中小学教育资源及组卷应用平台
暑假作业10最短路径问题及折叠问题
最短路径问题
模型1：已知：如图，定点分布在定直线两侧；
要求：在直线上找一点，使的值最小
解法：连接交直线于点，点即为所求，的最小值即为线段的长度
理由：在上任取异于点的一点，连接，
在中，，即，
∴为直线与直线的交点时，最小
模型2：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧
要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小）
解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线，
由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小，从而转化为第1种模型
方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
一、单选题
1．如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，连接，此时最短，
∵与关于直线l对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短，即最短，
∵与直线交于点，
点应选点．
故选：C．
2．如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，
平分，
，
，
当点与点重合时，的值最小，等于的值，
，的面积为8，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
4．如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：四边形纸片中，，
∴，
∵将纸片折叠，使落在边上的处，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．如图，已知四边形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意可得：，
，，
，
，，
，
.
故选B.
二、填空题
6．如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】10
【详解】解：如图，连接，
∵点是的角平分线上一动点，则 ，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，
又∵是等边三角形，，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
7．如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是 ．
【答案】/50度
【详解】解：，
，
，
由折叠的性质可知，
，
故答案为：．
8．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．
【答案】6
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴点P到A，B两点的距离相等，
即，
要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线，
∴的长度即的最小值，
即的最小值为6，
故答案为：6．
9．如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】10
【详解】解：连接，，如下图：
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短．
故答案为：10．
10．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．
（1）若，则的度数为 ．
（2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】（1）延长至M，
由翻折可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）延长到点N，
由翻折可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．如图，在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为，，试说明：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵沿着翻折使得点的对应点落在上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．如图，某公路（可视为轴）的同一侧有、、三个村庄，要在公路边（轴上）建一仓库，向、、三个村庄送农用物资，路线是或．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中轴上标出使送货路线之和最短的点所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）．
【答案】见解析
【详解】解：两条路线中，的长度是固定的，
∴送货路线之和最短，则到的路径最短，
∴作点关于轴的对称点，再连接，则与轴的交点即为点，
则点即为所求．
13．如图，将一长方形纸片沿着折叠，交于点，为上一点，连结，．
(1)请说明的理由；
(2)若，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是长方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
由折叠得：，
，
，
，
的度数为．
1．如图，图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，将纸带沿折叠成图2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
2．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【详解】解：连接，．
∵，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值为．
故选：C
3．如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：连接，过点作，
，，，，
，，
，
当、、三点共线且时，的最小值为，
，
，即的最小值为，
故答案为：．
4．操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点．
(1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ；
(2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度．
【答案】(1)见解析，
(2)
【详解】（1）如图所示，即为所求，
∵点与点关于y轴对称，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点作的垂线交y轴于点E，交于点F，
则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值，
设与y轴交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴
∵的面积，，
∴，
∴最小值是，
故答案为：．
5．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．
(1)如果，求的度数；
(2)如果已知∠，则__________（用含的式子表示）
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，
，
由折叠知，
，
；
（2）解：，
，
由折叠的性质可得：，
；
（3）解：，
，
，
，
．
6．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设．
(1)①若，则______°；
②用含x的代数式表示．
(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处．
①若，，求x；
②若 ，用含x的式子表示．
【答案】(1)①；②
(2)①；②
【详解】（1）解：①由折叠的性质得：，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：80；
②由折叠的性质得：，
，
四边形是矩形，
，
；
（2）解：①由折叠的性质得：，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
即，
解得：；
②，
，
由折叠的性质得：，
．
1．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ．
【答案】2
【详解】解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，
∴，
而,
当点与点重合时，，此时的长最小，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键．
3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
【答案】(1)25°
(2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°
【详解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵P与E重合，AE平分∠BAC，
∴D在AB边上，AE⊥CD，
∴∠ACD＝65°，
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；
（2）①如图1，当点P在线段BE上时，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∴90°－α＋β＝40°＋α，
∴2α－β＝50°；
②如图2，当点P在线段CE上时，
延长AD交BC于点F，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，
∴90°－α＝40°＋α＋β，
∴2α＋β＝50°．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质．
5．（2022·山东威海·中考真题）如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．
(1)的面积为 ；
(2)以为边画与全等的三角形，满足条件的三角形可以作出 个
(3)在直线l上确定点P，使的长度最短，则最短距离是 （画出示意图并标明点P的位置）
【答案】(1)3
(2)3
(3)
【详解】（1）解：．
故答案为：3；
（2）如图，，，即为所求．
故答案为：3；
（3）作关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点，
由对称可知：，，
则，当点在点时，取等号，即：此时的长度最短，
即：点即为所求，
由勾股定理可得的最短距离为：，
故答案为：．
6．（2022·广东汕头·中考真题）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ．
【答案】
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小，
∴当点A、P、E在同一直线上，且时，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
暑假作业10最短路径问题及折叠问题
最短路径问题
模型1：已知：如图，定点分布在定直线两侧；
要求：在直线上找一点，使的值最小
解法：连接交直线于点，点即为所求，的最小值即为线段的长度
理由：在上任取异于点的一点，连接，
在中，，即，
∴为直线与直线的交点时，最小
模型2：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧
要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小）
解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线，
由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小，从而转化为第1种模型
方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
一、单选题
1．如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
2．如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知四边形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ．
7．如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是 ．
8．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．
9．如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
10．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．
（1）若，则的度数为 ．
（2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
三、解答题
11．如图，在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为，，试说明：．
12．如图，某公路（可视为轴）的同一侧有、、三个村庄，要在公路边（轴上）建一仓库，向、、三个村庄送农用物资，路线是或．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中轴上标出使送货路线之和最短的点所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）．
13．如图，将一长方形纸片沿着折叠，交于点，为上一点，连结，．
(1)请说明的理由；
(2)若，求的度数．（用含的代数式表示）
1．如图，图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ．
4．操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点．
(1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ；
(2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度．
5．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．
(1)如果，求的度数；
(2)如果已知∠，则__________（用含的式子表示）
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
6．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设．
(1)①若，则______°；
②用含x的代数式表示．
(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处．
①若，，求x；
②若 ，用含x的式子表示．
1．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ．
3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．
4．（2022·广东汕头·中考真题）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ．
5．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
6．（2022·山东威海·中考真题）如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．
(1)的面积为 ；
(2)以为边画与全等的三角形，满足条件的三角形可以作出 个
(3)在直线l上确定点P，使的长度最短，则最短距离是 （画出示意图并标明点P的位置）
