北京市东直门中学 2023-2024 学年度第二学期期中考试
高一数学 2024.04
考试时间：120 分钟 总分：150 分
班级： 姓名： 学号：
第一部分
一、选择题：
1.复数 = 2 的虚部是( )
A. 2 B. 1 C. 1 D.
2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( )
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
3.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 cos = cos ，则△ 的形状为
( )
A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
4.下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( )
A. = sin( + 4 ) B. = sin|2 |
C. = D. = cos2 sin2
5.设向量 = ( , )，则“| | = 1”是“ = ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, | | < 的部分图2
象如图所示，则( )
A. = 2, = 6 B. = 2, =
6
C. = 1, = 6 D. = 1, =
3
7.函数 ( ) = 1 2 的图像( )
202404 高一期中考试 1 / 6
A. 关于原点对称 B. 关于 轴对称
C. 关于直线 = 对称 D. 关于点( 2 , 0)对称
8.下列说法正确的是( )
A.棱台的两个底面相似
B.棱台的侧棱长都相等
C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
9.已知点 (3,2)， (6,8)，若 = 3 ，则点 的坐标为 ( )
A. (7,10) B. (9,6) C. (12,20) D. (15,26)
10.由下列条件解△ ，其中有两解的是( )
A. = 20， = 45°， = 80° B. = 30， = 28， = 60°
C. = 14， = 16， = 45° D. = 12， = 10， = 120°
11. 已知边长为 3 的正方形 ABCD ，点 E 是 BC 边上的动点，则 的最大值为
A. 10 B. 274 C. 4 3 D. 9
ωx π＋
12．将函数 f(x)＝cos 4 (ω>0) π的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象，
4
π
，π
若函数 g(x)在 4 上单调递减，则ω的最大值为( )
1 4 3
A. B. C. D．1
2 3 4
第二部分
二、填空题
13.与向量 = (4,3)方向相反的单位向量是 ．
14. 275 215 = ．
15. 在复平面内，复数 z z对应的点的坐标是 1，2 ，则 ＝________.
i
16. 向量 = (2,3)， = ( 4,7)，则向量 在向量 的方向上的投影向量的坐标为 ．
17. 已知矩形 ABCD 中 AB = 2，AD = 1，当每个λ i (i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6)取遍 1 时， 1 +
2 + 3 + 4 + 5 + 6 的最小值是 ，最大值是 ．
202404 高一期中考试 2 / 6
18. 已知 为常数， ∈ [0,2 )，关于 的方程sin2 + = 0 有以下四个结论：
①当 = 0 时，方程有 2个实数根；
②存在实数 ，使得方程有 4个实数根；
③使得方程有实数根的 的取值范围是[ 1,1]；
④如果方程共有 个实数根，记 的取值集合为 ，那么 1 ∈ ，3 ∈ ．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：
19.(本题 10分)
已知函数 ( ) = 3 + ( ∈ )．
(Ⅰ)若 = 1，求 ( 12 )的值；
(Ⅱ)若 = 6，且 ( ) = 0，求 2 ．
20.(本题 10分)
在△ 中， 2 = 2 + 2 2．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 = 2 2， = 3，求 ．
202404 高一期中考试 3 / 6
21.(本题 12分)
已知向量 = (3,2), = ( 1,2)．
(1)求 2 ；
(2)设 , 的夹角为 ，求 cos 的值；
(3)若( + )//(2 )，求实数 的值．
22．(本题 12分)
已知向量 与 的夹角为 45°，且| |＝1，|2 － |＝ 10.
(1)求| |的值；
(2)在△ABC 中 ＝ ， ＝ ，且 ＝2 ，求 .
202404 高一期中考试 4 / 6
班级： 姓名： 学号：
23．(本题 14分)
π
设
0，
＝(2sin x，cos 2x)， ＝(cos x,1)，其中 x∈ 2 .
(1)当 ⊥ 时，求 x 的值；
(2)求 f(x)＝ · 的单调递增区间；
(3)若关于 x 的方程 · = 0 有两个解，求实数 m 的取值范围．
202404 高一期中考试 5 / 6
24.(本题 14 分)在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 = ( 1, 1)， =
( 2, 2)，作： = ， = .当 ， 不共线时，记以 ， 为邻边的平行四边形的面
积为 ( , ) = | 1 2 2 1|；当 ， 共线时，规定 ( , ) = 0．
(Ⅰ)分别根据下列已知条件求 ( , )：
① = (2,1)， = ( 1,2)；② = (1,2)， = (2,4)；
(Ⅱ)若向量 = + ( , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)，
求证： ( , ) + ( , ) = (| | + | |) ( , )；
(Ⅲ)若 ， ， 是以 为圆心的单位圆上不同的点，记 = ， = ， = ．
(ⅰ)当 ⊥ 时，求 ( , ) + ( , )的最大值；
(ⅱ)写出 ( , ) + ( , ) + ( , )的最大值．(只需写出结果)
202404 高一期中考试 6 / 620240425 高一数学期中试卷（第二版）
选择题：
1.复数 = 2 的虚部是( )
A. 2 B. 1 C. 1 D.
【答案】C
2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( )
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
【答案】B
3.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 cos = cos ，则△ 的形状为
( )
A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
4.下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( )
A. = sin( + 4 ) B. = sin|2 |
C. = D. = cos2 sin2
【答案】C
5.设向量 = ( , )，则“| | = 1”是“ = ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
6.已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, | | < 的部分图2
象如图所示，则( )
A. = 2, = 6 B. = 2, =
6
C. = 1, = 6 D. = 1, =
3
【答案】A
7.函数 ( ) = 1 2 的图像( )
A. 关于原点对称 B. 关于 轴对称
C. 关于直线 = 对称 D. 关于点( 2 , 0)对称
【答案】A
8.下列说法正确的是( )
A.棱台的两个底面相似
B.棱台的侧棱长都相等
C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
【答案】A
9.已知点 (3,2)， (6,8)，若 = 3 ，则点 的坐标为 ( )
A. (7,10) B. (9,6) C. (12,20) D. (15,26)
【答案】A
10.由下列条件解△ ，其中有两解的是( )
A. = 20， = 45°， = 80° B. = 30， = 28， = 60°
C. = 14， = 16， = 45° D. = 12， = 10， = 120°
【答案】C
11. 已知边长为 3 的正方形 ABCD ，点 E 是 BC 边上的动点，则 的最大值为
A. 10 B. 274 C. 4 3 D. 9
【答案】D
ωx π＋
12．将函数 f(x)＝cos 4 (ω>0) π的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象，
4
π
，π
若函数 g(x)在 4 上单调递减，则ω的最大值为( )
1 4 3
A. B. C. D．1
2 3 4
【答案】D
填空题
13.与向量 = (4,3)方向相反的单位向量是 ．
【答案】 4 , 3
5 5
14. 275 215 = ．
【答案】 3
2
15. z在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 1，2 ，则 ＝________.
i
【答案】2 i
16. 向量 = (2,3)， = ( 4,7)，则向量 在向量 的方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】(2,3)
17. 已知矩形 ABCD 中 AB = 2，AD = 1，当每个λi (i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6)取遍 1 时， 1 +
2 + 3 + 4 + 5 + 6 的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】0,2 17
18. 已知 为常数， ∈ [0,2 )，关于 的方程sin2 + = 0 有以下四个结论：
①当 = 0 时，方程有 2个实数根；
②存在实数 ，使得方程有 4个实数根；
③使得方程有实数根的 的取值范围是[ 1,1]；
④如果方程共有 个实数根，记 的取值集合为 ，那么 1 ∈ ，3 ∈ ．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：同名三角函数的转化，三角函数与一元二次方程的联系，参数和方程
的根的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题，易错题．
利用同名三角函数将题上方程转化为关于 且含有参数 的一元二次方程进行求解．
【解答】
解：由于关于 的方程sin2 + = 0且 ∈ [0,2 )，
化简为cos2 + ( + 1) = 0，
令 = ∈ [ 1,1]，
则 2 + ( + 1) = 0， 1 + 2 = 1， 1 2 = ( + 1)，且 = 4 + 5．
对于①：当 = 0 5 1时， > 0， = 2 ，又 ∈ [0,2 )，故 有 2个值，故①正确．
对于②：当 > 0 时，若 ∈ ( 1,1)， 就有两个解，又 ∈ [0,2 )， 可能对应有四
个解，故②正确．
对于③：令 = ， ∈ [ 1,1]，则 ( ) = 2 + + 1 要有实数根即： ≥ 0、 ( 1) ≤
0且 (1) ≤ 0；即 4 + 5 ≥ 0、 ≤ 1、 ≤ 1，即 54 ≤ ≤ 1，故③错．
对于④：当 < 0 时，无实数根；当 = 0， 可能有一个解， 可能有 1个或 2个值；
当 > 0 时， 可能有两个不同的值，则 可能有 2个或 3个或 4个值，故④对．
故答案为：①②④．
解答题：
19.(本小题 10分)
已知函数 ( ) = 3 + ( ∈ )．
(Ⅰ)若 = 1，求 ( 12 )的值；
(Ⅱ)若 = 6，且 ( ) = 0，求 2 ．
【答案】解：(Ⅰ)若 = 1，则函数 ( ) = 3 + = 2 ( + 6 )，
∴ ( 12 ) = 2
4 = 2．
(Ⅱ) ∵ = 6， ( ) = 3 + 6 = 0，
∴ 3 = 6 ，∴ = 2，
∴ 2 = 2 1 tan2 = 2 2．
20.(本小题 10分)
在△ 中， 2 = 2 + 2 2．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 = 2 2， = 3，求 ．
2 2 2
【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理得， = + = 2 2 2 =
2
2 ，
∵ ∈ (0, )，
∴ = 4；
(Ⅱ)由正弦定理得， = ，
∴ 2 2 sin = ，4 sin3
∴ = 2 3．
21.(本小题 12分)
已知向量 = (3,2), = ( 1,2)．
(1)求 2 ；
(2)设 , 的夹角为 ，求 cos 的值；
(3)若( + )//(2 )，求实数 的值．
【答案】解：(1)因为向量 = (3,2)， = ( 1,2)，
所以 2 = (6,4) ( 1,2) = (7,2);
(2)由题意得 = 3 × ( 1) + 2 × 2 = 3 + 4 = 1，
| | = 13，| | = 5，
故 cos = · = 1 13× 5 =
65
| || | 65
．
(3)因为向量 = (3,2)， = ( 1,2)，
所以 + = (3,2) + ( 1,2) = (3 1,2 + 2)，
2 = (7,2)．
因为( + )//(2 )，
所以(3 1) × 2 (2 + 2) × 7 = 0．
解得： = 2．
22． (12分)已知向量 与 的夹角为 45°，且| |＝1，|2 － |＝ 10.
(1)求| |的值；
(2)在△ABC 中 ＝ ， ＝ ，且 ＝2 ，求 .
【答案】解 (1)|2a－b|＝ 10，
即 4|a|2－4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，
故|b|2－2 2|b|－6＝0，
解得|b|＝3 2(|b|＝－ 2舍去)．
(2) →因为BD＝2D→C → 1→ 2→，故AD＝ AB＋ AC，
3 3
1→ 2→
A→D·B→
AB＋ AC
C 3 3 ·(A→C A→故 ＝ － B)
1→
＝－ AB2 2＋ A→C2 1→ →－ AB·AC
3 3 3
1 2 1 2
＝－ ×12＋ ×(3 2)2－ ×1×3 2×
3 3 3 2
32
＝ ，
3
→
即AD·B→C 32＝ .
3
23．(本题 14分)
π
0，设 ＝(2sin x，cos 2x)， ＝(cos x,1)，其中 x∈ 2 .
(1)当 ⊥ 时，求 x 的值；
(2)求 f(x)＝ · 的单调递增区间；
(3)若关于 x 的方程 · = 0 有两个解，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1)3
8
(2) 0,
8
(3) 1, 2
24.(本小题 14分)在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 = ( 1, 1)， =
( 2, 2)，作： = ， = .当 ， 不共线时，记以 ， 为邻边的平行四边形的面
积为 ( , ) = | 1 2 2 1|；当 ， 共线时，规定 ( , ) = 0．
(Ⅰ)分别根据下列已知条件求 ( , )：
① = (2,1)， = ( 1,2)；② = (1,2)， = (2,4)；
(Ⅱ)若向量 = + ( , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)，
求证： ( , ) + ( , ) = (| | + | |) ( , )；
(Ⅲ)若 ， ， 是以 为圆心的单位圆上不同的点，记 = ， = ， = ．
(ⅰ)当 ⊥ 时，求 ( , ) + ( , )的最大值；
(ⅱ)写出 ( , ) + ( , ) + ( , )的最大值．(只需写出结果)
【答案】(Ⅰ)解：因为 = (2,1), = ( 1,2)，
且 ( , ) = | 1 2 2 1|，
所以 ( , ) = |2 × 2 1 × ( 1)| = 5；
又 = (1,2), = (2,4)，
是 ( , ) = |1 × 4 2 × 2| = 0；
(Ⅱ)因为向量 = ( 1, 1), = ( 2, 2)，
且向量 = + ( , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)，
则 = ( 1 + 2, 1 + 2)，
所以 ( , ) = |( 1 + 2) 1 ( 1 + 2) 1| = | || 1 2 2 1|，
同理 ( , ) = | || 1 2 2 1|．
所以 ( , ) + ( , ) = (| | + | |) ( , )；
(Ⅲ)( )设 , = ，因为 ⊥ ，
所以 , = 3 2 ，
所以 ( , ) + ( , ) = + sin( 3 2 )，
= = 2sin( 4 )．
当 = 4 2，即 =
3
4 时，
( , ) + ( , )取得最大值 2；
3 3
( ) ( , ) + ( , ) + ( , )的最大值为 ．
2
