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第15讲 最短路径问题
·模块一 利用轴对称解决最短路径问题
·模块二 利用平移最短路径问题
·模块三 课后作业
【例1.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴点P到A，B两点的距离相等，
即，
要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线，
∴的长度即的最小值，
即的最小值为6，
故答案为：6．
【例1.2】（2023八年级·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
【答案】50
【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示．
根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，,
∴，
∴，
故答案为：50．
【例1.3】（2023八年级·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．三点在格点上．
(1)在图中作出关于轴对称图形；
(2)写出点的坐标；
(3)在轴上求作一点，使最短．（不写作法，保留画图痕迹，标出点即可）
【答案】(1)见详解
(2)，，
(3)见详解
【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称求最短距离，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键
（1）根据题意找到关于轴对称的对应点，顺次连接，则即为所求；
（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（3）作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所
【详解】（1）解：如图所示，即为所求
（2），，
（3）如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求
，
即如图点即为所求．
【变式1.1】（2023八年级·山东烟台·期末）如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故得长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，如下图：
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短．
故答案为：10．
【变式1.2】（2023八年级·河南商丘·期末）如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．首先求得点E关于直线的对称点，连接，即可求得答案．
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，连接，此时最短，
∵与关于直线l对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短，即最短，
∵与直线交于点，
点应选点．
故选：C．
【变式1.3】（2023八年级·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
，且，
，
点关于对称的点为，点关于对称的点为，
，，，
，
，
的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
的面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
【例2.1】（2023八年级·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可．
【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽，
连接，与另一条河岸相交于F，作于点E，
则且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
【例2.2】（2023八年级·全国·单元测试）如图，A．B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【答案】见解析.
【分析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关键在于使AM+BN最短，但AM与BN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．
【详解】如图所示，
【点睛】此题考查了作图-应用设计与作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图的方法作图.
【例2.3】（2023八年级·浙江·阶段练习）如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【分析】（1）根据平移的性质，连接，可得出，，将小明和小红的总路径分别用线段的和表示出来，相同的路径长度去掉，最后根据三角形的三边关系可判断出谁设计的路径更短；
（2）分两种情况，一种是从旧桥到新桥时距离旧桥40千米，另一种是从新桥到旧桥时距离40千米；两种情况都可以设小船完整来回了次，两桥之间的距离为，根据旧桥在上游，新桥在下游，可求出一来一回所需要的时间，再根据小船从出发到小明发现经过了20小时可列出方程，根据实际情况分析即可得出答案.
【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：
连接CE，∵，且，
∴为平行四边形，可得，
小红走的路线是：，
小明走的路线是：，
∵在三角形中，，,
所以小明的路线比小红的要长，
即：小红设计的路径更短一些；
（2）设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米，
由题可得顺流所需时间为，逆流所需要的时间是，
所以一个完整来回所需时间为，次完整的来回所需时间为：；
∵小船早上点出发，第二天早上点发现，
∴小船行驶了小时；
①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，
即：两桥之间的距离为千米；
②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，或；
即：两桥之间的距离为千米或千米；
综上可得：两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【点睛】本题考查平移的性质以及路程问题中的行船问题，第二问比较不太好想，因为有两个未知数，想到两个未知数有各自的取值限制为解题关键，做题时理解上游这个条件其实是为了说明什么时候是顺水行驶，什么时候是逆水行驶.
【变式2.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图：平行河岸两侧各有一村庄，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄到村庄的路程最短．
【答案】详见解析
【分析】根据两点之间线段最短，因此要想办法构成两点之间的直线，将点向下平移河的宽度得到，连接与河岸于点，过此点作另一岸的垂线即可得到答案．
【详解】解：如图，把点向下平移河的宽度得到，连接与相交于点，过点作交于，即为修桥地点，
【点睛】本题考查了最短路径问题、两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点是解此题的关键.
【变式2.2】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为5m，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置．
【答案】见解析
【分析】本题属于最短路径问题，分析题意，利用平移河宽，将折线问题转化为直线是解题关键；过点作，使等于河宽；过点作，使等于河宽，连接，分别与与河岸，相交于点，，接下来再过作对边的垂线，即可找到两座桥的位置．
【详解】解：如图所示，作法如下：
（1）过点作，使等于河宽；过点作，使等于河宽（相当于将桥平移到，的位置）．
（2）连接，分别与河岸，相交于点，．
（3）过点作于点，过点作于点，
由作图可知，
∴最短路径为，
∴，即为两座桥的位置．
1．（2023八年级·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可．
【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，
∵，
∴、垂直平分、，
连接交、于点、，
则，，
∴，这时的周长最小，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
2．（2023八年级·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示，
则
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
3．（2023八年级·重庆·期中）如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．3.5 D．
【答案】A
【分析】作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，，
，
当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
此时，△中，，
，
的最小值为3，
故选择A．
【点睛】本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．（2023八年级·甘肃金昌·期中）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质及最短路径问题解答．
【详解】解：解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．
5．（2023八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（ ）
A．不断变大 B．不断变小
C．先变小再变大 D．先变大再变小
【答案】C
【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，当点O运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论．
【详解】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，
∵两点之间线段最短，且PQ为定值，
∴当点O运动到此点时三角形的周长最短，
∴这些三角形的周长变化为先变小再变大．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
6．（2023八年级·广西钦州·期末）如图，在边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小．
7．（2023八年级·福建南平·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ．
【答案】
【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（2023八年级·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【答案】
【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到
，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案．
【详解】解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，
∴，
∴，此时P点到A与B的距离和最小，
过作，延长与交于点M，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点P与C点的距离是，
故答案为：
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键．
9．（2023八年级·广东广州·期末）如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵和都是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，
∴的最小值为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
10．（2023八年级·北京·期中）如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求．
请你写出小明这样作图的依据： ．
【答案】两点之间线段最短．
【分析】根据轴对称变换点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，根据对称性质得出AM=A′M，进而得出AM+BM=A′M+BM=A′B，在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，利用两点之间线段最短得出A′M′+ BM′≥A′B即可．
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，
∴AM=A′M，
∴AM+BM=A′M+BM=A′B，
在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，
则AM′=A′M′，
∴A′M′+ BM′≥A′B，
小明这样作图的依据：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
11．（2023八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使的长最短．
(3)的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线．
（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
（3）利用割补法即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，连接交直线l于点P，则点P即为所求；
（3）解：的面积是．
故答案为：8．
12．（2023八年级·江苏苏州·期末）仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点P，使得点P到A、B两点距离之和最小．请保留作图痕迹
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称变换—最短距离问题．作点B关于直线l的对称点，再根据两点之间，线段最短，即可求解．
【详解】解：如图，点P即为所求．
13．（2023八年级·全国·课堂例题）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当最小时，求的度数．
【答案】
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，与交于点P，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
即就是的最小值，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
14．（2023八年级·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ．
【答案】
【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小，
∴当点A、P、E在同一直线上，且时，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键．
15．（2023八年级·全国·课后作业）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图1）．要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE=FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置．
（1）分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由．
（2）利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图．
【答案】（1）两点之间线段最短．（2）见解析．
【分析】（1）利用平移的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．
（2）根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”解决问题．
【详解】解：（1）利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：
AC+CD+DB=（ED+DB）+CD=EB+CD．
而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．
（2）示意图如图所示．
从A到B的路径AMNEFB最短．
【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，利用平移的性质得出桥的位置，能运用两点之间线段最短的原理是解题的关键．
16．（2023八年级·广东广州·期中）如图，河两边有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，确定M、N的位置，并说明理由．
【答案】图形见解析，理由见解析
【分析】由题意可知，甲到乙的路程为，其中为定值，沿平移至，连接，根据两点间线段最短，即可得到答案．
【详解】解：如图，M、N即为所求，理由如下：
由题意可知，甲到乙的路程为，其中为定值，则最短即甲到乙的路程最短，
沿平移至，此时，
连接，则，即的最小值为的长，
与河岸的交点即为点M，再作垂线得到点N，
此时甲到乙的路程最短．
【点睛】本题考查了两点间线段最短定理的实际应用，将甲到乙的路程转化为两点间的线段是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第15讲 最短路径问题
·模块一 利用轴对称解决最短路径问题
·模块二 利用平移最短路径问题
·模块三 课后作业
【例1.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．
【例1.2】（2023八年级·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
【例1.3】（2023八年级·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．三点在格点上．
(1)在图中作出关于轴对称图形；
(2)写出点的坐标；
(3)在轴上求作一点，使最短．（不写作法，保留画图痕迹，标出点即可）
【变式1.1】（2023八年级·山东烟台·期末）如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式1.2】（2023八年级·河南商丘·期末）如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【变式1.3】（2023八年级·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
【例2.1】（2023八年级·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【例2.2】（2023八年级·全国·单元测试）如图，A．B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【例2.3】（2023八年级·浙江·阶段练习）如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
【变式2.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图：平行河岸两侧各有一村庄，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄到村庄的路程最短．
【变式2.2】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为5m，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置．
1．（2023八年级·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八年级·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八年级·重庆·期中）如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．3.5 D．
4．（2023八年级·甘肃金昌·期中）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（ ）
A．不断变大 B．不断变小
C．先变小再变大 D．先变大再变小
6．（2023八年级·广西钦州·期末）如图，在边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八年级·福建南平·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ．
8．（2023八年级·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
9．（2023八年级·广东广州·期末）如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 ．
10．（2023八年级·北京·期中）如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求．
请你写出小明这样作图的依据： ．
11．（2023八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使的长最短．
(3)的面积是______．
12．（2023八年级·江苏苏州·期末）仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点P，使得点P到A、B两点距离之和最小．请保留作图痕迹
13．（2023八年级·全国·课堂例题）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当最小时，求的度数．
14．（2023八年级·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ．
15．（2023八年级·全国·课后作业）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图1）．要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE=FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置．
（1）分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由．
（2）利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图．
16．（2023八年级·广东广州·期中）如图，河两边有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，确定M、N的位置，并说明理由．
