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第11讲 画轴对称图形
·模块一 画轴对称图形
·模块二 用坐标表示轴对称
·模块三 课后作业
轴对称图形和轴对称
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
【考点1 画轴对称图形】
【例1.1】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，并且的三个顶点都在格点上．作出关于直线l对称的．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据轴对称的性质求解即可．
【详解】如图所示，即为所求．
【例1.2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，画出关于直线l成轴对称的图．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，首先确定图形中的关键点，点关于的对称点是本身，再分别作点、关于直线的对称点、，最后依次连接所作的对称点，得到相应的图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
【详解】解：即为所求
【例1.3】（2023八年级·全国·课后作业）如图，已知直线m、n，
(1)作出关于直线m对称的；
(2)作出关于直线n对称的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先作出点A、B、C关于直线m的对称点D、E、F，然后顺次连接即可；
（2）先作出点D、E、F关于直线n的对称点P、Q、R，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，即为所求作的三角形．
【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·期末）以虚线为对称轴画出图的另一半．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称的性质得到对应点，顺次连线即可得到轴对称图形．
【详解】解：如图所示．
【点睛】此题考查了轴对称作图，正确理解轴对称的性质是解题的关键．
【变式1.2】（2023八年级·全国·课后作业）如图所示，请画出已知图形关于直线成轴对称的部分．
【答案】见解析
【分析】分别作出各点关于直线对称的点，然后顺次连接即可．
【详解】解：如图即为所作：
【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，熟练掌握做线段垂直平分线的方法，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式1.3】（2023八年级·全国·专题练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．
(1)在图①中，已知线段，，画线段，使它与，组成轴对称图形（要求画出一种符合题意的线段）；
(2)在图②中，找一格点D，满足①到、的距离相等；②到点A、C的距离相等．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
（1）根据轴对称的性质画出线段EF即可；
（2）满足点D到、的距离相等的的点在的平分线上，根据正方形性质取格点即可．
【详解】（1）
（2）
【考点2 轴对称变换的性质】
【例2.1】（2023·湖北武汉·模拟预测）下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到，
C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
故选：B；
【点睛】本题考查轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称．
【例2.2】（2023八年级·北京·期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,根据轴对称图形的概念进行设计即可．
【详解】解：如图所示：
故选：C
【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念．
【例2.3】（2023八年级·江西赣州·期末）如图（1）所示的两种瓷砖．请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形[如示例图（2）]．[要求：分别在图（3），图（4）中各设计一种与示例不同的拼法的轴对称图形]．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查轴对称图形的设计，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行设计图案即可．
【详解】解：如图，图（3）、图（4）即为所求．
【变式2.1】（2023八年级·黑龙江大庆·期末）如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ．
【答案】轴对称（或翻折变换）
【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答．
【详解】解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC．
故答案为：轴对称（或翻折变换）．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键．
【变式2.2】（2023八年级·陕西商洛·期末）下列图形中，不能由其中一部分通过轴对称变换得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义和轴对称变换判断选择即可．
【详解】A、是轴对称图形，∴不符合题意；
B、是轴对称图形，∴不符合题意；
C、 不是轴对称图形，∴符合题意；
D、∵是轴对称图形，∴不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
【变式2.3】（2023八年级·江苏无锡·期末）（1）观察图①~图③中阴影部分的图形，写出这3个图形具有的两个共同特征；
（2）在图④和⑤中，各设计一个与前面不同的图形，使它们也具有（1）中的两个共同特征．
【答案】（1）共同特征：①它们都是轴对称图形．②它们的面积都是8；（2）图形见解析．
【分析】（1）从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积进行分析即可得到答案；
（2）只要根据（1）所得共同特征，画出图形即可得到答案．
【详解】解：（1）共同特征：
①它们都是轴对称图形；
②它们的面积都是8；
（其他答案只要正确，也可以）
（2）图形如下所示：
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·上海浦东新·期末）如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点连接成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D．
【答案】见解析
【分析】本题考查设计轴对称图形，选择的三边垂直平分线或三边所在的直线为对称轴寻找点D即可．
【详解】解：根据题意可知点D有如下情况：(长虚线是对称轴)
共有四个符合条件的点，点即为所求作的点．
【题型2】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，在的正方形网格中已有两个小正方形被涂上阴影，再将图中其余小正方形中任意一个涂上阴影，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形概念，先确定网格的对称轴，在此基础上确定阴影小正方形位置，即可解题．
【详解】解：如图所示：
有5种方法使整个图案构成一个轴对称图形．
故选：C．
【题型3】（2023八年级·全国·阶段练习）如图，在的方格纸上画有两条线段，按下列要求画图．
（1）在图1中画出线段关于所在直线成轴对称的图形；
（2）在图2中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（用粗线画出所有情形）
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）利用轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求，
（2）如图所示，
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·吉林长春·期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1；②所面图中不用标注顶点字母）
(1)在图1中，画出一个与关于直线AC成轴对称的格点三角形．
(2)在图2中，画出一个与关于直线BC成轴对称的格点三角形．
(3)在图3中，画出一个与面积相等且形状不同的格点三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线AC成轴对称图形；
（2）取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线BC成轴对称图形；
（3）在网格中取三个格点，依次连接三点，则三角形的面积与面积相等且形状不同．
【详解】（1）解：取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线AC成轴对称图形，如图：
（2）解：取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线BC成轴对称图形，如图：
（3）解：在网格中取三个格点，依次连接三点，则三角形的面积与面积相等且形状不同，如图：
【题型2】（2023八年级·江苏泰州·阶段练习）作图题：
(1)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）
(2)如图是由个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中个小正方形涂黑，请用种不同的方法分别在图中再将个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查轴对称变换作图，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
（1）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形； 以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，即可解答；
（2）根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出已涂黑小正方形的关键点的对称点，画出图形即可，因为对称轴有很多种，所以图形就有很多种．
【详解】（1）解：如图，先在格点上找出点，，的对称点，，，分别连结，，， 就是关于直线的对称图形．
（2）解：再将个空白的小正方形涂黑，使图案同时也成轴对称的关系，如下图所示．
【题型3】（2023八年级·河北·专题练习）如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．
【详解】解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P．
答案：B．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
用坐标表示轴对称
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）.
【考点1 关于坐标轴对称的点的坐标规律】
【例1.1】（2023八年级·广东梅州·期中）已知点P关于x轴的对称点的坐标是，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质．直接利用关于轴对称点的性质得出点坐标，即可得出答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，
，
则点所在象限是第一象限．
故选：A．
【例1.2】（2023八年级·全国·课堂例题）若点A和点B关于y轴对称，则点A与点B的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】A
【分析】关于y轴对称点的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，得出A点坐标，进而即可求解．
【详解】解：∵点A和点B关于y轴对称，
∴A，
∴A、B两点间的距离为：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出A点坐标是解题关键．
【例1.3】（2023八年级·广西南宁·阶段练习）在一次数学活动中，小华同学先将点关于轴对称得对应点，再将点关于轴对称得对应点，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于，轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】解：点关于轴对称得对应点的坐标为，
点关于轴对称得对应点的坐标为，
故答案为：．
【变式1.1】（2023八年级·广西钦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得点坐标，根据关于轴的对称点在第二象限，可得点在第三象限；根据第三象限内点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标的相反数，可得答案．
【详解】解：点关于轴的对称点在第二象限，得
在第三象限，
由到轴的距离为3，到轴的距离为2，得，
故选：.
【变式1.2】（2023八年级·山东青岛·期末）已知点的坐标为，且点关于轴的对称点为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查关于x轴对称点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，即可得解．
【详解】解：∵点关于轴的对称点为，
∴，
解得：，
∴，，
∴点P的坐标为，
故选：A．
【变式1.3】（2023八年级·山东烟台·期末）已知点和关于轴对称，则值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，便可求解．
【详解】解：点和关于x轴对称．
∴，，
解得：，，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查坐标点关于x轴和y轴对称的特点，关键在于理解两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，属于基础题 ．
【考点2 图形关于坐标轴对称】
【例2.1】（2023八年级·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)点A关于轴对称的点的坐标是________．
【答案】(1)图见详解，
(2)
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据图形直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，
，
为求作的，的坐标为；
（2）解∶ ，
点A关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
【例2.2】（2023八年级·河南南阳·期中）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键．
根据关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，点A和点B关于y轴对称
∵点A的坐标为
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【例2.3】（2023八年级·江西上饶·阶段练习）如图，将一个标准的五角星放置在平面直角坐标系中，点A恰好在y轴上，与x轴互相平行，若点B的坐标为，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，根据五角星是轴对称图形，根据点坐标，求出点坐标，根据，求出的长即可．
【详解】解：由题意，得：两点关于轴对称，，
∵点B的坐标为，
∴点的坐标为，
∴；
故选B．
【变式2.1】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内完善平面直角坐标系；
(2)点B坐标是______，点坐标是______；
(3)求的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)4
【分析】本题考查坐标与轴对称，正确的画出坐标系，掌握轴对称的性质，是解题的关键．
（1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，进而画出坐标系即可；
（2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可；
（3）分割法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）由图可知，与关于轴对称，
点；
（3）的面积为．
【变式2.2】（2023八年级·吉林辽源·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，交轴于点，关于直线对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化轴对称，根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得出点和点是关于直线对称的对应点，它们到的距离相等是2个单位长度，
所以点的坐标是，即．
故答案为：．
【变式2.3】（2023八年级·河南驻马店·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化-轴对称，二元一次方程组等知识，利用关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标为相反数，构建方程组，求出，，可得结论．
【详解】解：点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，
，
解得，
，
故答案为：．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·内蒙古呼和浩特·期中）课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点的坐标为，另一个顶点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关于轴对称点的坐标特征，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
根据余角的性质，得到，根据全等三角形的判定与性质，得到，，由此得到答案．
【详解】如图，作轴，轴，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点关于轴对称点的坐标为：．
故答案为：．
【题型2】（2023八年级·山东淄博·期中）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题．先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
【详解】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为，
点关于A点对称的点的坐标为，
点关于B点对称的点的坐标为，
点关于C点对称的点的坐标为，
点关于A点对称的点的坐标为，
点关于B点对称的点的坐标为，
点关于C点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴，
∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为．
故答案为：．
【题型3】（2023八年级·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中．对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是 ．
【答案】
【分析】由图可知，每经过4次变换，点回到原来的位置，用，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：每经过4次变换，点回到原来的位置，
∵，
∴点坐标与第2次图形中的坐标相同，
∵原来点A坐标是，第1次变换后，变为，第2次变换后，变为；
∴经过第2022次变换后所得的A点坐标是；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与轴对称，点的坐标规律探究，解题的关键是得到每经过4次变换，点回到原来的位置．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河南商丘·期末）若将点向上平移个单位长度得到点，点关于轴的对称点坐标仍是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查关于轴对称的点坐标，平移的坐标变化，解题的关键是根据平移坐标的变化规律以及关于轴对称的两点坐标的关系进行解答即可．点坐标平移规律：左右平移→左减右加纵不变；上下平移→上加下减横不变；点坐标关于坐标轴对称的规律： 关于轴对称的点的坐标的特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标的特征是纵坐标不变， 横坐标互为相反数．
【详解】解：∵将点向上平移个单位长度得到点，
∴点的坐标为，
∴点关于轴的对称点坐标，
∵点与点为同一点，
∴，
解得：．
故答案为：．
【题型2】（2023八年级·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点在轴上．若，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是熟知轴对称的性质．据此解答即可．
【详解】解：∵点，点，
∴点关于直线的对称点为，
连接，则，
∵点，点，
∴点、关于轴对称，
∴点、点关于y轴的对称点为和，
∴若点为或时，，
∴若，则点的坐标为或．
故答案为：或．
【题型3】（2023八年级·江西上饶·期末）已知关于轴对称，，若在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4，则点的坐标为 ．
【答案】或或或
【分析】本题主要考查轴对称及图形与坐标，熟练掌握轴对称及图形与坐标是解题的关键；由题意易得点B的坐标为，然后根据的面积等于4分类进行求解即可．
【详解】解：∵关于轴对称，，
∴点B的坐标为，
∵在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4，
∴当点在x轴上时，则有，即，
此时点C的坐标为或；
当点在y轴上时，则有，即，
此时点C的坐标为或；
综上所述：当在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4，则点的坐标为或或或；
故答案为：或或或．
1．（2023八年级·吉林松原·期末）下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
此题考查了利用轴对称变换作图，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质即可求解．
【详解】
∵A，B关于直线l对称，
∴直线l垂直平分线段，
故选项C符合题意，
故选：C．
2．（2023·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，某个图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数，此时图形却未发生任何改变．下列说法正确的是（ ）
A．该图形是轴对称图形且关于y轴对称
B．该图形是轴对称图形且关于x轴对称
C．该图形是中心对称图形且关于原点中心对称
D．该图形是任意图形均可
【答案】A
【分析】本题考查了对关于y轴的对称图形的性质的理解，关键是掌握点的坐标的变化特点．根据关于y轴的对称图形可得答案．
【详解】解：图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为相反数，图形就关于y轴对称．
故选：A．
3．（2023八年级·全国·竞赛）将一块正方形纸片分成四块，要求这四块大小相等、形状一样，则分的方法共有（ ）．
A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称，根据正方形的性质得出只要这两条直线过正方形中心且互相垂直即可，从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：只是要求分成形状、大小都相同的四个部分，没有要求具体什么图形，
只要这两条直线过正方形中心且互相垂直即可，故有无数种，
故选：D．
4．（2023·福建泉州·模拟预测）已知点，则P点关于x轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：点关于x轴对称点的坐标是．
故选A．
5．（2023·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，将点向左平移个单位，得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了坐标与图形，平移的性质以及轴对称的性质，根据轴对称的性质，求出的值，点的坐标，最后由平移的性质求解即可，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴点，
则点向左平移个单位，得到的点的坐标为，
故选：．
6．（2023八年级·广东韶关·期中）已知点关于轴对称的点在第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点关于轴对称，各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，先判断出点在第二象限，再根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式，然后求解即可，解题的关键熟练掌握关于轴对称，不变，互为相反数及记住各象限内点的坐标的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】∵点关于轴对称的点在第三象限，
∴点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．（2023八年级·内蒙古通辽·期中）已知点A关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，那么 ．
【答案】
【分析】
此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，代数式求值，分别利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，表示出A点坐标，进而得出m，n的值．
【详解】解：点A关于x轴的对称点为，
点的坐标为，
点A关于y轴的对称点为，
点的坐标为，
，，
，
故答案为：．
8．（2023八年级·全国·课后作业）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子，，的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子，使，，，四颗棋子连线后成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子的坐标： ．
【答案】，，，
【分析】根据A，B，O，C的位置，结合轴对称图形的性质，进而画出对称轴即可．
【详解】解：如图所示，
当棋子的坐标为时，，，，四颗棋子连线后成为一个轴对称图形，直线是对称轴；当棋子的坐标为时，直线是对称轴；当棋子的坐标为时，轴是对称轴；当棋子的坐标为时，直线是对称轴，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键．
9．（2023八年级·山东聊城·期末）在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点，关于直线成轴对称，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了对称的特点，根据题意，得，，代入计算即可．
【详解】根据题意，得，，
解得，，
故，
故答案为：6．
10．（2023八年级·广西来宾·期末）如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个．
【答案】
【分析】利用轴对称图形的定义作出轴对称图形后即可确定轴对称图形的个数．
【详解】解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为：
故答案为：3．
【点睛】考查了轴对称图形的知识，解题的关键是了解轴对称图形的定义，难度不大．
11．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)作出关于y轴对称的三角形；
(2)经过的一个顶点及一边上的格点做一条直线，将三角形分成两个图形，使其中一个图形是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称的定义，按照题意要求画图即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求
（2）解：如图：直线将分成两个图形，其中是轴对称图形．
12．（2023八年级·全国·专题练面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)若与关于轴对称，作出，并写出的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)画图见解析，
(2)12
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求，
其中，；
（2）．
13．（2023八年级·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按下面要求完成画图．
(1)在图①中画一个，使点C在格点上，为轴对称图形；
(2)在图②中画一个与成轴对称，且顶点都在格点上的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以为腰，作等腰三角形即可．
（2）作以为对角线的正方形即可．
【详解】（1）如图①，即为所求．
（2）如图②，即为所求．
【点睛】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
14．（2023八年级·甘肃张掖·期中）如图所示：
(1)画出关于y轴对称的图形；
(2)写出三个顶点的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)，，
【分析】本题考查作图的轴对称变换，点的坐标，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，
（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；．
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求
（2）三个顶点的坐标为：，，．
15．（2023八年级·陕西汉中·期末）如图，在的正方形网格中，有格点和，且和关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的及其对称轴MN．
【答案】见解析
【分析】根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
【详解】如图所示；
【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则.中小学教育资源及组卷应用平台
第11讲 画轴对称图形
·模块一 画轴对称图形
·模块二 用坐标表示轴对称
·模块三 课后作业
轴对称图形和轴对称
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
【考点1 画轴对称图形】
【例1.1】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，并且的三个顶点都在格点上．作出关于直线l对称的．
【例1.2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，画出关于直线l成轴对称的图．
【例1.3】（2023八年级·全国·课后作业）如图，已知直线m、n，
(1)作出关于直线m对称的；
(2)作出关于直线n对称的．
【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·期末）以虚线为对称轴画出图的另一半．
【变式1.2】（2023八年级·全国·课后作业）如图所示，请画出已知图形关于直线成轴对称的部分．
【变式1.3】（2023八年级·全国·专题练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．
(1)在图①中，已知线段，，画线段，使它与，组成轴对称图形（要求画出一种符合题意的线段）；
(2)在图②中，找一格点D，满足①到、的距离相等；②到点A、C的距离相等．
【考点2 轴对称变换的性质】
【例2.1】（2023·湖北武汉·模拟预测）下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2023八年级·北京·期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2.3】（2023八年级·江西赣州·期末）如图（1）所示的两种瓷砖．请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形[如示例图（2）]．[要求：分别在图（3），图（4）中各设计一种与示例不同的拼法的轴对称图形]．
【变式2.1】（2023八年级·黑龙江大庆·期末）如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ．
【变式2.2】（2023八年级·陕西商洛·期末）下列图形中，不能由其中一部分通过轴对称变换得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】（2023八年级·江苏无锡·期末）（1）观察图①~图③中阴影部分的图形，写出这3个图形具有的两个共同特征；
（2）在图④和⑤中，各设计一个与前面不同的图形，使它们也具有（1）中的两个共同特征．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·上海浦东新·期末）如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点连接成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D．
【题型2】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，在的正方形网格中已有两个小正方形被涂上阴影，再将图中其余小正方形中任意一个涂上阴影，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【题型3】（2023八年级·全国·阶段练习）如图，在的方格纸上画有两条线段，按下列要求画图．
（1）在图1中画出线段关于所在直线成轴对称的图形；
（2）在图2中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（用粗线画出所有情形）
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·吉林长春·期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1；②所面图中不用标注顶点字母）
(1)在图1中，画出一个与关于直线AC成轴对称的格点三角形．
(2)在图2中，画出一个与关于直线BC成轴对称的格点三角形．
(3)在图3中，画出一个与面积相等且形状不同的格点三角形．
【题型2】（2023八年级·江苏泰州·阶段练习）作图题：
(1)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）
(2)如图是由个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中个小正方形涂黑，请用种不同的方法分别在图中再将个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．
【题型3】（2023八年级·河北·专题练习）如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
用坐标表示轴对称
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）.
【考点1 关于坐标轴对称的点的坐标规律】
【例1.1】（2023八年级·广东梅州·期中）已知点P关于x轴的对称点的坐标是，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例1.2】（2023八年级·全国·课堂例题）若点A和点B关于y轴对称，则点A与点B的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【例1.3】（2023八年级·广西南宁·阶段练习）在一次数学活动中，小华同学先将点关于轴对称得对应点，再将点关于轴对称得对应点，则点坐标为 ．
【变式1.1】（2023八年级·广西钦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为 ．
【变式1.2】（2023八年级·山东青岛·期末）已知点的坐标为，且点关于轴的对称点为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】（2023八年级·山东烟台·期末）已知点和关于轴对称，则值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【考点2 图形关于坐标轴对称】
【例2.1】（2023八年级·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)点A关于轴对称的点的坐标是________．
【例2.2】（2023八年级·河南南阳·期中）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．
【例2.3】（2023八年级·江西上饶·阶段练习）如图，将一个标准的五角星放置在平面直角坐标系中，点A恰好在y轴上，与x轴互相平行，若点B的坐标为，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2.1】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内完善平面直角坐标系；
(2)点B坐标是______，点坐标是______；
(3)求的面积．
【变式2.2】（2023八年级·吉林辽源·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，交轴于点，关于直线对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【变式2.3】（2023八年级·河南驻马店·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则的值为 ．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·内蒙古呼和浩特·期中）课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点的坐标为，另一个顶点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标为 ．
【题型2】（2023八年级·山东淄博·期中）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ．
【题型3】（2023八年级·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中．对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河南商丘·期末）若将点向上平移个单位长度得到点，点关于轴的对称点坐标仍是，则 ．
【题型2】（2023八年级·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点在轴上．若，则点的坐标为 ．
【题型3】（2023八年级·江西上饶·期末）已知关于轴对称，，若在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4，则点的坐标为 ．
1．（2023八年级·吉林松原·期末）下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，某个图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数，此时图形却未发生任何改变．下列说法正确的是（ ）
A．该图形是轴对称图形且关于y轴对称
B．该图形是轴对称图形且关于x轴对称
C．该图形是中心对称图形且关于原点中心对称
D．该图形是任意图形均可
3．（2023八年级·全国·竞赛）将一块正方形纸片分成四块，要求这四块大小相等、形状一样，则分的方法共有（ ）．
A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种
4．（2023·福建泉州·模拟预测）已知点，则P点关于x轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，将点向左平移个单位，得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八年级·广东韶关·期中）已知点关于轴对称的点在第三象限，则的取值范围是 ．
7．（2023八年级·内蒙古通辽·期中）已知点A关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，那么 ．
8．（2023八年级·全国·课后作业）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子，，的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子，使，，，四颗棋子连线后成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子的坐标： ．
9．（2023八年级·山东聊城·期末）在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点，关于直线成轴对称，则 ．
10．（2023八年级·广西来宾·期末）如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个．
11．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)作出关于y轴对称的三角形；
(2)经过的一个顶点及一边上的格点做一条直线，将三角形分成两个图形，使其中一个图形是轴对称图形．
12．（2023八年级·全国·专题练面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)若与关于轴对称，作出，并写出的坐标；
(2)求的面积．
13．（2023八年级·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按下面要求完成画图．
(1)在图①中画一个，使点C在格点上，为轴对称图形；
(2)在图②中画一个与成轴对称，且顶点都在格点上的．
14．（2023八年级·甘肃张掖·期中）如图所示：
(1)画出关于y轴对称的图形；
(2)写出三个顶点的坐标．
15．（2023八年级·陕西汉中·期末）如图，在的正方形网格中，有格点和，且和关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的及其对称轴MN．
