中小学教育资源及组卷应用平台
第13讲 等边三角形
·模块一 等边三角形的性质与判定
·模块二 含30°角的直角三角形的性质
·模块三 课后作业
等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
【考点1 等边三角形的性质】
【例1.1】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，可得出．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴是的平分线，
∴，
故答案为：．
【例1.2】（2023八年级·辽宁朝阳·期中）如图，、是等边的边和边上的点，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，根据条件先可以得出，由全等三角形的性质就可以得出．由，就可以得出．
【详解】解：是等边三角形，
，．
在和中，
，
，
．
，
．
．
．
故选：C．
【例1.3】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）如图，等边和，其中，点D在上，点C在上．若，则的度数为
【答案】75
【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的特征、三角形内角和定理，与的交于点，根据等边三角形得，则可得，再利用直角三角形的特征得，根据即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图，与的交于点，
三角形是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：75．
【变式1.1】（2023·甘肃金昌·八年级期末）如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了与角平分线线有关的内角和计算以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，再根据等边对等角得出，利用三角形内角和可得出，最后利用角的和差关系即可得出的度数．
【详解】解：∵是等边三角形，为角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1.2】（2023·广东湛江·八年级期末）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长．
【答案】4
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，再由线段之间的关系求出即可得到答案．
【详解】解：都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式1.3】（2023八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，线段、相交于点，，以为边作等边，点位于四边形内部，连接，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由等边三角形的性质得到，则；
（2）利用证明，得到，进而证明，据此可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【考点2 等边三角形的判定】
【例2.1】（2023八年级·河北廊坊·阶段练习）下列条件不能判定是等边三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴是等边三角形，故A选项不符合题意；
B．∵，
∴是等边三角形，故B选项不符合题意；
C．∵，，
∴是等边三角形，故A选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B=2∠C，，
∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
【例2.2】（2023八年级·江西景德镇·期中）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定，解题的关键是掌“等角对等边”，以及三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．
根据得出，结合等边三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：①当时，
∵，
∴，
∴，即是等边三角形；
②当时，
∵，
∴，即是等边三角形；
③当时，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
故答案为：（答案不唯一）．
【例2.3】（2023八年级·四川绵阳·期末）如图，点D在线段上，，．
(1)求证：；
(2)判断是什么特殊三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，见解析
【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，证明是解答本题的关键．
（1）先证明，然后根据可证；
（2）由全等三角形的性质得，结合可证是等边三角形．
【详解】（1）∵，
，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）答：是等边三角形．
理由：∵
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
【变式2.1】（2023八年级·贵州黔西·期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据等边三角形的判定解决问题即可．
【详解】解：选项A中，，，
是等边三角形．
其余选项，都没有满足满足条件的等边三角形存在．
故选：A．
【变式2.2】（2023八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．
【答案】等边
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形．
【详解】解：∵中，，，于点，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴为等边三角形．
故答案为：等边．
【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点E、D，连接．求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，先利用等边对等角求出，根据垂直平分线的性质和等边对等角得到，，进一步即可得到结论，
【详解】证明：∵，
∴，
∵边的垂直平分线分别交于点E、D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·山东临沂·期中）如图，，，点E为的中点，若，，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，如图所示，延长交于F，证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，则．
【详解】解：如图所示，延长交于F，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：3．
【题型2】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的的判定与性质、等边三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．在上截取，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，再利用全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在上截取，连接，如图所示，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型3】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，在中，，点D从点A出发以的速度向点运动，同时点E从点C出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，问当为何值时，为等边三角形．
【答案】当为2时，为等边三角形
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．
根据等边三角形的性质列出方程求出的值．
【详解】解：根据题意可得，，
，
，
，为等边三角形，
，
，
，
当为2时，为等边三角形．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·山西晋中·期中）已知M是等边三角形的边上的点.
(1)如图①，过点M作，且交边于点N，求证：；
(2)如图②，在图13-①的基础上连接，过点M作，与的外角的平分线交于点H．
①若，则______；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①15；②见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得，，根据等角对等边可得；
（2）①由题意求出，再利用三角形外角性质计算即可；
②由为等边三角形得到，，从而得到，再由，，则问题可证
【详解】（1）证明：由题意得：
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）（2）①∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：15；
②∵为等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵是外角平分线，
∴，
∴，
∵
∴
∴
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
在和中 ，
，
∴ ．
【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和，平行线的性质等知识点，先证明，得出，由可得，结合即可求出，进而得出，是等边三角形，再根据三角形的内角和即可解答，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【题型3】（2023八年级·山东青岛·期中）如图，已知，以为边构造等边，连接，在上取一点，使，在上取一点，使，连接．
(1)求证：；
(2)，，三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）先证明是等边三角形，根据性质得，再通过证明三角形全等即可；
（）由全等三角形的性质即可证明；
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：结论：．
理由：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【考点1 含30°角的直角三角形的性质】
【例1.1】（2023八年级·江西九江·期中）如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，得到，，则可求出，进而得到，则．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【例1.2】（2023八年级·重庆江津·期中）如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）证明，可得，设，可得，得出，解得，则可求出；
（2）由直角三角形的性质可得，，则结论可得出．
【详解】（1）解： 点是边的中点，，
，，
，
，
，
设，
∵，
，
，
，
，
，
，解得，
；
（2）解：，，
，
，
．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键．
【例1.3】（2023八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键．延长交于点E，利用等角对等边得，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：延长交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：5．
【变式1.1】（2023八年级·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质：
（1）证明，即可证明；
（2）由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，则．
【详解】（1）证明：∵，D，E分别在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1.2】（2023八年级·广西桂林·期中）如图，在中，，，的平分线交于，于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”、含30度角的直角三角形的性质，根据角平分线的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合，求出的长即可，熟练掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵的平分线交于，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接．构造特殊直角三角形解决问题即可．
【详解】解：如图，连接．
与关于对称，
，，
，
，
，
．
故答案为：3．
【考点2 含30°角的直角三角形的性质的应用】
【例2.1】（2023八年级·湖南永州·期中）如图，为了测量某大树的高度，现选取两个测量点A和B（点A，B，C在一条水平直线上），测得，．如果测得A，B两点的距离为m，那么大树高 ．
【答案】m
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半；根据题意推出，进而可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
故答案为：m．
【例2.2】（2023·贵州黔南·一模）如图1，是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，垂直于所在水平地面，，，，．
(1)求的度数；
(2)求点到地面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查四边形内角和以及含30度角直角三角形的性质．
（1）根据四边形内角和为即可求解；
（2）过点B作于点E，求得，可得的长和的长，再证明，可得的长度即为点到地面的距离，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
（2）如图，过点B作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴的长度即为点到地面的距离，
∴点到地面的距离为．
【例2.3】（2023八年级·重庆璧山·期末）上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，．
(1)求从海岛到灯塔的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？
【答案】(1)30海里
(2)上午11时
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握各性质是解决本题的关键．
（1）根据三角形外角的性质求出，得到，则，求出即可；
（2）如图，过点C作于点P，根据垂线段最短可知线段的长为小船与灯塔C的最短距离，求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再计算得出从B到P的时间即可．
【详解】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P，
根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，，
∵，
∴，
∴在中，（海里），
∵，
．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【变式2.1】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．”请应用该性质，解决下列问题：
学校有一块三角形的绿地，，，求绿地的面积？
【答案】绿地的面积是
【分析】过A作交于点D，根据三角形内外角关系得到，即可得到，即可得到答案；
【详解】解：过A作交于点D，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：绿地的面积是；
【点睛】本题考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出辅助线．
【变式2.2】（2023八年级·河南商丘·阶段练习）郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：）．当双翼收回进闸机箱内时：
(1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机；
A．“”的面 B．“”的面
(2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机．
【答案】(1)B
(2)可以通过，说明见解析
【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（1）根据推着较窄一面向前更容易通过闸机，即可得出结论；
（2）过点A作于点E，过点B作于点F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机．
【详解】（1）解：，
推着“”向前更容易通过闸机，
故选：B；
（2）解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F．
∵，，
∴，．
当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度为．
∵，
∴当旅客推着“”的面向前时，可以通过闸机．
【变式2.3】（2023八年级·福建厦门·期中）新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图是某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心到地面的距离．在荡秋千过程中（秋千的长度始终保持不变），当秋千摆动到最高点时，测得点到地面的距离，；当从处摆动到处时，有．
(1)求荡秋到地面的最小距离；
(2)求到的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质 ，准确识图，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键；
（1）先在中求出，即可求出，然后求出即可；
（2）过作于M，先求出，然后利用含的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
又，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴
即荡秋到地面的最小距离为；
（2）解：过作于M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即到的距离为．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·广东惠州·八年级期末）【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．
(1)证明： ；
(2)当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质；
（1）本题考查了全等三角形的性质与判定；
（2）根据题意得出为直角三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据即可求解．
【详解】（1）解： 平分，
，
， ，
，
．
（2）， ，
为等边三角形，
为直角三角形，
答：发射中心向下滑动的距离是．
【题型2】（2023八年级·辽宁鞍山·期中）如图，是等边三角形，点D为边上一点，，垂足为E，过D作交于点F，连接，若，求的边长．
【答案】的边长是3．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先求出，进而得到，再证明是等边三角形得到，进一步证明，得到，求出，得到，则，据此可得答案．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为3．
【题型3】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（P不与A，C重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（Q不与B重合）．连接交于点D．当时，求的长．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形的性质得到，设，则，．当时，则，由此可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵是边长为6的等边三角形，
∴．
设，则，．
当时，则．
∴（在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．），
∴，
解得，
∴的长为2．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，，若点Q在直线上，，则的长为 ．
【答案】2或4
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．分为点Q在线段上和Q在线段的延长线上两种情况；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得的长度．
【详解】解：∵，，
∴，，
①点Q在线段上，
∵，，
∴，
∴；
②点在线段的延长线上，
∵，，
∴，
∴，
综上，的长为2或4．
故答案为：2或4．
【题型2】（2023八年级·广东湛江·期末）如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．
(1)当__________时，；
(2)请添加一个条件：__________，使得为等边三角形；
(3)在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：；
【答案】(1)30
(2)
(3)见解析
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识
（1）根据含角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定解答；
（3）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
【详解】（1）解：当时，
，
；
故答案为：30；
（2）解：添加一个条件，
∵，
∴为等边三角形；
故答案为：；
（3）解：如图1中，
与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
故．
【题型3】（2023八年级·甘肃白银·期中）如图，在中，，点D在内，，点E在外，．
(1)求的度数；
(2)判断的形状并加以证明；
(3)连接，若，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)等边三角形，见解析
(3)5
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）先证明是等边三角形，推出，再证明推出即可解答；
（2）先证明，然后根据全等三角形的性质及等边三角形的判定即可解答．
（3）先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，再根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：结论：是等边三角形．理由如下：
∵，
∴，
在和中，，
∴，
，
，
∴是等边三角形．
（3）解：如图：连接．
，，
，
，，
，
，
∵，
．
1．（2023八年级·四川泸州·期末）已知直角三角形角所对的直角边长为5，则斜边的长为（ ）
A．5 B．10 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形中有一个角等于，它所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】因为直角三角形所对的直角边为5，
所以斜边长为．
故选：B．
2．（2023八年级·湖北恩施·期末）如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，是等边三角形可得AC=BA=BC，BD=BE，，可得出，即，可得，由全等三角形的性质得AD=CE=3，则BC=AC=AD+CD，即可解题．
【详解】解：∵，是等边三角形，
∴AC=BA=BC，BD=BE，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴AD=CE=3，
∴BC=AC=AD+CD=3+1=4．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键．
3．（2023八年级·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B恰好落在边上的点M处，若，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
根据折叠的性质可得、，再证是等边三角形，进而得到；然后再证可得，根据角所对的直角边是斜边的一半可得，进而得到，最后根据角所对的直角边是斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵将沿折叠，点B恰好落在边上的点M处，
∴,
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∵在中，，，
∴．
故选D．
4．（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，等边三角形纸片的边长为6，点E，F是边上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明是等边三角形．
由是等边三角形，得到，由平行线的性质得到，，即可推出是等边三角形，得到的周长．
【详解】解：点，是边上的三等分点，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
的周长．
故选：C．
5．（2023八年级·山东潍坊·期末）如图所示，在等边中，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，证明，则，利用等边三角形的性质得到，利用三角形内角和得到，利用三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．（2023八年级·广西梧州·期末）如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路（B，C为小路的两端点）和一棵小树（A为小树位置），测得相关数据为，，，则 m．
【答案】50
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；
证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：50．
7．（2023八年级·湖北武汉·期末）已知一个三角形的三个内角的比是，最短边为5cm，则最长边是 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了30度所对的直角边是斜边的一半，三角形内角和性质，先根据三个内角的比是，求出每个角的度数，得出这个三角形是直角三角形，再结合30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角的比是
∴
∵最短边为5cm，
∴30度所对的直角边是5cm
∴最长边是斜边，即为10cm
故答案为：10．
8．（2023八年级·山西太原·期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ．
【答案】20
【分析】
此题考查等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键；
根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行分析解答即可．
【详解】连接，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：20．
9．（2023八年级·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．
【答案】/150度
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内外角关系，根据等边三角形得到，结合平角及三角形内外角关系求解即可得到答案；
【详解】解析：和是两个等边三角形，
∴，
在中，，
，，
，
∵，，，
．
10．（2023八年级·河南信阳·期末）如图，，平分，且，．的长是 ，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 个．
【答案】 1 无数
【分析】（1）先在中，证明，再利用角所对直角边是斜边的一半即可得答案；
（2）先作辅助线，再利用三角形全等证明只要，就是等边三角形，这样就得到满足条件的三角形有无数个
【详解】（1）∵，平分
∴
∴
又∵
∴
故填：1
（2）解：如图在、上截取，作．
∵平分，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴只要，就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故答案为：无数．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上判定和性质是解题的关键．
11．（2023八年级·吉林松原·期末）如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】证明即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定方法是解本题的关键．
12．（2023八年级·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3cm，求BC的长．
【答案】9
【分析】在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B＝∠C＝30°，由AD⊥AC，∠C＝30°，得出CD＝2AD＝6，再证明∠BAD＝∠B＝30°，那么AD＝DB＝3，于是BC＝CD+BD＝9．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠BAC＝120°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝30°．
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°．
∴DC＝2AD，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°．
∴∠BAD＝∠B．
∴BD＝AD＝3．
∴BC＝BD+DC＝3BD＝9．
故答案为9．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．同时考查了等腰三角形的判定与性质．
13．（2023八年级·北京房山·期末）王宇同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．
下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）．
已知一条线段AB，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段AB上方），作的角平分线交AB与D．
由作图可知
∴是______三角形
∴（______）
∵CD平分
∴CD垂直平分AB（______）
∴，
又∵
即在中，，，则．
【答案】图见解析，等边；等边三角形每个角都是60°；等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合
【分析】根据题意作图即可解答．
【详解】解：如图所示：
∴是等边三角形，
∴（等边三角形每个角都是60°）
∵CD平分，
∴CD垂直平分AB（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合）．
【点睛】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定．
14．（2023八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：于点，于点，
，
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：由（1）知，是等边三角形，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15．（2023八年级·四川达州·期末）在边长为的等边三角形中，点是上一动点，以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒．
(1)如图，若点是上一定点，，，求的值；
(2)如图，若点从点向点运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，据此列方程求解即可；
（2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，
，，
又∵，
，
是等边三角形，
，
由题意可知：，则，
，解得：，
当的值为时，；
（2）解：如图：①当点在边上时，
此时不可能为等边三角形；
②当点在边上时，
若为等边三角形，则，
由题意可知，，，
，即：，解得：，
当时，为等边三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
第13讲 等边三角形
·模块一 等边三角形的性质与判定
·模块二 含30°角的直角三角形的性质
·模块三 课后作业
等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
【考点1 等边三角形的性质】
【例1.1】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ．
【例1.2】（2023八年级·辽宁朝阳·期中）如图，、是等边的边和边上的点，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）如图，等边和，其中，点D在上，点C在上．若，则的度数为
【变式1.1】（2023·甘肃金昌·八年级期末）如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023·广东湛江·八年级期末）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长．
【变式1.3】（2023八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，线段、相交于点，，以为边作等边，点位于四边形内部，连接，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【考点2 等边三角形的判定】
【例2.1】（2023八年级·河北廊坊·阶段练习）下列条件不能判定是等边三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
【例2.2】（2023八年级·江西景德镇·期中）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
【例2.3】（2023八年级·四川绵阳·期末）如图，点D在线段上，，．
(1)求证：；
(2)判断是什么特殊三角形，并说明理由．
【变式2.1】（2023八年级·贵州黔西·期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】（2023八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．
【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点E、D，连接．求证：是等边三角形．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·山东临沂·期中）如图，，，点E为的中点，若，，，则的长为 ．
【题型2】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为 ．
【题型3】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，在中，，点D从点A出发以的速度向点运动，同时点E从点C出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，问当为何值时，为等边三角形．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·山西晋中·期中）已知M是等边三角形的边上的点.
(1)如图①，过点M作，且交边于点N，求证：；
(2)如图②，在图13-①的基础上连接，过点M作，与的外角的平分线交于点H．
①若，则______；
②求证：．
【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】（2023八年级·山东青岛·期中）如图，已知，以为边构造等边，连接，在上取一点，使，在上取一点，使，连接．
(1)求证：；
(2)，，三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由．
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【考点1 含30°角的直角三角形的性质】
【例1.1】（2023八年级·江西九江·期中）如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023八年级·重庆江津·期中）如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【例1.3】（2023八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．
【变式1.1】（2023八年级·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求．
【变式1.2】（2023八年级·广西桂林·期中）如图，在中，，，的平分线交于，于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
【考点2 含30°角的直角三角形的性质的应用】
【例2.1】（2023八年级·湖南永州·期中）如图，为了测量某大树的高度，现选取两个测量点A和B（点A，B，C在一条水平直线上），测得，．如果测得A，B两点的距离为m，那么大树高 ．
【例2.2】（2023·贵州黔南·一模）如图1，是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，垂直于所在水平地面，，，，．
(1)求的度数；
(2)求点到地面的距离．
【例2.3】（2023八年级·重庆璧山·期末）上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，．
(1)求从海岛到灯塔的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？
【变式2.1】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．”请应用该性质，解决下列问题：
学校有一块三角形的绿地，，，求绿地的面积？
【变式2.2】（2023八年级·河南商丘·阶段练习）郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：）．当双翼收回进闸机箱内时：
(1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机；
A．“”的面 B．“”的面
(2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机．
【变式2.3】（2023八年级·福建厦门·期中）新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图是某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心到地面的距离．在荡秋千过程中（秋千的长度始终保持不变），当秋千摆动到最高点时，测得点到地面的距离，；当从处摆动到处时，有．
(1)求荡秋到地面的最小距离；
(2)求到的距离．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·广东惠州·八年级期末）【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．
(1)证明： ；
(2)当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
【题型2】（2023八年级·辽宁鞍山·期中）如图，是等边三角形，点D为边上一点，，垂足为E，过D作交于点F，连接，若，求的边长．
【题型3】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（P不与A，C重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（Q不与B重合）．连接交于点D．当时，求的长．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，，若点Q在直线上，，则的长为 ．
【题型2】（2023八年级·广东湛江·期末）如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．
(1)当__________时，；
(2)请添加一个条件：__________，使得为等边三角形；
(3)在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：；
【题型3】（2023八年级·甘肃白银·期中）如图，在中，，点D在内，，点E在外，．
(1)求的度数；
(2)判断的形状并加以证明；
(3)连接，若，直接写出的长．
1．（2023八年级·四川泸州·期末）已知直角三角形角所对的直角边长为5，则斜边的长为（ ）
A．5 B．10 C．8 D．12
2．（2023八年级·湖北恩施·期末）如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八年级·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B恰好落在边上的点M处，若，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
4．（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，等边三角形纸片的边长为6，点E，F是边上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2023八年级·山东潍坊·期末）如图所示，在等边中，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八年级·广西梧州·期末）如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路（B，C为小路的两端点）和一棵小树（A为小树位置），测得相关数据为，，，则 m．
7．（2023八年级·湖北武汉·期末）已知一个三角形的三个内角的比是，最短边为5cm，则最长边是 cm．
8．（2023八年级·山西太原·期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ．
9．（2023八年级·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．
10．（2023八年级·河南信阳·期末）如图，，平分，且，．的长是 ，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 个．
11．（2023八年级·吉林松原·期末）如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．
12．（2023八年级·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3cm，求BC的长．
13．（2023八年级·北京房山·期末）王宇同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．
下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）．
已知一条线段AB，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段AB上方），作的角平分线交AB与D．
由作图可知
∴是______三角形
∴（______）
∵CD平分
∴CD垂直平分AB（______）
∴，
又∵
即在中，，，则．
14．（2023八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
15．（2023八年级·四川达州·期末）在边长为的等边三角形中，点是上一动点，以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒．
(1)如图，若点是上一定点，，，求的值；
(2)如图，若点从点向点运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
