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第14讲 等腰三角形中的分类讨论思想
·模块一 腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论
·模块二 钝角与锐角不明时需分类讨论
·模块三 画等腰三角形时的分类讨论
·模块四 由图形运动产生的分类讨论
·模块五 课后作业
方法点睛：
先分不同情况画出图形，再进行计算，当不明确腰和底时，还要利用三角形三边关系进行检验.
【例1.1】（2023八年级·湖南·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【例1.2】（2023八年级·江西萍乡·期中）一个等腰三角形的周长为20，一边为5，则另两边的长为（ ）
A．7.5，7.5 B．5，10或7.5，7.5 C．10，5 D．10，15
【例1.3】（2023八年级·河南周口·期中）一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1.1】（2023八年级·海南省直辖县级单位·阶段练习）若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7或8
【变式1.2】（2023八年级·江苏·期末）等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）．
A． B． C． D．或
【变式1.3】（2023八年级·广西百色·期中）已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为 ．
方法点睛：
此类题目一般与三角形的高相联系，主要的讨论点在于三角形的形状不同，高的位置不同。
【例2.1】（2023八年级·江苏盐城·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为 度．
【例2.2】（2023八年级·江苏盐城·期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为
A.或 B.或 C. D.
【例2.3】（2023八年级·山东枣庄·阶段练习）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数．
【变式2.1】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）已知等腰中，于点，且，则底角的度数为
A. B. C.、或 D.或
【变式2.2】（2023八年级·湖北襄阳·期末）在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则_________．
【变式2.3】（2023八年级·江西吉安·期中）已知：如图，线段的端点A在直线l上，与l的夹角为，点C在直线l上，若是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是 ．
方法点睛：
在平面直角坐标系中找一个点，使它与另外两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种：
分别以两定点中的一个为圆心，以两点之间的距离为半径作圆；
连接两定点，作所作连线段的垂直平分线。
【例3.1】（2023·贵州毕节·八年级期末）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【例3.2】（2023八年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，则这样的点C有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【例3.3】（2023八年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式3.1】（2023八年级·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
【变式3.2】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有 个．
【变式3.3】（2023八年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，，用尺规在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，并直接写出这个等腰三角形顶角的度数．（要求：找出所有符合题意的点，不写作法，保留作图痕迹）
【例4.1】（2023八年级·四川眉山·阶段练习）如图，已知，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（在B，C不与点O重合）连接，连接交射线于点D，且，当是等腰三角形时，则 ．
【例4.2】（2023八年级·山东威海·期中）已知：在中，，．
(1)如图，点D在边上，点E在边上，，与交于点F．求证：；
(2)若点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．当是等腰三角形时，求的度数．
【例4.3】（2023八年级·广东深圳·期中）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)＝ （用t的代数式表示）
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
【变式4.1】（2023八年级·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式4.2】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．
【变式4.3】（2023八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．
(1)当时， °， °；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．
1．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023八年级·河南许昌·期中）一个等腰三角形的两个内角的度数之比为2：5，则这个等 三角形的顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
3．（2023八年级·湖北随州·期中）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为（ ）.
A． B．或 C． D．或或
4．（2023八年级·山东枣庄·阶段练习）一个等腰三角形的两边长a，b满足，则这个三角形的周长为 ．
5．（2023八年级·河北保定·期末）题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确
6．（2023八年级·北京东城·期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八年级·全国·课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八年级·浙江·期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．
9．（2023八年级·江西抚州·开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角形的顶角是 度．
10．（2023八年级·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
11．（2023八年级·广东广州·期中）在中，，，以为边画等腰，使P点在的边上，则符合条件的点P共有 个．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ．
13．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知等腰三角形中，，一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的底边的长．
14．（2023·江苏宿迁·八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为2和6，则第三边的长度为 ．
15．（2023八年级·四川德阳·阶段练习）（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为和两部分，求等腰三角形的各边长．
（2）等腰三角形一底角的角平分线与另一腰形成的锐角为，求等腰三角形各底角度数．
16．（19-20八年级·江苏无锡·期中）已知△ABC中，∠C是最小的一个内角，过顶点B的一条直线交AC于点D，直线BD将原三角形分割成两个等腰三角形△ABD和△BCD，△ABD中BD＝AD，请探究∠A与∠C的数量关系，并说明理由．
17．（2023八年级·吉林·期中）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)当点Q在边上运动时．
①出发几秒后，是等腰三角形？
②通过计算说明能否把的周长平分？
(3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值．
18．（2023八年级·江苏泰州·期中）如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动t秒，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
(1)当_____秒，M、N两点重合.
(2)当______秒，以是等边三角形.
(3)当t为何值时，连接，是以为底边的等腰三角形 中小学教育资源及组卷应用平台
第14讲 等腰三角形中的分类讨论思想
·模块一 腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论
·模块二 钝角与锐角不明时需分类讨论
·模块三 画等腰三角形时的分类讨论
·模块四 由图形运动产生的分类讨论
·模块五 课后作业
方法点睛：
先分不同情况画出图形，再进行计算，当不明确腰和底时，还要利用三角形三边关系进行检验.
【例1.1】（2023八年级·湖南·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【详解】解：当是顶角时，底角：
当是底角时，它的另一个底角等于，
所以它的一个底角是或，
故选：D．
【例1.2】（2023八年级·江西萍乡·期中）一个等腰三角形的周长为20，一边为5，则另两边的长为（ ）
A．7.5，7.5 B．5，10或7.5，7.5 C．10，5 D．10，15
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分底边为和腰长为两种情况讨论然后再验证即可得出答案．
【详解】解：当底边为时，设腰长为x，则，
解得：，
当腰长为，设底边为，则，
解得：，
此时，与三角形任意两边之和大于第三边矛盾，故舍去．
综上，另两边长为7.5，7.5．
故选A．
【例1.3】（2023八年级·河南周口·期中）一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设顶角度数为，分两种情况讨论：①若底角度数是顶角度数的；②若顶角度数是底角度数的，分别列方程求解即可．
【详解】解：设顶角度数为，
①若底角度数是顶角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
②若顶角度数是底角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
即这个等腰三角形顶角的度数是或，
故选：D．
【变式1.1】（2023八年级·海南省直辖县级单位·阶段练习）若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7或8
【答案】D
【分析】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可．
【详解】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3，由2+2＞3，则可组成三角形，即周长为2+2+3=7；
②当边长3为腰时，三边为3、3、2，由2+3＞3，则可组成三角形，即周长为2+3+3=8；
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本题的关键、也是解答本题的易错点．
【变式1.2】（2023八年级·江苏·期末）等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）．
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】此题主要考查了学生的三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
【详解】当底角是时，则它一腰上的高与底边的夹角是；
当顶角是时，则它的底角就是，则它一腰上的高与底边的夹角是．
故选：D．
【变式1.3】（2023八年级·广西百色·期中）已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．已知等腰三角形的周长为24，两边之差为6，但没有明确指明底边与腰谁大，因此要分两种情况，分类讨论．
【详解】
解：设等腰三角形的腰长为，
①当腰长比底边长长6时，底边长为，则：
，
解得，
此时三角形的三边长为10，10，4，满足三角形的三边关系.
②当底边长比腰长长6时，底边长为，
则，
解得，
此时三角形的三边长为6，6，12，
∵，
∴6，6，12不能组成数形，故不成立；
综上分析可知，这个等腰三角形的腰长为10．
故答案为：10．
方法点睛：
此类题目一般与三角形的高相联系，主要的讨论点在于三角形的形状不同，高的位置不同。
【例2.1】（2023八年级·江苏盐城·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为 度．
【答案】或
【分析】此题考查了等腰三角形的定义．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：，，
如图（1），，
则，
如图（2），，
∴，
∴．
故这个等腰三角形的顶角是：或．
故答案为：或
【例2.2】（2023八年级·江苏盐城·期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为
A.或 B.或 C. D.
【参考答案】
【试题解析】 【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．
因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，
为等腰三角形腰上的高，并且，
根据直角三角形中角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为，此时底角为；
当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
为等腰三角形腰上的高，并且，
根据直角三角形中角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为，此时顶角是，底角为．
故选A．
【例2.3】（2023八年级·山东枣庄·阶段练习）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数．
【答案】或
【分析】分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案．
【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：
∵垂直平分，，
∴，
∴；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：
∵垂直平分，，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：等腰三形的顶角的度数为或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略的是考虑该等腰三角形为钝角三角形．
【变式2.1】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）已知等腰中，于点，且，则底角的度数为
A. B. C.、或 D.或
【参考答案】
【试题解析】 【分析】
分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据，求出底角的度数；当时，根据，，得出，从而得出底角的度数．此题考查了含度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
【解答】
解：分三种情况进行讨论：
如图，当时，易知底角的度数为
如图，当且为锐角时，易知底角的度数为
如图，当且为钝角时，易知底角的度数为．
综上，底角的度数为或或．
故选C．
【变式2.2】（2023八年级·湖北襄阳·期末）在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则_________．
【参考答案】 或
【试题解析】 解：当为锐角时，如图，设，，
，
，，，
、分别垂直平分、，
，，
，
，
，
；
当为钝角时，如图，
、分别垂直平分、，
，，
，
，
，
，
；
综上所述，或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：当为锐角时，如图，设，，根据线段垂直平分线性质可得：，，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当为钝角时，如图，根据线段垂直平分线性质可得：，，，再结合三角形内角和定理即可求得答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及分类讨论的思想，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式2.3】（2023八年级·江西吉安·期中）已知：如图，线段的端点A在直线l上，与l的夹角为，点C在直线l上，若是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是 ．
【答案】或或．
【分析】分情况讨论：如图，当时，C在A的右边，如图，当时，C在A的左边，当时，再分别画出图形求解即可．
【详解】解：如图，当时，C在A的右边，则顶角，
，
如图，当时，C在A的左边，则顶角，
如图，当时，则，
∴顶角；
如图，当时，则，
此时顶角，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的顶角的含义与等腰三角形的性质是解本题的关键．
方法点睛：
在平面直角坐标系中找一个点，使它与另外两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种：
分别以两定点中的一个为圆心，以两点之间的距离为半径作圆；
连接两定点，作所作连线段的垂直平分线。
【例3.1】（2023·贵州毕节·八年级期末）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点．
【详解】解：如图，点为所作，
故答案为：A．
【例3.2】（2023八年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，则这样的点C有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【分析】由题意知、是定点，是动点，所以要分情况讨论：以、为腰、以、为腰或以、为腰．则满足条件的点可求．
【详解】解：由题意可知：以、为腰的三角形有3个；
以、为腰的三角形有2个；
以、为腰的三角形有2个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
【例3.3】（2023八年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论
【详解】解：分三种情况：
①构造中垂线，、即为所求，如图所示：
②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示：
③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示：
综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个，
故选：B．
【变式3.1】（2023八年级·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
【详解】解：如图，
①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、，
此时，和为等腰三角形，
②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
③作的垂直平分线，与与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
即满足条件的点位置有4个，
故答案为：4．
【变式3.2】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有 个．
【答案】8
【分析】分为两种情况：①以AB为底时，②以AB为腰时，想象画出图形，即可得出答案．
【详解】解：连接AB，
分为两种情况：
①以AB为底时，作AB的垂直平分线分别交两直线于一点，此时符合的有两个点 ；
②以AB为腰时，第一种情况：以B为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共2个（A点除外），
第二中情况：以A为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共4个，
即满足条件的有(个)，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，分情况讨论才能做到不重不漏是解题的关键．
【变式3.3】（2023八年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，，用尺规在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，并直接写出这个等腰三角形顶角的度数．（要求：找出所有符合题意的点，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】分类讨论：①当时，②当时和③当时，结合基本作图方法作图，再结合三角形内角和定理与三角形外角的性质求出顶角的度数即可．
【详解】解：分类讨论：①当时，以B为圆心，长为半径画弧，与坐标轴分别交于点，
在中，由，得出，
∴，即顶角的度数为；
为等边三角形，即顶角的度数为；
在中，由，得出，即顶角的度数为；
②当时，以A为圆心，长为半径画弧，与坐标轴分别交于点，
在中，由，得出，即顶角的度数为；
在中，由，得出，即顶角的度数为；
③当时，作的垂直平分线，与坐标轴交于点，
在中，由，得出，
∴，即顶角的度数为．
综上所述：所有符合题意的点C，如下图所示，顶角可以为：．
【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，作图—线段，等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．依据等腰三角形的定义，正确分3种情况讨论是解题关键．
【例4.1】（2023八年级·四川眉山·阶段练习）如图，已知，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（在B，C不与点O重合）连接，连接交射线于点D，且，当是等腰三角形时，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，先由角平分线的定义得到，再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴，
当时，则，
∴；
当时，则，
∴；
当时，，则，
∵，，
∴，
∴重合，即点C与点O重合，不符合题意；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【例4.2】（2023八年级·山东威海·期中）已知：在中，，．
(1)如图，点D在边上，点E在边上，，与交于点F．求证：；
(2)若点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．当是等腰三角形时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
(1)证明，得出，根据等腰三角形判定即可得出答案；
(2)先求出，由(1)得出，设，则，，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知，，，
∴，
设，
则，，
，
∵是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当时，此时，
∴，
得，
即；
②当时，此时，
∴，
得，
即；
③当时，此时，
∴，不符题意，舍去；
综上所述，或．
【例4.3】（2023八年级·广东深圳·期中）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)＝ （用t的代数式表示）
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
【答案】(1)cm
(2)秒
(3)11或12
【分析】（1）根据题意即可用t可表示出即可求得；
（2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后；
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，
则，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，
则（cm），
∴，
综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
【变式4.1】（2023八年级·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，分别以、为圆心，以的长为半径作圆与相交，再作的垂直平分线与相交，交点即为所求的点．
【详解】解：如图，满足条件的点有3个．
故选：A．
【变式4.2】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．
【答案】图见解析，100°或70°或55°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为100°或55°或70°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
【变式4.3】（2023八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．
(1)当时， °， °；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．
【答案】(1)；；小
(2)当时，
(3)可以；的度数为或
【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小；
（2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得；
（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：，
，
点D从B向C运动时，逐渐变小，
故答案为：；；小．
（2）解：当时，，
理由：，
，
又，
∴，
，
又 ，，
；
（3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形；
理由：时，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
时，
，
，
，
，
的形状是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
1．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质等知识点，根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解即可，解题的关键是掌握三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．
【详解】∵等腰三角形的一个外角为，
∴与它相邻内角为，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴角为顶角，
∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，
∴底角为：．
故选：B．
2．（2023八年级·河南许昌·期中）一个等腰三角形的两个内角的度数之比为2：5，则这个等 三角形的顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．设顶角的度数是，和设顶角的度数是，然后根据三角形内角和定理，列式计算即可作答．注意：在没有说明谁大谁小的情况下应分为两种情况．
【详解】解：依题意，
设顶角的度数是，则有：，
解得：，
所以顶角度数是：；
设顶角的度数是，
则有：，
解得：，
则有顶角度数是：，
综上所述，故顶角的度数是或者．
故选：C．
3．（2023八年级·湖北随州·期中）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为（ ）.
A． B．或 C． D．或或
【答案】D
【分析】分别以每个顶点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义和性质确定的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
如图，当时，，
当时，，
∴，
当时，，
综上可知，的度数为或或，
故选：D
【点睛】此题考查等腰三角形的定义和性质，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键．
4．（2023八年级·山东枣庄·阶段练习）一个等腰三角形的两边长a，b满足，则这个三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】通过等式可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
∵三角形是等腰三角形，
∴三边长为，，，或，，，
∵，围不成三角形，不合题意，应舍去，
∴其周长为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，绝对值和完全平方非负性的应用，得出a，b的值是解题关键．
5．（2023八年级·河北保定·期末）题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：当点P在线段上时，
设t时后是等腰三角形，
有，
即，
解得；
当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即，
解得，
故或，即甲、乙合在一起才正确．
故选：C．
6．（2023八年级·北京东城·期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故选：D．
7．（2023八年级·全国·课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分和三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：若为等腰三角形则有和三种情况，
①当时，则有，故；
②当时，则；
③当时，则，
综上可知：不可能为；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2023八年级·浙江·期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．
【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，
在中，，
①当时，，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
9．（2023八年级·江西抚州·开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角形的顶角是 度．
【答案】或
【分析】本题应分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解．
【详解】解：（1）当顶角较小时，顶角度数是：，
（2）当顶角较大时，顶角度数为：，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意：在没有说明谁大谁小的情况下应分为两种情况．
10．（2023八年级·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个；
若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个；
线段的垂直平分线与x轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：（个），
故答案为：4．
11．（2023八年级·广东广州·期中）在中，，，以为边画等腰，使P点在的边上，则符合条件的点P共有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，分三种情况：当时，当时，当时，掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：分三种情况：
当时，如图，以点为圆心，长为半径作弧，交，分别于点，；
当时，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
当时，作的垂直平分线交于点．
综上，符合条件的点共有4个，
故答案为：4
12．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形；
当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形；
故答案为：．
13．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知等腰三角形中，，一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的底边的长．
【答案】底边长是
【分析】设，，则，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：设，，则，
∵上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，如图，
∴有两种情况：
①当，且，
解得，，
∴三边长分别为，，；
②当，且时，
解得，，此时腰为，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而，故这种情况不存在，
∴综上所述：腰长是，底边长是．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
14．（2023·江苏宿迁·八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为2和6，则第三边的长度为 ．
【答案】6
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据等腰三角形的两腰相等，结合三角形的三边关系，求解即可．
【详解】解：当2为腰长时：，不能构成三角形，不符合题意；
∴6为腰长，
∴第三边的长度为6；
故答案为：6．
15．（2023八年级·四川德阳·阶段练习）（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为和两部分，求等腰三角形的各边长．
（2）等腰三角形一底角的角平分线与另一腰形成的锐角为，求等腰三角形各底角度数．
【答案】（1）或；（2）或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和性质，构成三角形的条件，三角形内角和定理和三角形外角的性质：
（1）根据三角形周长公式分当的周长分别为和时，当的周长分别为和时，两种情况根据等腰三角形的定义和三角形中线的定义求出的长，再根据构成三角形的条件求解即可；
（2）在等腰中，，是角平分线，当时，当时，两种情况结合等边对等角以及角之间的关系讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，等腰中，，是中线，则，
当的周长分别为和时，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的三边长分别为；
同理当的周长分别为和时，可得，
∴，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的三边长分别为；
综上所述，该等腰三角形的三边长分别为或；
（2）在等腰中，，是角平分线，
如图所示，当时，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，当时，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，该等腰三角形各底角度数为或．
16．（19-20八年级·江苏无锡·期中）已知△ABC中，∠C是最小的一个内角，过顶点B的一条直线交AC于点D，直线BD将原三角形分割成两个等腰三角形△ABD和△BCD，△ABD中BD＝AD，请探究∠A与∠C的数量关系，并说明理由．
【答案】∠A与∠C之间的关系是：4∠A+∠C＝180°或∠A+∠C＝90°，∠C是小于45°的任意角．理由见解析.
【分析】作出图形，再把三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，计算可得出∠A与∠C的数量关系．
【详解】设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB＞90°，
∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．
此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣(90°﹣x)，
整理得3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C，
可得：4∠A+∠C＝180°；
②若∠C是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，
当DB＝DC时，则∠DBC＝x，
△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．
由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，
此时y＝90°，
即∠ABC＝90°，∠A+∠C＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，
当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，
从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，
这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上，∠A与∠C之间的关系是：4∠A+∠C＝180°或∠A+∠C＝90°，∠C是小于45°的任意角．
【点睛】本题考查了把三角形分成两个等腰三角形的各种情形，结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题创造性强，而且渗透了 “分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．
17．（2023八年级·吉林·期中）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)当点Q在边上运动时．
①出发几秒后，是等腰三角形？
②通过计算说明能否把的周长平分？
(3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值．
【答案】(1)
(2)①秒；②不能
(3)11或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用t可表示出即可求得；
（2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
（2）①当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后；
②当在上，，如图，
而，，
∴，，
∵把的周长平分，
∴，
解得：，不符合题意舍去，
∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分．
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，
则，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，
则（cm），
∴，
综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11或12．
18．（2023八年级·江苏泰州·期中）如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动t秒，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
(1)当_____秒，M、N两点重合.
(2)当______秒，以是等边三角形.
(3)当t为何值时，连接，是以为底边的等腰三角形
【答案】(1)6
(2)2
(3)时，是以为底边的等腰三角形
【分析】此题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质与一元一次方程的应用，解题的关键是熟知等边三角形的性质．
（1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可求得结论；
（2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：设点、运动秒后重合，
则，
解得，
∴点、运动6秒后重合，
故答案为：6；
（2）设点、运动秒后，是等边三角形，
如图，，，
当时，是等边三角形，
即 ，
解得，
∴当点、运动2秒时，是等边三角形，
故答案为：2；
（3）如图
设点、运动秒，
则， ，
假设是等腰三角形且MN是它的底边，
则， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴当点、运动8秒时，是等腰三角形．
