则这个四棱锥的侧面积和体积各是多少？