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第10讲 轴对称、线段垂直平分线
·模块一 轴对称
·模块二 线段垂直平分线的性质及判定
·模块三 对称轴的画法
·模块四 课后作业
1. 轴对称图形
定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
2. 轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.
联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
【考点1 轴对称图形】
【例1.1】（2023八年级·西藏日喀则·期中）下列图形中，不属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形，解答本题的关键是明确轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【例1.2】（2023·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可）
【答案】都是轴对称图形
【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．
【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，
故答案为：都是轴对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．
【例1.3】（2023八年级·新疆克孜勒苏·期末）在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ；
【答案】0和8
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是0和8．
故答案为：0和8．
【变式1.1】（2023·河北·模拟预测）在下列四个轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【答案】D
【详解】分析：看哪个图形可沿直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，所得直线条数最多即可．
详解：正方形的对称轴有4条；正五边形的对称轴有5条；正六边形的对称轴有6条；正七边形的对称轴有7条.故正七边形的对称轴最多.
故选D
点睛：本题考核知识点：轴对称.解题关键点：理解轴对称的概念.
【变式1.2】（2023八年级·辽宁营口·期末）下列“数字”图形中，没有对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，有对称轴，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，没有对称轴，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，有对称轴，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，没有对称轴，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
【变式1.3】（2023八年级·全国·课后作业）下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
【详解】解：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握其定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【考点2 轴对称】
【例2.1】（2023八年级·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可：
【详解】
解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意；
只有D成轴对称，符合题意．
故选：D．
【例2.2】（2023八年级·河北邢台·开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断.
【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是
故选：A．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.
【例2.3】（2023年重庆市八年级第三阶段质量检测数学试题）如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，请把这个单词填完整，并说出这个英语单词的汉语意思．
【答案】BOOK；书
【分析】根据轴对称图形的性质,组成图形,即可解答.
【详解】如图,
BOOK
这个单词所指的物品是书．
故答案为:书．
【点睛】此题考查轴对称图形，难度不大
【变式2.1】（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，那么与它成轴对称的图形是数字_____．
【答案】2．
【详解】试题分析：根据轴对称图形的定义可知，数字"5"的轴对称图形是数字2．
考点：轴对称图形的定义．
【变式2.2】（2023八年级·湖南怀化·期末）如图所示的组图形中，左、右两个图形成轴对称的是第 组．
【答案】（3）（4）
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】（1）不是轴对称图形，不符合题意；
（2）不是轴对称图形，不符合题意；
（3）是轴对称图形，符合题意；
（4）是轴对称图形，符合题意；
故答案为：（3）（4）．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．
【变式2.3】（2023八年级·山东烟台·期中）下列图形中，与关于直线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断．
【详解】解：A：MN不是、、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN不成轴对称；
B：MN是、、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN成轴对称；
C：MN不是、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN不成轴对称；
D：MN不是、、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN不成轴对称；
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分是正确解答本题的关键．
【考点3 轴对称及轴对称图形的性质】
【例3.1】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．三角形与三角形的周长相等 B．且
C． D．连接，，则，且
【答案】D
【考点】本题主要考查轴对称的性质和三角形的内角和定理的应用，根据轴对称的性质得三角形与三角形的周长相等，且，，，结合三角形的内角和定理即可求得．
【详解】解：∵与关于直线对称，，，
三角形与三角形的周长相等，且，，，
，
，，正确，不符合题意；
但不正确，错误，符合题意．
故选：．
【例3.2】（2023八年级·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，连结交直线l于点O，若，，则四边形的周长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查轴对称的性质，四边形的周长等知识，根据轴对称的性质即可解决问题．
【详解】解： 与关于直线l对称，
，，
四边形的周长，
故答案为7．
【例3.3】（2023八年级·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
(1)图中点的对应点是点______，的对应边是______；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算．
（1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可．
（2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题．
【详解】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是，
故答案为：，．
（2）解：，
，
，
．
【变式3.1】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可求解．
【详解】解： 与关于直线对称，
，
，
，
的度数是，
故答案为：．
【变式3.2】（2023八年级·全国·假期作业）如图，与关于直线对称．与的交点在直线上．
(1)指出与的对称点；
(2)指出与中相等的线段和角；
(3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？
【答案】(1)
(2)，
(3)与与也都关于直线成轴对称
【分析】本题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解本题的关键；
（1）根据互相重合的点是对应点可得答案；
（2）根据互相重合的角与边可得答案；
（3）根据能够互相重合的三角形可得答案．
【详解】（1）解：∵与关于直线对称．
∴对称点分别是：；
（2）解：∵与关于直线对称．
∴，
（3）解：图中与与也都关于直线成轴对称．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，其中，．
(1)线段与的关系是什么？
(2)求的度数；
(3)求的周长和的面积．
【答案】(1)垂直平分
(2)
(3)的周长为，的面积为
【分析】（1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分可以得到；
（2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等；
（3）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到周长和面积相等；
【详解】（1）解：（1）∵与关于直线对称，
∴垂直平分；
（2）解：∵与关于直线对称，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴的周长；
的面积．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握关于某条直线对称的两个图形全等．
【题型2】（2023八年级·山东烟台·期中）以下图形，对称轴的数量最多的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称及对称轴的定义，判断各选项的对称轴数量，继而可得出答案．
【详解】通过轴对称图形的定义可以得到：A选项右1条对称轴；B选项有5条对称轴；C选项有4条对称轴；D选项有2条对称轴．本题选对称轴数量最多的，故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
【题型3】（2023八年级·吉林白城·阶段练习）如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是 ．
【答案】/16厘米
【分析】根据轴对称的性质即可解决问题．
【详解】解：∵主体部分(四边形)关于所在的直线对称，
，，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，四边形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·全国·课后作业）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
(1)求出BF的长度；
(2)求∠CAD的度数；
(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
【答案】(1)BF＝3cm
(2)∠CAD＝18°
(3)直线MN垂直平分线段EC
【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可；
（2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可；
（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC﹣FC＝3cm．
（2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．
（3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，
∵E，C关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段EC．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【题型2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义和对称轴的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形但有2条对称轴，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形但只有一条对称轴，故本选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，能熟记轴对称图形的定义和对称轴的定义的内容是解此题的关键．
【题型3】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．l垂直平分 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【考点1 线段垂直平分线的性质】
【例1.1】（2023八年级·陕西榆林·阶段练习）如图，的周长为，垂直且平分，交于点E，交于点D，的周长为，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：垂直平分，
∴，，
的周长，
，
的周长为，
，
∴，
故答案为：4．
【例1.2】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作，交于点，连接，若，的周长为，求的周长．
【答案】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由题可得是的垂直平分线，得，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：∵，是的中点，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴的周长，
即的周长为．
【例1.3】（2023八年级·湖北随州·期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ．
【答案】20或14/14或20
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段的长度计算，灵活运用相关图形的性质进行分类讨论是解题的关键．由垂直平分线的性质，，，然后结合图形，进行分类讨论，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
①当点在线段之间时，如图
∴；
②当点在线段之间时，如图
∴；
故答案为：20或14．
【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点．若，则的周长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵直线与分别是边和的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式1.2】（2023八年级·陕西咸阳·期中）如图，在中，垂直平分线段垂直平分线段，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解： 垂直平分线段，
，
垂直平分线段，
，
故选：C．
【变式1.3】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．
【答案】18
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．由线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
，
，
∴的周长，
故答案为：18．
【考点2 线段垂直平分线的判定】
【例2.1】（2023八年级·贵州遵义·期中）如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴垂直平分，
根据现有条件，无法证明垂直平分，
故选A．
【例2.2】（2023八年级·湖南长沙·期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（ ）
A．，两边中线的交点处
B．，两边高线的交点处
C．与这两个角的角平分线的交点处
D．，两边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可．
【详解】生活超市到这三个居民小区的距离相等，
生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处．
故选．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
【例2.3】（2023·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于．求证：
(1)；
(2)直线是线段的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再利用“”证明 ，根据全等三角形的性质，即可证明结论；
（2）根据“到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴；
（2）∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线．
【变式2.1】（2023八年级·北京大兴·期中）如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．
【答案】三边的垂直平分线
【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论
【详解】∵，
∴点O是三边的垂直平分线的交点；
故答案为：三边的垂直平分线．
【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键．
【变式2.2】（2023八年级·陕西渭南·期中）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析．
【分析】题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，由三角形的外角性质得到，结合已知推出，得到，即可得到结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴点E在的垂直平分线上．
【变式2.3】（2023八年级·上海·阶段练习）如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的判定条件是解题关键．根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，可得点、在线段的垂直平分线上，易得垂直平分线段，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∵延长线交于，
∴．
【考点3 经过直线外一点作已知直线的垂线】
【例3.1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】本题考查了作垂线以及垂直平分线的性质，以点B为圆心，为半径，画弧交于一点，即为D点，再作的垂线，连接，并延长交于一点，即为点P，得出，则,即，得证
【详解】解：如图所示：
【例3.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了基本作图—过直线外一点作已知直线的垂线，四边形的内角和定理，过点作的垂线，垂足为，作出点是解决本题的关键．
【详解】如图，点即为所作．
【变式3.1】（2023·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键．
（1）以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线， 即为所求；
（2）根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，为的垂线，，
，，
在和中
，
，
，
．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）
【答案】
【分析】延长至，使，连接、，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】延长至，使，连接、，
在和中，
，
，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型2】（2023八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，，据此利用三角形周长公式求解即可．
【详解】解：垂直平分线段，
，
垂直平分线段，
，
的周长，
故答案为：15．
【题型3】（2023八年级·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：
(2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)40
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接，先根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据和直角梯形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，，
，
．
（2）解：如图，连接，
由（1）已证：，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
∵在四边形中，，，，
∴四边形是直角梯形，
∴四边形的面积为．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·广东珠海·期末）如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解
(2)3
【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，与三角形高有关的计算等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．
（1）由角平分线的性质定理可推出，从而可证，即得出，结合，即证明垂直平分；
（2）由图可知，结合和三角形面积公式可得出，即，解出的值即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴．
在与中，，
∴，
∴．
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【题型2】（2023八年级·安徽六安·阶段练习）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)请你判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）先利用判定，从而得出；
（2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出．
【详解】（1）
证明：，
．
为的中点，
又，
在与中，
．
．
（2）证明：．
，
，．
又，
（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
在中，，
即．
【题型3】（2023八年级·河南南阳·期末）如图，中，是的中点，，，交于，，，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，过作，交延长线于点，连接，
∵是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
，
故答案为：10．
线段的垂直平分线的作法
如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：
第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点；
第二步：作直线．
点是直线上一点，则线段．
【考点1 线段垂直平分线的尺规作图】
【例1.1】（2023八年级·江西九江·阶段练习）下列尺规作图中，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场中心P到三个小区的距离相等，能确定文化广场中心P的位置的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作、的垂直平分线，两线交点即为所求作的点．掌握作线段的垂直平分线是解题的关键．
【详解】解：要使文化广场中心P到三个小区的距离相等，即：，
∴点为的垂直平分线与的垂直平分线的交点，
如图，点即为所求，
故选：B．
【例1.2】（2023八年级·浙江温州·期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，AC=5，代入计算即可．
【详解】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故选C．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．
【例1.3】（2023·福建·一模）如图，中，，点O为边中点，且，．
(1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）在的延长线上截取，作的垂直平分线交于点D即可；
（2）如图，连接，，利用可计算出，则，再利用三角形面积公式可计算出，然后利用点O为边中点得到即可．
【详解】（1）解：如图所示：点D为在上一点，使得
（2）解：如图，连接，
∵
∴
即，则
∴
∴
∵点O为边中点
∴
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的面积．
【变式1.1】（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【答案】B
【分析】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案．
【详解】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
【变式1.2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1.3】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）折纸：有一张矩形纸片ABCD（如图所示），要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的点D′处，请在图中用尺规作出该直线．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】连接DD′，作DD′的垂直平分线即可求解．
【详解】解：由题意可知，连接DD′，作DD′的垂直平分线交矩形AD和BC分别为E点和F点，则直线EF即为所求，如下图所示：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，明确题意，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法是解决本题的关键．
【考点2 画成轴对称的两个图形（或轴对称图形）的对称轴】
【例2.1】（2023八年级·山东青岛·课后作业）找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴．
【答案】4个都是轴对称图形，画对称轴见解析.
【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
【详解】四幅图均为轴对称图形，其对称轴如下图：
【点睛】理解对称轴的含义是解答此类问题的关键.
【例2.2】（2023八年级·河北邢台·阶段练习）下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】C
【分析】
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴．
【详解】解：该图形的对称轴是直线c．
故选：C．
【例2.3】（2023八年级·全国·单元测试）如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
【答案】详见解析．
【分析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l；图②，延长两组对应边得到两个交点，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．
【详解】图①中，过点A和BC，EF的交点作直线l；图②中，过BC，EF延长线的交点和AC，DF延长线的交点作直线l.
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．
【变式2.1】（2023八年级·全国·单元测试）如图，已知扇形OAB与扇形O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．
【答案】见解析
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此解答即可．
【详解】如图所示，直线MN即为所求作的对称轴.
【点睛】此题考查了根据轴对称图形定义画出轴对称图形的对称轴的方法．
【变式2.2】（2023八年级·山东青岛·课后作业）如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
【答案】长方形是轴对称图形，其余不是
【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
【详解】第一幅图，是个矩形，它是轴对称图形，有两条对称轴，均为边的垂直平分线：
；
第二幅图，是个普通三角形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形；
第三幅图，是个平行四边形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形.
【点睛】理解对称轴的含义是解答此类问题的关键.
【变式2.3】（2023八年级·全国·课后作业）作出下列各图形的一条对称轴.
【答案】见解析
【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．
【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：
．
【点睛】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的特征，作一个图形的对称轴时，可连结两个对称点，对称轴就是对称点连线的垂直平分线．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M．N作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．20 D．14
【答案】B
【分析】由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长，
故选：B．
【点睛】此题考查了尺规作图一线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【题型2】（2023八年级·陕西榆林·阶段练习）如图，校园有两条路，在交叉路口附近有两块宣传我市创建国家级卫生城市的牌C、D，学校准备再在这里安装一个宣传栏，宣传创建国家级卫生城市的相关知识，要求宣传栏柱子的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出柱子的位置P．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图， 角平分线的性质和尺规作图，宣传栏柱子的位置P离两块宣传牌一样远，则点P在作线段的垂直平分线，宣传栏柱子的位置P到两条路的距离也一样远，则点P在的角平分线上，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P的位置．
【题型3】（2023八年级·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，请直接在图中仅用直尺，准确画出它的对称轴．
【答案】见解析．
【分析】根据等腰梯形的对称性，连接AC、BD相交于点O，延长BA、CD相交于点P，然后作直线PO即为对称轴．
【详解】如图所示，直线PO为等腰梯形ABCD的对称轴．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，解题关键是熟练掌握等腰梯形的轴对称性．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·广东广州·期中）（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果，，则的周长是_______cm．
【答案】（1）作图见解析；（2）8．
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求；
（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，点即为所求；
（2）由作图可知，
的周长，
故答案为：8．
【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型2】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）如图，平行线是一条灌溉渠道的两岸，是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，那么此桥应该架在何处？请你用直尺和圆规作出桥的位置．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【答案】详见解析
【分析】
本题考查了作垂直平分线，作轴对称图形，垂直平分线的性质，根据题意，先平移至点，作关于的对称点，进而作的垂直平分线交于点，过点作于点，即可求解．
【详解】解：如图，线段即为所求作桥梁
文字说明：过点作的垂线，并在此垂线上截取等于渠道的宽度，
作关于直线的对称点
连接，并做的垂直平分线，交直线于点
过点作直线的垂线，交直线于点
线段即为所求桥梁．
【题型3】（2023八年级·江西抚州·期末）已知，△ABC是等边三角形，请仅使用无刻度的直尺分别画出图1和图2的对称轴．
(1)若△DEF是等腰三角形，A点是DE的中点，且DE∥BC
(2)若△ADE是等腰三角形，四边形BCGF为等腰梯形．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.
【分析】（1）因为图1中的对称轴一定经过等腰三角形的顶点F和底边中点A,所以连接AF，则AF即为所求.（2）因为图2中的对称轴一定经过等腰梯形对角线的交点和等腰三角形的顶点A，所以先连接等腰梯形的对角线得到交点，再与顶点A连接即可.
【详解】解：
如图：
．
【点睛】本题考查了画轴对称图形的对称轴，熟练掌握基本轴对称图形的对称轴位置是解题关键.
1．（2023·重庆·二模）下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
2．（2023·福建三明·二模）瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的相关概念，根据图形的两部分折叠后能够完全重合确定对称轴是解题的关键．
根据轴对称图形的概念确定对称轴，画图求解即可．
【详解】如图所示：由4条对称轴，
故选：C．
3．（2023八年级·全国·课堂例题）下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
【详解】A．两个图形不成轴对称，不符合题意；
B．两个图形不成轴对称，不符合题意；
C．两个图形不成轴对称，不符合题意；
D．两个图形成轴对称，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
4．（2023八年级·全国·专题练习）如图，和关于直线l对称，l交于点D，若，，，则五边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】根据两图形成对称图形的性质，得到每边的长度即可求出周长.
【详解】解：∵和关于直线l对称，l交于点D，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴五边形的周长为：．
故选：A．
5．（2023八年级·广东深圳·期中）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．平分
C．线段垂直平分线段 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴平分，
∵，，
∴点A、D在线段的垂直平分线，
∴线段垂直平分线段，
无法证明，故D符合题意，不符合题意．
故选：D．
6．（2023八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵的周长为15，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：8．
7．（2023八年级·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是熟记对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线以及轴对称的对应线段或对应线段的延长线相交，交点在对称轴上．
【详解】解：由题意可知，与关于直线成轴对称，
，点在直线上，直线，，
即正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
8．（2023八年级·山西太原·阶段练习）如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么的度数为 ．
【答案】/85度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质等，根据三角形内角和定理可得的度数，再根据轴对称的性质可得的度数，解题关键是能够熟练运用轴对称的性质．
【详解】解：，，
，
与能够重合，
，
故答案为：．
9．（2023八年级·江苏徐州·期中）下列说法：①任意两条相交直线都组成一个轴对称图形；②等腰三角形最少有条对称轴，最多有条对称轴；③成轴对称的两个三角形一定全等；④全等的两个三角形一定成轴对称．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据轴对称图形，轴对称的定义以及性质分析找出正确的答案．
【详解】①正确，任意两条相交直线夹角的角平分线所在的直线是其对称轴，所以都组成一个轴对称图形；
②正确，等腰三角形有一条对称轴，当等腰三角形三边都相等时有三条对称轴；
③正确，根据轴对称的性质可知成轴对称的两个三角形一定全等；
④错误，全等的两个三角形不一定成轴对称．
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了轴对称、轴对称图形以及对称轴的定义．关于某条直线对称的一个图形叫做轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称．
10．（2023八年级·山东临沂·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接．若的面积为9，的面积为12，则四边形的面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了作图中垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．先利用基本作图得到垂直平分，则，在根据三角形面积公式得到，接着计算出，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
∵的面积为9，的面积为12，，
∴，
四边形的面积．
故答案为：．
11．（2023八年级·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？
【答案】轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）．
12．（2023八年级·陕西·专题练习）如图，已知在中，，．请用尺规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图：作线段的垂直平分线，作的垂直平分线得到，则，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】解：如图，点为所作；
．
13．（2023八年级·全国·假期作业）如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上成为解题的关键．
如图所示，连接，由垂直平分线的性质可得，进而得到，最后根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可证明结论．
【详解】解：如图：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
14．（2023八年级·广东深圳·期中）如图，与相交于点，，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
15．（2023八年级·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，．
(1)尺规作图：
①作边的垂直平分线交于点D；
②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查作图—基本作图，线段的垂直平分线的性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可；
（2）首先证明，推出，再利用三角形内角和定理推出，最后依据角平分线的定义即可求出．
【详解】（1）解：如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
第10讲 轴对称、线段垂直平分线
·模块一 轴对称
·模块二 线段垂直平分线的性质及判定
·模块三 对称轴的画法
·模块四 课后作业
1. 轴对称图形
定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
2. 轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.
联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
【考点1 轴对称图形】
【例1.1】（2023八年级·西藏日喀则·期中）下列图形中，不属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可）
【例1.3】（2023八年级·新疆克孜勒苏·期末）在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ；
【变式1.1】（2023·河北·模拟预测）在下列四个轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【变式1.2】（2023八年级·辽宁营口·期末）下列“数字”图形中，没有对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】（2023八年级·全国·课后作业）下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点2 轴对称】
【例2.1】（2023八年级·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ）
B．
C． D．
【例2.2】（2023八年级·河北邢台·开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】（2023年重庆市八年级第三阶段质量检测数学试题）如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，请把这个单词填完整，并说出这个英语单词的汉语意思．
【变式2.1】（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，那么与它成轴对称的图形是数字_____．
【变式2.2】（2023八年级·湖南怀化·期末）如图所示的组图形中，左、右两个图形成轴对称的是第 组．
【变式2.3】（2023八年级·山东烟台·期中）下列图形中，与关于直线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点3 轴对称及轴对称图形的性质】
【例3.1】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．三角形与三角形的周长相等 B．且
C． D．连接，，则，且
【例3.2】（2023八年级·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，连结交直线l于点O，若，，则四边形的周长为 ．
【例3.3】（2023八年级·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
(1)图中点的对应点是点______，的对应边是______；
(2)若，，求的度数．
【变式3.1】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，的度数是 ．
【变式3.2】（2023八年级·全国·假期作业）如图，与关于直线对称．与的交点在直线上．
(1)指出与的对称点；
(2)指出与中相等的线段和角；
(3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，其中，．
(1)线段与的关系是什么？
(2)求的度数；
(3)求的周长和的面积．
【题型2】（2023八年级·山东烟台·期中）以下图形，对称轴的数量最多的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3】（2023八年级·吉林白城·阶段练习）如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·全国·课后作业）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
(1)求出BF的长度；
(2)求∠CAD的度数；
(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
【题型2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．l垂直平分 C． D．
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【考点1 线段垂直平分线的性质】
【例1.1】（2023八年级·陕西榆林·阶段练习）如图，的周长为，垂直且平分，交于点E，交于点D，的周长为，则的长为 ．
【例1.2】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作，交于点，连接，若，的周长为，求的周长．
【例1.3】（2023八年级·湖北随州·期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ．
【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点．若，则的周长为 ．
【变式1.2】（2023八年级·陕西咸阳·期中）如图，在中，垂直平分线段垂直平分线段，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．
【考点2 线段垂直平分线的判定】
【例2.1】（2023八年级·贵州遵义·期中）如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
【例2.2】（2023八年级·湖南长沙·期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（ ）
A．，两边中线的交点处
B．，两边高线的交点处
C．与这两个角的角平分线的交点处
D．，两边的垂直平分线的交点处
【例2.3】（2023·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于．求证：
(1)；
(2)直线是线段的垂直平分线．
【变式2.1】（2023八年级·北京大兴·期中）如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．
【变式2.2】（2023八年级·陕西渭南·期中）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上．
【变式2.3】（2023八年级·上海·阶段练习）如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由．
【考点3 经过直线外一点作已知直线的垂线】
【例3.1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【例3.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式3.1】（2023·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）
【题型2】（2023八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ．
【题型3】（2023八年级·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：
(2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·广东珠海·期末）如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
【题型2】（2023八年级·安徽六安·阶段练习）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)请你判断与的大小关系，并说明理由．
【题型3】（2023八年级·河南南阳·期末）如图，中，是的中点，，，交于，，，则 ．
线段的垂直平分线的作法
如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：
第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点；
第二步：作直线．
点是直线上一点，则线段．
【考点1 线段垂直平分线的尺规作图】
【例1.1】（2023八年级·江西九江·阶段练习）下列尺规作图中，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场中心P到三个小区的距离相等，能确定文化广场中心P的位置的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1.2】（2023八年级·浙江温州·期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例1.3】（2023·福建·一模）如图，中，，点O为边中点，且，．
(1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的面积．
【变式1.1】（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【变式1.2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）折纸：有一张矩形纸片ABCD（如图所示），要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的点D′处，请在图中用尺规作出该直线．（保留作图痕迹）
【考点2 画成轴对称的两个图形（或轴对称图形）的对称轴】
【例2.1】（2023八年级·山东青岛·课后作业）找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴．
【例2.2】（2023八年级·河北邢台·阶段练习）下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（ ）
A．a B．b C．c D．d
【例2.3】（2023八年级·全国·单元测试）如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
【变式2.1】（2023八年级·全国·单元测试）如图，已知扇形OAB与扇形O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．
【变式2.2】（2023八年级·山东青岛·课后作业）如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
【变式2.3】（2023八年级·全国·课后作业）作出下列各图形的一条对称轴.
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M．N作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．20 D．14
【题型2】（2023八年级·陕西榆林·阶段练习）如图，校园有两条路，在交叉路口附近有两块宣传我市创建国家级卫生城市的牌C、D，学校准备再在这里安装一个宣传栏，宣传创建国家级卫生城市的相关知识，要求宣传栏柱子的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出柱子的位置P．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【题型3】（2023八年级·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，请直接在图中仅用直尺，准确画出它的对称轴．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·广东广州·期中）（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果，，则的周长是_______cm．
【题型2】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）如图，平行线是一条灌溉渠道的两岸，是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，那么此桥应该架在何处？请你用直尺和圆规作出桥的位置．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【题型3】（2023八年级·江西抚州·期末）已知，△ABC是等边三角形，请仅使用无刻度的直尺分别画出图1和图2的对称轴．
(1)若△DEF是等腰三角形，A点是DE的中点，且DE∥BC
(2)若△ADE是等腰三角形，四边形BCGF为等腰梯形．
1．（2023·重庆·二模）下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建三明·二模）瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2023八年级·全国·课堂例题）下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八年级·全国·专题练习）如图，和关于直线l对称，l交于点D，若，，，则五边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
5．（2023八年级·广东深圳·期中）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．平分
C．线段垂直平分线段 D．
6．（2023八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ．
7．（2023八年级·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）．
8．（2023八年级·山西太原·阶段练习）如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么的度数为 ．
9．（2023八年级·江苏徐州·期中）下列说法：①任意两条相交直线都组成一个轴对称图形；②等腰三角形最少有条对称轴，最多有条对称轴；③成轴对称的两个三角形一定全等；④全等的两个三角形一定成轴对称．其中正确的有 ．（填序号）
10．（2023八年级·山东临沂·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接．若的面积为9，的面积为12，则四边形的面积为 ．
11．（2023八年级·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？
12．（2023八年级·陕西·专题练习）如图，已知在中，，．请用尺规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
13．（2023八年级·全国·假期作业）如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上．
14．（2023八年级·广东深圳·期中）如图，与相交于点，，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
15．（2023八年级·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，．
(1)尺规作图：
①作边的垂直平分线交于点D；
②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
