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第16讲 证明线段相等的基本思路归纳
·模块一 利用全等三角形的性质证明线段相等
·模块二 利用等腰（边）三角形的性质与判定证明线段相等
·模块三 利用线段垂直平分线的性质与判定证明线段相等
·模块四 利用角平分线的性质与判定证明线段相等
·模块五 课后作业
【例1.1】（2023八年级·河南南阳·期中）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．试说明的理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．先利用平行线的性质得到，再利用线段中点的定义得到，则可根据“”判断，然后根据全等三角形的性质得到．
【详解】证明：点是边的中点，使，
，，
在和中，，
，
．
【例1.2】（2023八年级·广西百色·期末）如图，已知，于点D，于点B，．
(1)求证：；
(2)连接交于点O，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键．
（1）根据证明，再根据全等三角形的性质即可得；
（2）根据证明，再根据全等三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：如图所示，
∵，
∴
在和中，
，
∴
∴；
（2）解：
理由如下：
如图，
在和中，
，
∴，
∴．
【例1.3】（2023八年级·河南郑州·期中）如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， 延长至F使，连接，利用证明，得出，，结合角平分线定义可得出，利用证明，即可得证．
【详解】证明∶延长至F使，连接，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【变式1.1】（2023·四川达州·八年级期末）如图，在中，，于点D，，且，过C作．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，即可得到结论；
（2）先证明，再证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1.2】（2023八年级·江苏泰州·期中）如图，点在一条直线上，，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：互相平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：
（1）利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）证明：在和中
，
∴，
∴，，
即，互相平分．
【变式1.3】（2023八年级·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由．
【答案】（1），，理由见解析
（2）成立，见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（2）当图2、3的情况时，证明方法和图1情况完全一样．
【详解】（1），
理由如下：
∵，
∴，
又O是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，；
（2）成立，
图2中：∵，
∴，
又O是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，；
图3中：∵，
∴，
又O是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定与性质，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．
【例2.1】（2023八年级·上海·期末）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识，过作垂直于于点，由，利用三线合一得到为中点，同理得到为中点，利用等式的性质变换后可得证，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
【详解】过点作，垂足为点，
，，
，
∵，，
∴，
，
．
【例2.2】（2023八年级·广西防城港·期末）如图，与相交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．
连接，得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据等角对等边得到结论．
【详解】证明：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【例2.3】（2023八年级·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】该题主要考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）根据三角形内角和以及角平分线求解即可；
（2）根据题意中结论设表示出即可证明
【详解】（1）解：根据题意，
是的平分线，
（2）根据题意，
是的平分线，
设
【变式2.1】（2023·广东汕头·八年级期末）如图，已知，是的一个外角．
(1)请用尺规作图法，作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边等等：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：，
，．
平分，
．
，
．
【变式2.2】（2023八年级·山东菏泽·期末）如图，中，，点在边上，，，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关结论即可．
（1）过点作，交于点，根据等腰三角形的性质可得，再证即可；
（2）证得，即可求证．
【详解】（1）证明：过点作，交于点，
∵，且，
∴平分，
∴，
又，
∴与互余，
∵，
∴与互余，
∴，
即；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【变式2.3】（2023八年级·广西百色·期末）在中，，为的角平分线，点E是边的中点．过点E作延长线的垂线，垂足为点G，交于点F，交的延长线于点H．
(1)求证：；
(2)探究：在线段上是否能找到一点P，使得．如果能够，请找出并证明之；
(3)证明：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是数形结合，添加辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）通过证明，即可得到．
（2）作，交于点P，证明即可．
（3）通过等角对等边以及全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：证明：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：在线段上能找到一点P，使得，
作，交于点P，则，
证明：∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
．
（3）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【例3.1】（2023八年级·湖北十堰·期中）如图，，，点E在直线上，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质和判定，首先证明出垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质证明即可．解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定．
【详解】解：∵
∴A在的垂直平分线上
∵
∴D在的垂直平分线上
∴垂直平分
∵E在直线上
∴．
【例3.2】（2023八年级·湖北襄阳·期末）如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质即可证明结论成立.
【详解】证明：如图，连接，
∵于是的中点，即垂直平分，
∴（线段垂直平分线的性质），
∵为中点，，
∴（线段垂直平分线的性质），
∴．
【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的判定及性质，理解题意，作出辅助线是解题关键．
【例3.3】（2023八年级·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，，垂直平分分别交，于，，求证：．（请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整）
解：∵（______________），
∴（______________）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的定义）．
在和中，
∴（_________________）．
∴（________________________）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的性质）
∴（_________________）．
【答案】已知；两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形的对应边相等；等量代换
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的定义）．
在和中，
∴（）．
∴（全等三角形的对应边相等）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的性质）
∴（等量代换）．
故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形的对应边相等；等量代换．
【点睛】本题考查了平行线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质证明边相等是解答的关键．
【变式3.1】（2023八年级·山东菏泽·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论．
【详解】证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴，
∵EF垂直平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式3.2】（2023八年级·广西河池·期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：点在线段的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案；
（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵边、的垂直平分线交于点，
∴，，
∴；
（2）证明：∵边，的垂直平分线交于点，
∴，，
∴，
点在的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【变式3.3】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．
（1）利用线段垂直平分线的判定和性质即可证明；
（2）过点P作，垂足为G．利用角平分线的性质得到，再利用证明，推出，根据线段的和与差计算求解即可．
【详解】（1）证明：，，
是的垂直平分线，
；
（2）解：如图，过点P作，垂足为G．
平分，，
，．
在与中，
．
．
在与中，
，
，
．
，，
，
．
【例4.1】（2023八年级·江苏·期末）已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，，再根据为公共边，可利用三边对应相等的三角形全等证明，由全等即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合，，可利用角平分线上的点到角两边距离相等可得．
【详解】（1）证明：是的垂直平分线，
，，
在和中
，
，
；
（2），是的垂直平分线，
，
，，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，熟记角平分线上的点．
【例4.2】（2023八年级·辽宁辽阳·期中）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证；
（2）通过证明即可．
【详解】（1）证明：作，垂足为点，
平分，，，
∴，
平分，，，
，
；
（2）证明：，（已知）
，,
在和中，
，
，
．
【例4.3】（2023八年级·全国·课后作业）如图，在中，平分，平分．
(1)求证：点P到三边的距离相等；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别过点往三角形三边作垂线，垂足分别为，，，根据角平分线的性质推出；
（2）由（1）的结论结合三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，分别过点往三角形三边作垂线，垂足分别为，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
∴点P到三边的距离相等；
（2）证明：∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟记并灵活运用角平分线的性质是解题关键．
【变式4.1】（2023八年级·江苏无锡·期末）已知：如图，，和分别平分和，过点与垂直，求证：是的中点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质．根据平行线的性质得到，．过点作于点．则由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”得到，，所以，即点是的中点．
【详解】证明：如图，过点作于点．
，过点与垂直，
，．
和分别平分和，
，，
，即点是的中点．
【变式4.2】（2023八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，在中，和的平分线相交于点，且，垂足分别为点．
(1)求证：；
(2)若，连接，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质．
（1）过点作于，可得；
（2）可得是的平分线，是的平分线，则可求出．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵和的平分线相交于点，且，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴平分，，
∵,
∴,
∴．
【变式4.3】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，是的角平分线，点B、点D分别在上，连接．且．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）问的结论是否成立并给予说明．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形判定与性质，
（1）先证明，根据角平分线性质证明结论；
（2）过点C作于H，过点C作于G，证明，进而证明，证出结论即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
∴于B，于D，；
又∵是的角平分线，
∴；
（2）成立
过点C作于H，过点C作于G，
∴，
∵是的角平分线，于H，于G，
∴，
∵，，
∴，
∵在与中，
，
∴；
∴；
1．（2023八年级·江西南昌·期末）如图，已知，于点D，于点E，交于点O，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】∵，于点D，于点E，
∴，，
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线的性质得出．
2．（2023八年级·浙江金华·期中）如图：，于、为上的一点，于，于，求证：．
【答案】见解析
【分析】在三角形中，，于，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可得，又由于点，于点，根据角平分线的性质，即可证得．
【详解】解：∵在三角形中，，于，
，即，
，，
．
【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质与角平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
3．（2023八年级·海南省直辖县级单位·期末）在中，分别延长中线至 ，使，，连接．求证：
【答案】详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，根据中线得，再利用证明，，从而得到，，利用等量代换从而得到结论．
【详解】证明：是的中线，
，
在与中，
，
，
，
在 与中，
，
，
，
．
4．（2023八年级·山东烟台·期中）如图，中，为边上的一点，，以线段为边作，使得，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，即可由得到，进而得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴ ，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
5．（2023八年级·安徽宿州·期中）如图，在和中，，，与交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，则，再由等腰三角形的性质得出结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
，
是等腰三角形，
又，
．
6．（2023八年级·河南南阳·期末）如图，在中，，点在上，作于点，落．求证：为的中点．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．证明，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题；
【详解】证明：∵，，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
即为的中点．
7．（2023八年级·湖北鄂州·期末）如图，点C、D在∠AOB的平分线上，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，DM＝DN．求证：OA＝OB．
【答案】证明见解析
【分析】根据DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，DM＝DN，得出是的角平分线，推出，进而得到，证明，即可得证．
【详解】证明：∵DM⊥AC，DN⊥BC，DM＝DN，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
即：
∵点C、D在∠AOB的平分线上，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴OA＝OB．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的判定和性质，证明两个三角形全等是解题的关键．
8．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，中，，是边延长线上的一点，在边上，交于点，连接交于．如果，求证：．
【答案】见详解
【分析】首先证明，由全等三角形的性质证明，再证明为等腰三角形，即有，即可证明结论．
【详解】证明： ∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
9．（2023八年级·福建泉州·期末）如图，中，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据尺规作图的要求即可作出角平分线以及垂线；
（2）先根据直角三角形中角度之间的关系得到，再根据角平线的定义得到，再根据三角形内角和为，得到，再根据对边对等角即可得到结果．
【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径，画弧，交于点P，Q，连接，然后再分别以点P点Q为圆心，以大于长为半径画弧，两圆交点为点H，连接并延长至与有交点，此时交点为点D，即为的平分线；
以点A为圆心，适当长为半径画弧交于M，N，以M，N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于点E，则是线段的垂直平分线；
与的交点为一点F，如图所示：
；
（2）证明：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，尺规作垂线，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等角对等边，正确作出来角平分线和垂线是解题的关键．
10．（2023八年级·湖北荆州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BF⊥AD，交AD的延长线于E，交AC的延长线于F，且AD＝BF．
(1)求证：AC＝BC；
(2)若CD＝a，BD＝b，试求点D到AB的距离．
【答案】(1)见解析
(2)点D到AB的距离为a
【分析】（1）根据题意证明△ACD≌△BCF(AAS)即可得到答案；
（2）过点D作DH⊥AB于H，利用角平分线的性质得出DH＝DC即可得出解答．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BF⊥AD，
∴∠ACB＝∠BCF＝∠AEF＝90°，
∴∠F+∠FBC＝90°，∠F+∠FAD＝90°，
∴∠FBC＝∠FAD，
在△BCF和△ACD中，
∴△ACD≌△BCF(AAS)，
∴AC＝BC．
（2）解：过点D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，
∴DH＝DC，
∵CD＝a，
∴DH＝DC＝a，
即点D到AB的距离为a．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质并加以运用．
11．（2023八年级·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，则的长为多少？
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由垂直平分可得，由，可得，等量代换即可求证；
（）由的周长为可得，利用，可得到，即可求解；
本题考查了线段垂直平分线的性质，线段的和差，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
12．（2023八年级·重庆·期中）如图，为中的角平分线，，延长至，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质及三角形角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据三角形外角性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
为中的角平分线，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
为中的角平分线，
，
在和中，
，
，
．
13．（2023·河南周口·八年级期末）如图，在中，平分．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作交于点F，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的判定与性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
（1）根据平行线的判定以及作一个角等于已知角的方法作图即可．
（2）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得，则．再由角平分线的定义可得，进而可得，则，即．
【详解】（1）解：如图，即为所求（方法不唯一）．
（2）证明：，
．
，
，，，
，
．
．
平分，
．
．
．
．
14．（2023八年级·陕西西安·期中）如图，P为外角的平分线的交点，，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：．
(2)若四边形的面积为20，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，即可证明结论；
（2）连接，根据四边形的面积为20，得出，即，根据，得出．
【详解】（1）证明：∵P为的平分线的交点，，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵四边形的面积为20，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
15．（2023八年级·江苏无锡·期末）如图，在等边中，点在边上，过点作 交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用；
（1）根据等边三角形的性质得出，进而根据平行线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解；
（2）根据等边三角形的性质得出，进而根据平行线的性质可得，进而得出是等边三角形，则，得出，则，等量代换，即可得证．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
．
16．（2023八年级·四川成都·期末）在中，，D是上一点，且．
(1)如图1，延长至E，使，连接．求证：；
(2)如图2，在边上取一点F，使，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，P为延长线上一点，连接，若，猜想与的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】此题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）延长到E，使，由（1）知，，证明是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到结论；
（3）在上取点E，使，连接，证明，则，得到，由即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）延长到E，使，由（1）知，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
同理，是等边三角形，
∴，
∴，
即；
（3）猜想：，
理由如下：在上取点E，使，连接，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
第16讲 证明线段相等的基本思路归纳
·模块一 利用全等三角形的性质证明线段相等
·模块二 利用等腰（边）三角形的性质与判定证明线段相等
·模块三 利用线段垂直平分线的性质与判定证明线段相等
·模块四 利用角平分线的性质与判定证明线段相等
·模块五 课后作业
【例1.1】（2023八年级·河南南阳·期中）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．试说明的理由．
【例1.2】（2023八年级·广西百色·期末）如图，已知，于点D，于点B，．
(1)求证：；
(2)连接交于点O，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【例1.3】（2023八年级·河南郑州·期中）如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
【变式1.1】（2023·四川达州·八年级期末）如图，在中，，于点D，，且，过C作．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式1.2】（2023八年级·江苏泰州·期中）如图，点在一条直线上，，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：互相平分．
【变式1.3】（2023八年级·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由．
【例2.1】（2023八年级·上海·期末）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由．
【例2.2】（2023八年级·广西防城港·期末）如图，与相交于点．求证：．
【例2.3】（2023八年级·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【变式2.1】（2023·广东汕头·八年级期末）如图，已知，是的一个外角．
(1)请用尺规作图法，作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
【变式2.2】（2023八年级·山东菏泽·期末）如图，中，，点在边上，，，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式2.3】（2023八年级·广西百色·期末）在中，，为的角平分线，点E是边的中点．过点E作延长线的垂线，垂足为点G，交于点F，交的延长线于点H．
(1)求证：；
(2)探究：在线段上是否能找到一点P，使得．如果能够，请找出并证明之；
(3)证明：．
【例3.1】（2023八年级·湖北十堰·期中）如图，，，点E在直线上，求证：．
【例3.2】（2023八年级·湖北襄阳·期末）如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：．
【例3.3】（2023八年级·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，，垂直平分分别交，于，，求证：．（请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整）
解：∵（______________），
∴（______________）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的定义）．
在和中，
∴（_________________）．
∴（________________________）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的性质）
∴（_________________）．
【变式3.1】（2023八年级·山东菏泽·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：．
【变式3.2】（2023八年级·广西河池·期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：点在线段的垂直平分线上．
【变式3.3】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【例4.1】（2023八年级·江苏·期末）已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证：
(1)；
(2)．
【例4.2】（2023八年级·辽宁辽阳·期中）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
【例4.3】（2023八年级·全国·课后作业）如图，在中，平分，平分．
(1)求证：点P到三边的距离相等；
(2)连接，求证：．
【变式4.1】（2023八年级·江苏无锡·期末）已知：如图，，和分别平分和，过点与垂直，求证：是的中点．
【变式4.2】（2023八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，在中，和的平分线相交于点，且，垂足分别为点．
(1)求证：；
(2)若，连接，求的度数．
【变式4.3】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，是的角平分线，点B、点D分别在上，连接．且．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）问的结论是否成立并给予说明．
1．（2023八年级·江西南昌·期末）如图，已知，于点D，于点E，交于点O，求证：．
2．（2023八年级·浙江金华·期中）如图：，于、为上的一点，于，于，求证：．
3．（2023八年级·海南省直辖县级单位·期末）在中，分别延长中线至 ，使，，连接．求证：
4．（2023八年级·山东烟台·期中）如图，中，为边上的一点，，以线段为边作，使得，，求证：．
5．（2023八年级·安徽宿州·期中）如图，在和中，，，与交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
6．（2023八年级·河南南阳·期末）如图，在中，，点在上，作于点，落．求证：为的中点．
7．（2023八年级·湖北鄂州·期末）如图，点C、D在∠AOB的平分线上，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，DM＝DN．求证：OA＝OB．
8．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，中，，是边延长线上的一点，在边上，交于点，连接交于．如果，求证：．
9．（2023八年级·福建泉州·期末）如图，中，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
10．（2023八年级·湖北荆州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BF⊥AD，交AD的延长线于E，交AC的延长线于F，且AD＝BF．
(1)求证：AC＝BC；
(2)若CD＝a，BD＝b，试求点D到AB的距离．
11．（2023八年级·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，则的长为多少？
12．（2023八年级·重庆·期中）如图，为中的角平分线，，延长至，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
13．（2023·河南周口·八年级期末）如图，在中，平分．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作交于点F，求证：．
14．（2023八年级·陕西西安·期中）如图，P为外角的平分线的交点，，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：．
(2)若四边形的面积为20，且，求的长．
15．（2023八年级·江苏无锡·期末）如图，在等边中，点在边上，过点作 交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)求证：．
16．（2023八年级·四川成都·期末）在中，，D是上一点，且．
(1)如图1，延长至E，使，连接．求证：；
(2)如图2，在边上取一点F，使，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，P为延长线上一点，连接，若，猜想与的数量关系并证明．
