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第12讲 等腰三角形
·模块一 等腰三角形的性质
·模块二 等腰三角形的判定
·模块三 课后作业
等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
【考点1 等腰三角形的性质（等边对等角）】
【例1.1】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等边对等角的性质是解答的关键．设，根据等腰三角形的等边对等角的性质得到，再根据三角形的内角和为求得x值即可．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得，即，
故选：C.
【例1.2】（2023·山东菏泽·八年级期末）如图， 中， ， ， 点D 在边上， 、交于点F， 若 则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键．先证明，，，可得，再求解，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
．
故答案为：．
【例1.3】（2023·四川宜宾·八年级期末）如图，点E在边上，，，．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得．进而可证．
（2）由（1）知，则，，，根据，求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．
【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，点A在的边的延长线上，过点B作，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和为180度以及等边对等角进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式1.2】（2023八年级·湖南衡阳·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及三角形内角和性质，先由和分别垂直平分和，得出，根据三角形内角和性质列式作答即可．
【详解】解：如图：
∵和分别垂直平分和，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
故答案为：．
【变式1.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据等边对等角，设，由，根据三角形外角定理，得到，在中，根据三角形内角和定理，即可求解，
本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【详解】解：∵，
∴设，
，
∵，
∴，
在中，，
，
．
【考点2 等腰三角形的性质（三线合一）】
【例2.1】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，在中，，，若，则的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据性质直接能得到点D是线段的中点,即可求解.
【详解】解：∵，，
∴为等腰三角形，为底边上的高，
∴平分，为边上的中线.
∵，
∴，
故选：B.
【例2.2】（2023八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中，的平分线 交 于点 的平分线交 于点 ，作 于点 ，若 ，则 的长度为 ．
【答案】3
【分析】先根据等腰三角形的三线合一的性质等知识得，再利用角平分线的性质定理解决问题即可．本题考查角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：∵的平分线 交 于点
∴，
∵平分，且，
∴，
故答案为3．
【例2.3】（2023八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，，是的中点，，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．由等腰三角形的性质得，，再证，得，即可得出结论．
【详解】证明：，是的中点，
，，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
即．
【变式2.1】（2023八年级·全国·竞赛）如图，在中，，是边上的高，点E，F，G分别是，，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是数形结合熟练掌握三角形中线将三角形的面积分为相等的两部分．先根据等腰三角形性质得出，和的面积相等，然后根据中线的性质得出图中阴影部分中三角形的面积，据此作答即可．
【详解】解：∵中，，是边上的高，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴图中阴影部分的面积为：
．
故答案为：15．
【变式2.2】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，根据垂直平分线的性质，等量代换，得，根据周长为，，根据等量代换，求出，最后根据，即可．
【详解】∵，且，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式2.3】（2023八年级·北京大兴·期中）把下列证明过程补充完整．
已知：如图，在中，，是边上的中线，于点．
求证：．
证明：，
，
是边上的中线，
（三线合一）．
．
，
，
．
，
．
【答案】，，
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，垂线的定义，解题的关键是根据等边对等角得到，根据三线合一得到，即，利用垂线的定义得到，等量代换可得．
【详解】解：证明：，
，
是边上的中线，
（三线合一）．
，
，
，
．
，
．
故答案为：，，.
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在等腰中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点E．
(1)若时，求证：；
(2)在点D的运动过程中，若以为其中一腰长的是等腰三角形时，求出此时的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）当时，由“”可证；
（2）分，两种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求的度数．
【详解】（1）证明：，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：分两种情况：
①当时，，
，
，
；
②当时，，
，
，
，
；
综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、分类讨论等知识，熟练掌握三角形内角和定理与三角形外角的性质是解题的关键．
【题型2】（2023八年级·四川绵阳·期末）如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度．
【详解】解：延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【题型3】（2023八年级·辽宁大连·期中）【问题背景】（1）如图，在中，，点D，E分别在边上，求证：；
【变式迁移】（2）如图，在中，，点D在边上，连接，点F在上，，判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）在（2）的条件下，连接，使，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查三角形的内角和定理，等边对等角，掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理结合等边对等角，即可得证；
（2）利用（1）中结论，结合，以及，即可得出结论；
（3）设，得到，，三角形的内角和定理，推出，再根据三角形的内角和定理得到，即可得解．
【详解】（1）∵在中，
在中
∴
∵
∴；
（2）由（1）知
又∵
∴
∵
∴；
（3）设，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，射线交射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若中有两个角相等，若设 ，则度数为 ．
【答案】22.5或45或67.5
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，翻折变换．根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
【详解】解：由折叠得：，，
分三种情况：
当时，如图：
，
是的一个外角，
，
；
当时，当和位于射线的同侧时，如图：
，
，
；
当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不成立；
当时，如图：
，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或，
故答案为：22.5或45或67.5．
【题型2】（2023八年级·北京·期末）如图，中，，平分交于是上一点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质，作于，则，由得出，由角平分线的定义可得，证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
【详解】证明：作于，
，
，
，
，
平分交于，
，
在和中，
，
，
，
．
【题型3】（2023八年级·广西南宁·期末）综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）实践小组的判断对，理由见解答．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；
（1）证明，得，即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
是的平分线；
（2）解：实践小组的判断对，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对．
1等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【考点1 等腰三角形的判定】
【例1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，，则是 三角形．
【答案】等腰
【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
则
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰．
【例1.2】（2023八年级·广东深圳·期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别根据作图痕迹判断是否符合题意即可．
【详解】解：①根据作图得，故，符合题意；
②根据作图得，不符合题意；
③根据作图得
平分，，
∴，
∴，
∴，
因此③符合题意；
④根据作图得，不符合题意，
∴符合题意的有①③，
故选：C．
【例1.3】（2023八年级·北京·期末）如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解答本题的关键．
（1）先利用“三边对应相等的两个三角形全等”证明，得出，，再利用“三角形内角和等于”即可求得答案；
（2）由“平分”可知，由可推得，所以，再根据等腰三角形的判定即可证得．
【详解】（1）解：D是边上的中点，
，
，，
，
，，
,
；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
．
【变式1.1】（2023八年级·山东烟台·期中）如图，图中等腰三角形的个数为 ．
【答案】5
【分析】根据三角形的外角的性质，三角形的内角和定理分别求解，，，，再结合等腰三角形的判定可得答案.
【详解】解：∵，
∴，为等腰三角形，
∵，
∴，，
∴，，
∴，为等腰三角形，
∵，
∴，，
∴，，
∴，为等腰三角形，
故答案为：5
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，熟记等边对等角是解本题的关键.
【变式1.2】（2023八年级·河北廊坊·阶段练习）下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题意结合等角对等边进行画图求解即可．
【详解】解：A、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
B、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
C、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
D、不可以裁成两个等腰三角形，符合题意；
故选D．
【变式1.3】（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，点、分别在、上，，过点作交于，平分．说明．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识．由平行线的性质得出，由角平分线的性质得出，推出，则，由证得，进而可得结论．
【详解】证明：∵，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【考点2 等腰三角形的性质与判定的综合运用】
【例2.1】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在等腰直角三角形中，，外角平分线交延长线于点D，，垂足是E，若周长是8，则线段的长为（ ）
A． B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，接着证明是等腰直角三角形，得到，则，由三角形周长公式得到，则．
【详解】解：∵在等腰直角三角形中，，
∴，
∵外角平分线交延长线于点D，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵周长是8，
∴，
∴，
故选：C．
【例2.2】（2023·广东佛山·八年级期末）已知：如图，点D在内部，连接．若．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
方法一：证明，得到，即可证明；
方法二：延长交于点，由三线合一定理得到，则可证明，即可证明．
【详解】证明：方法一：，，
，
，
；
方法二：延长交于点，
，
，
，
．
【例2.3】(2024八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点P为直线上一动点，并沿直线从右向左移动．若点P与三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，则将点P在直线上进行标记，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定及三角形内角和定理，分类讨论角的情况，根据内角和求出角，结合两个角相等的三角形式等腰三角形判断即可得到答案；
【详解】解：如图：
∵在中，，，
∴，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当P与C重合时，为等腰三角形；
当P与B重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点P的位置有6个．
故选：C．
【变式2.1】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，根据，平分得出，根据可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
【变式2.2】（2023八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用，连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到， 则，再由对称性得到，， 则， 有三角形内角和定理得到， 则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵与关于对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2.3】（2023八年级·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，求证：
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．在上取点，使得，则可证得，可得，，可证得为等腰三角形，所以有，可得结论．
【详解】证明：如图，在上取点，使得，
平分，
在和中
，
，
，，
，且，
，
，
．
【考点3 作等腰三角形】
【例3.1】（2023八年级·吉林·期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图以及等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．由作法知，可判断A；由作法知，是的平分线，，可判断B；由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断C； 由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D．
【详解】解：A、由作法知，
∴是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、由作法知，是的平分线，
∴，
∴是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、，
由作法知所作直线是的垂直平分线，
∴，
∴不能判定是等腰三角形，故选项C符合题意；
D、由作法知所作图形是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【例3.2】（2023·北京·八年级期末）已知两点A、，若以点A和点为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性质来作图，要注意分不同的直角顶点来讨论．
【详解】解：此题应分三种情况：
①以AB为腰，点A为直角顶点；
可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；
②以AB为腰，点B为直角顶点；
可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；
③以AB为底，点C为直角顶点；
可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；
综上可知，可作6个等腰直角三角形，
故答案选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是分不同的直角顶点来讨论．
【例3.3】（2023八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以为底边的等腰三角形，则需要作线段的中垂线，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作的角平分线，与直线相交于一点即为点A，连接，即为所求作的等腰三角形．
【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形．
【变式3.1】（2023八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线，在射线上截取，然后作的垂直平分线，垂足为O，再截取，再连接、，即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【变式3.2】（2023八年级·河南郑州·期中）如图，直线相交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的度数是 ．
【答案】 ，，或
【分析】根据△OAB为等腰三角形，所以需要分三种情况讨论：①OB=AB，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，即可得到等腰三角形OAB；②当OA=AB时，③当OA=OB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，即可得到符合的点B，即可得解．
【详解】要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点为B，此时有1个；
③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点为B，此时有2个，
．
故答案为 ，，或
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
【变式3.3】（2023八年级·北京海淀·期中）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l外取一点A，作射线与直线l交于点B，
②以A为圆心，为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，
③以A为圆心，为半径画弧与线段交于点Q，
则直线即为所求．
根据小王设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵，
∴，
（ⅰ）∵_________，
∴．
∵，，
∴．
（ⅱ）∴（____________________）．（填推理的依据）
即．
【答案】(1)作图见详解
(2)（i）AQ；（ii）同位角相等，两直线平行
【分析】（1）按题目描叙作图即可；
（2）依据小王的证明思路，即可作答．
【详解】（1）依据题目描叙作图如下：
（2）证明：∵，
∴，
∵AQ，
∴．
∵，，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行），
即．
故答案为：AQ，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了基本作图、等边对等角以及平行线的判定等知识，解答本题的关键是掌握平行线的判定，同位角相等，两直线平行．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·广东茂名·阶段练习）是等腰直角三角形，，是角平分线，．
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数及等量代换的应用是正确解题关键．
（1）如图，根据是等腰直角三角形可知，由可知，由此得到为等腰三角形；由角平分线的性质可知，由此得到为等腰三角形；同理可得为等腰三角形；
（2）由于为等腰三角形，为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可证明，然后就可以求出的长．
【详解】（1）解：如图：
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，
故为等腰三角形；
∵是的角平分线，，
∴，
故为等腰三角形；
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
，
故为等腰三角形．
故图中所有的等腰三角形为，共四个；
（2）由①可知为等腰三角形，为等腰三角形，为等腰三角形．
故，
∴．
【题型2】（2023八年级·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，，点是上一点，且，过点分别作，，垂足分别是点，，下列结论：①；②点是的中点；③点是的中点；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质；根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质判断①；根据题意可得，但，即可判断②，根据垂直平分线的性质即可判断③；根据即可判断④．
【详解】① ，，
．
，
．
，
．
．
是的角平分线．
，
，选项①正确．
② ，
，但，选项②错误．
③ ，，
垂直平分，选项③正确．
④ ，，
．
又 ，
，选项④正确．
综上，①③④正确．
故选C．
【题型3】（2023八年级·广东广州·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，与直线相交于点D，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定定理，全等三角形的性质与判定定理，解决本题关键作出合适的辅助线．
过点P作交于点F，根据等腰三角形的判定和性质准备条件，再证即可．
【详解】证明：如图，过点P作交于点F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·全国·课后作业）如图，在中，是中线，E为上一点，与相交于点F．若，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长至点G，使，连接，可证明，则，，根据，，可证出，即得出．
【详解】证明：如答图，延长至点G，使，连接．
∵是中线，所以．
在和中，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期中）如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质定理，在上取一点E，使，由，得出，三角形的外角性质定理得出，进一步得出，，即可求出的值．
【详解】解：在上取一点E，使，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
故选∶B．
【题型3】（2023八年级·江苏徐州·期末）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】C
【详解】解：如图所示：
当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选C．
【点睛】考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
1．（2023·辽宁大连·八年级期末）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与相交于点D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定．利用等腰三角形底角相等求得，由作法得平分，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
由作法得平分，
∴，
∴．
故选：A．
2．（2023八年级·四川宜宾·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质判断即可．
【详解】解： ，是的中点，
，，，
而不一定成立，
故选：B．
3．（2023八年级·重庆·期中）如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵在中，，点E为中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
4．（2023八年级·广东深圳·阶段练习）如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定，解题的关键是利用折叠不变性进行线段的转换．
根据翻折的性质可知：，，，根据得出，进而求出，再根据的周长为13，求出，即可得出．
【详解】解：根据翻折的性质可知：，，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
的周长为13，
，即，
，
，
，
，
故选B．
5．（2023·贵州毕节·八年级期末）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点．
【详解】解：如图，点为所作，
故答案为：A．
6．（2023八年级·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知平分，，则是 三角形．若，则等于 ．
【答案】 等腰 /3厘米
【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等角对等边，掌握等角对等边是解题的关键．根据角平分线的概念和平行线的性质得到，进而得到，即可证明出是等腰三角形，然后根据等边对等角得到．
【详解】∵平分，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴是等腰三角形；
若，
∴．
故答案为：等腰，．
7．（2023八年级·山西临汾·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是 ．
【答案】“三线合一”
【分析】本题考查了等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴AE⊥BC，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”，
故答案为：“三线合一”．
8．（2023八年级·天津武清·期中）如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．
【答案】3
【分析】根据等腰三角形的定义即可找到两个等腰三角形，然后利用等边对等角、三角形的内角和、三角形外角的性质求出图中各个角的度数，再根据等角对等边即可找出所有的等腰三角形．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，都是等腰三角形，共3个．
故答案为：3．
9．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求 ．
【答案】
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：由题意可得：平分，平分
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
10．（2023八年级·辽宁大连·阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解．
【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接，
∵中，，，点是斜边的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴；
当点在的延长线上时，如图所示
同理可得，
则
∴
故答案为：或．
11．（2023八年级·山东济南·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点．
(1)若，求的度数
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)周长
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质：
（1）根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，进而得到，再由三角形外角的性质即可得到答案；
（2）根据三角形周长计算公式可得的周长，据此可得答案．
【详解】（1）解：的垂直平分线交于点，
，
，
；
（2）解：的周长，
，
，
的周长．
12．（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，连接，由等腰三角形的三线合一性质得出，证明，由全等三角形的性质即可得出．
【详解】证明：连接，如图所示：
，为的中点，
，
在和中，
，
，
．
13．（2023八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
①在上截取， 即为含角的直角三角形，②延长，并在上截取， 即为含45°角的直角三角形．
【详解】解：①为含角的直角三角形，
①为含角的直角三角形．
14．（2023八年级·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点C在上，平分交于点D，点F是线段的中点，连结，请说明的理由．
解：因为平分（已知）
所以______（角平分线的意义）
因为（已知）
所以______（等式性质）
而______（ ）
所以（等量代换）
所以（______）
又因为（线段中点的意义）
所以（______）．
【答案】；；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；等角对等边；等腰三角形的三线合一
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质、角平分线的定义．直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案．
【详解】解：因为平分（已知）
所以（角平分线的意义）
因为（已知）
所以（等式性质）
而（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
所以（等量代换）
所以（等角对等边）
又因为（线段中点的意义）
所以（等腰三角形的三线合一）．
15．（2023八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，E是的中点，．
(1)求证：．
(2)求证：是线段的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论即可．
（1）证即可；
（2）证是等腰三角形，再证即可；
【详解】（1）证明：如图所示：
，，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：是中点，
，
，
∴，
，
∴是等腰三角形
，
，，
，
∴是线段的垂直平分线．中小学教育资源及组卷应用平台
第12讲 等腰三角形
·模块一 等腰三角形的性质
·模块二 等腰三角形的判定
·模块三 课后作业
等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
【考点1 等腰三角形的性质（等边对等角）】
【例1.1】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·山东菏泽·八年级期末）如图， 中， ， ， 点D 在边上， 、交于点F， 若 则的度数是 ．
【例1.3】（2023·四川宜宾·八年级期末）如图，点E在边上，，，．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，点A在的边的延长线上，过点B作，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023八年级·湖南衡阳·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ．
【变式1.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，求的度数．
【考点2 等腰三角形的性质（三线合一）】
【例2.1】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，在中，，，若，则的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【例2.2】（2023八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中，的平分线 交 于点 的平分线交 于点 ，作 于点 ，若 ，则 的长度为 ．
【例2.3】（2023八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，，是的中点，，且，求证：．
【变式2.1】（2023八年级·全国·竞赛）如图，在中，，是边上的高，点E，F，G分别是，，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式2.2】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.3】（2023八年级·北京大兴·期中）把下列证明过程补充完整．
已知：如图，在中，，是边上的中线，于点．
求证：．
证明：，
，
是边上的中线，
（三线合一）．
．
，
，
．
，
．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在等腰中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点E．
(1)若时，求证：；
(2)在点D的运动过程中，若以为其中一腰长的是等腰三角形时，求出此时的度数．
【题型2】（2023八年级·四川绵阳·期末）如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【题型3】（2023八年级·辽宁大连·期中）【问题背景】（1）如图，在中，，点D，E分别在边上，求证：；
【变式迁移】（2）如图，在中，，点D在边上，连接，点F在上，，判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）在（2）的条件下，连接，使，若，求的度数．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，射线交射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若中有两个角相等，若设 ，则度数为 ．
【题型2】（2023八年级·北京·期末）如图，中，，平分交于是上一点，且，求证：．
【题型3】（2023八年级·广西南宁·期末）综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
1等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【考点1 等腰三角形的判定】
【例1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，，则是 三角形．
【例1.2】（2023八年级·广东深圳·期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【例1.3】（2023八年级·北京·期末）如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【变式1.1】（2023八年级·山东烟台·期中）如图，图中等腰三角形的个数为 ．
【变式1.2】（2023八年级·河北廊坊·阶段练习）下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.3】（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，点、分别在、上，，过点作交于，平分．说明．
【考点2 等腰三角形的性质与判定的综合运用】
【例2.1】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在等腰直角三角形中，，外角平分线交延长线于点D，，垂足是E，若周长是8，则线段的长为（ ）
A． B．9 C．8 D．7
【例2.2】（2023·广东佛山·八年级期末）已知：如图，点D在内部，连接．若．求证：．
【例2.3】(2024八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点P为直线上一动点，并沿直线从右向左移动．若点P与三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，则将点P在直线上进行标记，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式2.1】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，则 ．
【变式2.2】（2023八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.3】（2023八年级·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，求证：
【考点3 作等腰三角形】
【例3.1】（2023八年级·吉林·期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3.2】（2023·北京·八年级期末）已知两点A、，若以点A和点为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【例3.3】（2023八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【变式3.1】（2023八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【变式3.2】（2023八年级·河南郑州·期中）如图，直线相交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的度数是 ．
【变式3.3】（2023八年级·北京海淀·期中）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l外取一点A，作射线与直线l交于点B，
②以A为圆心，为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，
③以A为圆心，为半径画弧与线段交于点Q，
则直线即为所求．
根据小王设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵，
∴，
（ⅰ）∵_________，
∴．
∵，，
∴．
（ⅱ）∴（____________________）．（填推理的依据）
即．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·广东茂名·阶段练习）是等腰直角三角形，，是角平分线，．
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)若，求的长．
【题型2】（2023八年级·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，，点是上一点，且，过点分别作，，垂足分别是点，，下列结论：①；②点是的中点；③点是的中点；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型3】（2023八年级·广东广州·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，与直线相交于点D，求证：．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·全国·课后作业）如图，在中，是中线，E为上一点，与相交于点F．若，求证：．
【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期中）如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型3】（2023八年级·江苏徐州·期末）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
1．（2023·辽宁大连·八年级期末）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与相交于点D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八年级·四川宜宾·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八年级·重庆·期中）如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八年级·广东深圳·阶段练习）如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2023·贵州毕节·八年级期末）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2023八年级·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知平分，，则是 三角形．若，则等于 ．
7．（2023八年级·山西临汾·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是 ．
8．（2023八年级·天津武清·期中）如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．
9．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求 ．
10．（2023八年级·辽宁大连·阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ．
11．（2023八年级·山东济南·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点．
(1)若，求的度数
(2)若，，求的周长．
12．（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．
13．（2023八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
14．（2023八年级·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点C在上，平分交于点D，点F是线段的中点，连结，请说明的理由．
解：因为平分（已知）
所以______（角平分线的意义）
因为（已知）
所以______（等式性质）
而______（ ）
所以（等量代换）
所以（______）
又因为（线段中点的意义）
所以（______）．
15．（2023八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，E是的中点，．
(1)求证：．
(2)求证：是线段的垂直平分线．
