北京市翔宇中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（PDF版无答案）

2023--2024 学年度第二学期高一年级数学学科 期中 考试卷
一、单选题：（本题共 15小题，每小题 3分，共 45分。）
1 i
1.已知复数 z ，则在复平面内 z对应的点位于 ( )
i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知平面向量 a (1,1),b (2,3)，则向量 2a 3b ( )
A. ( 7, 4) B. ( 3, 7) C. ( 4, 2) D. ( 4, 7)
3.以下命题中正确的个数是 ( )

①两个相等向量的模相等； ②若 a和b都是单位向量，则 a b；
③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 ( )
A. B. C. D.

5.若 AB (2, 5)， AC ( 1,1)，则CB ( )
A. (3,4) B. ( 4, 3) C. ( 4,3) D. (4, 3)

6.已知 z 2 i，则 z(z i) ( )
A. 6 2i B. 4 2i C. 6 2i D. 4 2i
7.要得到函数 y sin 2x


3 的图象，只需将函数
y sin 2x的图象 ( )


A.向左平移12个单位 B.向右平移12个单位 C.向左平移 6 个单位 D.向右平移 6个单位
8.如图、在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为矩形，PD 底面ABCD
若 AB PD 3， AD 2，则该四棱锥的体积为 ( )
A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
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9. ABC中， a 1，b 3， A 30 ，则 B等于 ( )
A. 60 B. 60 或120 C. 30 或150 D. 120
10.如图，某四边形的斜二测直观图是上底为 2，下底为 4，高为 1的等腰梯形，则原四边形的
面积为 ( )
A. 4 B. 4 2 C. 6 D. 6 2
11.已知向量 a (x, 2),b (2, y),c (2, 4),且 a // c

,b

c ,则 | a b | ( )
A. 3 B. 10 C. 11 D. 2 3

12.如图，在 ABC中，点D在线段 BC上，且 BD 2DC，若 AD AB AC，则 ( )
1 1 2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
13.在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a2 b2 c2 3ac，则角 B为( )
2 5
A. 6 B. 3 C. 3或 D. 或3 6 6
14.在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，且 c 2acosB，则 ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
15.在 ABC中，若 a2 b2 c2 kab，则实数 k的取值范围是 ( )
A. ( 2, 2) B. ( 1,1)
1 1
C. ( , ) D. (0,1)
2 2
二、填空题：（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。）
16.已知复数 z1 3 4i， z2 2 3i，则 z1 z2 ______.

17.已知向量 a (3,4),b ( 6, x),且 a / /b,则实数 x __________.
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18.在 ABC中，若 a 3， c 2， B ，则 ABC的面积为__________.4
19.赵爽是我国古代数学家，大约在公元 222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽
弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示.类比
“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由 3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼
成的一个大等边三角形.在 ABC中，若 AF 1， FD 2，则 AB __________.
20.在如图所示的几何体中，是棱柱的为__________ .(填写所有正确的序号 )
三、解答题：（本题共 6小题，共 40分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。）
21.某组合体的直观图如图所示，它的上部为圆柱体，下部为长方体，试求该组合体的表面积
和体积．
22.已知复数 z (2 mi)(1 i)(m R). （1）若 z是纯虚数，求m的值；
（2）若 z 在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．
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23.在 ABC中， 3a 2bsin A. （1）求 B； （2）若b 7,c 3，求 ABC的面积.

24.已知向量 a (1,2),b ( 3,k).

（1）若 a //b，求 b 的值； （2）若 a a 2b ，求实数 k的值；

（3）若 a 与 b的夹角是锐角，求实数 k的取值范围．
1
25.在 ABC中， a 3， c 5， cos B .
2
(Ⅰ )求 b的值；
(Ⅱ )求 sin(B C )的值．
26.已知函数 f (x)=cos2 x sin 2 x+2 3sin xcos x.
（1）求 f (x)的最小正周期和单调递增区间；

（2）当 x [0, ]时，求 f (x)4 的最值．
附加题：（每题 10 分，共 20 分）
27.求函数 f ( ) 3 cos2 4sin 的值域．
28.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径 r 1，母线长 l 4，M为母线SA上的一个点，且 SM x，
从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 A.求：
（1）绳子的最短长度的平方 f (x)；（2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
（3） f (x)的最大值．
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