沪科版八年级数学上册试题第15章 轴对称图形与等腰三角形 章节测试卷 （含解析）

第15章《轴对称图形与等腰三角形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．用两个全等的含30°角的直角三角板以相等的边为公共边进行不重叠拼图，能拼成几个轴对称图形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（ ）
A．19° B．20° C．24° D．25°
3．如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
5．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为上一点，连接平分交于点，且，，，，则的长为（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．3
7．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（ ）．

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．

12．如图，在中，点，点分别在边，上，，，若，则的度数为 度．
13．如图，在中，为边上的中线，F为上一点，连接交于点E，若，，则______．

14．如图，在直角三角形中，，点D在上，点G在上，与关于直线对称，与交于点E，若，，则的度数是 度．
15．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是 ．
16．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，和都是等边三角形，连接、，延长E交于F点．
(1)证明：．
(2)如果绕点C转动，并且，那么是否随的变化而变化？请说明理由．
18．（6分）在中，，，平分，交于点，点为边上一点，线段，交于点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若，连接，求证：．
19．（8分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

(1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？
(2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个）
20．（8分）如图所示，在中，，平分，过点作于点．
(1)连接，求证：垂直平分；
(2)作平分交于点，连接、，求证：．
21．（8分）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．

22．（8分）在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形．
(1)如图（1），连接，交于点F．
①若，求；
②求证：．
(2)如图（2），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点P．求证：点P是的中点．
23．（8分）在中，，点是射线上的一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过作的平行线，交直线于点连接．

(1)如图甲，若，求证：是等边三角形；
(2)若，
①如图乙，当点在线段上移动，判断的形状，并说明理由；
②当点在线段的延长线上移动，是______三角形．
答案
一．选择题
1．D
【分析】根据轴对称图形的特征进行设计即可；
【详解】根据题意满足条件的图如下：
，
，
，
，
总共有4个；
故选D．
2．B
【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴
∴
∴
∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
故选：B．
3．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到，计算即可．
【详解】解：如图，连接BO并延长至点P，与线段AB交于F，
∵，是、的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
4．B
【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可．
【详解】
由图①知，，
，
故图①能说明；
由图②知射线是的平分线，不能说明；
由图③知，不能说明；
由图④知是的垂直平分线，
．
中，
，
即．
故图④能说明．
故选：B
5．B
【分析】由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，利用三角形外角定理得出，建立方程，即可求的度数．
【详解】解：延长交于点，
∵将沿，翻折，顶点，均落在点处，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
由三角形外角定理可知：，，
∴
即：，
∴ ，
∴，
故选：．
6．B
【分析】由平分，可得，，再由等腰三角形的判定和性质可得，代入数值进行计算即可得到答案．
【详解】解： 平分，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
7．C
【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，
∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；
当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；
当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．
∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．
故选C．
8．B
【分析】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，则可得DB=DH，从而BH=2BE，又可证明△HGB≌△FGD， 则DF=BH，从而可求得DF的长．
【详解】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，如图所示
∵DH∥AC
∴∠BDH=∠ACB
∵∠EDB＝∠ACB
∴∠EDB＝∠BDH
∴∠EDB=∠EDH
∵BE⊥DE
∴∠DEB=∠DEH
∴∠DBE=∠DHE
∴DB=DH
即△DBH是等腰三角形
∴BH=2BE=2×4=8
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠EDB=∠EDH=∠ACB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=90°-∠EDB=67.5°
∴∠HBG=∠EBD-∠ABC=22.5°
∴∠HBG=∠EDH
∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°
∴GB=GD，∠BGD=90°
在Rt△HGB和Rt△FGD中
∴△HGB≌△FGD
∴DF=BH=8
故选：B．
9．C
【分析】先证明得到，，由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由平行线的性质可得，从而得到，再由等边三角形的判定和性质可得，，再由三角形外角的定义和性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：C．
10．D
【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确．
【详解】解：①∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，①正确；
②，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，②正确；
③与②的过程同理得：，
∴，
③正确；
④∵，且，
∴，故④错误；
⑤∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴⑤正确．
故选：D
二．填空题
11．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求得的度数，进而可求解．
【详解】解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
12．
【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】过A点作交的延长线于点G，证明利用证明可得，结合等腰三角形的性质可证，进而可得，再根据，，可求出的长，即可求解．
【详解】解：过A点作交的延长线于点G，

∴，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】由轴对称的性质可得，，利用平行线的性质和对称性质求出，，则，再由，可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由轴对称的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：．
16．13
【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
【详解】如图所示：
一共有13画法，
故答案为：13
三．解答题
17．（1）证明： 和都是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中
，
()．
（2）解：不随的变化而变化，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
，
，
不随的变化而变化．
18．（1）证明：为的平分线，
．
，
．
，
，
，
．
又，
．
（2），，
．
平分，
，
．
，，
，
，，
在和中，
，
．
．
19．（1）如图1所示：M点即为所求．

（2）如图2所示（答案不唯一）．

20．（1）平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
垂直平分．
（2）在和中，
，
，
，
平分，平分，
平分，
，
，
又
，
，
，
．
21．解：如图所示：

22．（1）解： ①，是等边三角形，
，，
又，
，
．
②证明：，是中线，
平分，且，
设，则，
中，，
，
，
在中，，
．
（2）证明一：过点E作于H，
是等边三角形，
，，
中，，，
即，
由（2），
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
又，
，
，，
，
又，
，
，即点P是中点．
证明二：过点G作交于M，
是等边三角形，
，，
中，，，
，
，
由（2），
，
又，是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，即
又，
，
，
又，
，
，即点P是中点．
23．（1）证明：，，，
与均为等边三角形，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形；
（2）①为等腰三角形，
理由如下：
，，
和均为等腰三角形，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
②为等腰三角形，
如图所示：
，
，，
和均为等腰三角形，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
故答案为：等腰．