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第2章 一元二次方程过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x﹣y＝0 B．ax2+2x﹣3＝0
C．x2+2x+5＝x3 D．x2﹣1＝0
【答案】D
【解答】解：A、x2+x﹣y＝0是二元二次方程，不符合题意；
B、当a≠0时，ax2+2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意；
C、方程整理得：x2+2x+5＝x3，是三元一次方程，不符合题意；
D、x2﹣1＝0是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【答案】A
【解答】解：由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4+b＝﹣7，
∴b＝﹣3，
故选：A．
3．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：由题意得：
把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中，
22+2b﹣c＝0，
∴2b﹣c＝﹣4，
∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c）
＝﹣2×（﹣4）
＝8，
故选：A．
4．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故选：C．
5．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10
C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210
【答案】D
【解答】解：根据题意得：
3（x﹣1）x＝6210．
故选：D．
7．某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A．50（1+x）2＝132
B．（50+x）2＝132
C．50（1+x）+50（1+x）2＝132
D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132
【答案】C
【解答】解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50（1+x）2（万个），
则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146，
故选：C．
8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．
故选：D．
9．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10
C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10
【答案】A
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）；
依题意，可列方程为：＝10．
故选：A．
10．将一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2，则一次项系数是（ ）
A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2，
∴一般形式为3x2﹣6x﹣2＝0，
∴一次项系数是﹣6，
故选：A．
11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0
【答案】A
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故选：A．
12．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，
∴2a2＝6a﹣4，
∴2a2﹣6a＝﹣4，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022，
故选：B．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【答案】x1＝0，x2＝1．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
14．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 20% ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，则x1+x2＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，
∴．
故答案为：6．
16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 13 ．
【答案】13．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
17．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 k≤4 ．
【答案】k≤4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k≥0，
解得k≤4，
故答案为：k≤4．
18．代数式a2﹣2a+5的最小值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：a2﹣2a+5
＝a2﹣2a+1+4
＝（a﹣1）2+4，
当a﹣1＝0，即a＝1时，代数式取得最小值，最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解下列一元二次方程．
（1）t2+2t﹣1＝0；
（2）（5x﹣3）2＝（x+2）2．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）t2+2t﹣1＝0，
t2+2t+1＝2，
（t+1）2＝2，
，
解得：；
（2）（5x﹣3）2＝（x+2）2，
（5x﹣3）2﹣（x+2）2＝0，
[（5x﹣3）﹣（x+2）][（5x﹣3）+（x+2）]＝0，
（5x﹣3）﹣（x+2）＝0或（5x﹣3）+（x+2）＝0，
即4x＝5或6x＝1，
解得：．
20．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【答案】（1）见解答；
（2）k的值为3或4．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵△＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为4．
当x＝4时，原方程为：16﹣4（2k+1）+k2+k＝0，
即k2﹣7k+12＝0，解得：k1＝3，k2＝4．
当k＝3时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4．
∵3、4、4能围成等腰三角形，
∴k＝3符合题意；
当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，
∴k＝4符合题意．
综上所述：k的值为3或4．
21．（8分）某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人．
（1）经过第一轮传染后，共有 （2+2x） 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
（2）在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
【答案】（1）（2+2x）；
（2）在每轮传播中，平均一人传染了11个人．
【解答】解：（1）∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴经过第一轮传染后，共有（2+2x）人感染了病毒．
故答案为：（2+2x）；
（2）设每轮传染中平均一个传染了x人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x（2+2x）人，
依题意得：2+2x+x（2+2x）＝288，
整理得：x2+2x﹣143＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去），
答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人．
22．（8分）如图，借助一面墙EF（最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD，在墙BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示），入口不用砌墙，假设有砌60m长墙的材料且恰好用完，设BC的长为x m．
（1）填空：砌AB段墙时，需 m长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；
（2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为多少米？
【答案】（1）；
（2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为12米．
【解答】解：（1）由图可得，
砌BC段墙时，需m长的砌墙材料．
故答案为：；
（2）依题意得，
x ＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为12米．
23．（10分）“杭州亚运 三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．
（1）若降价5元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件篮球服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？
【答案】（1）150件；
（2）10元或20元．
【解答】解：（1）平均每天的销售数量为：100+10×5＝150（件），
答：平均每天的销售数量150件；
（2）设每件商品降价x元，
根据题意，得：（100+10x）（40﹣x）＝6000，
解得：x1＝10，x2＝20，
答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元．
24．（10分）阅读材料，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则根据求根公式可知，，．
由此可得，，
．
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
（1）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 2 ，x1x2＝ ﹣3 ；
（2）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ 2 ；
（3）若m，n满足m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，且m≠n．求的值．
【答案】（1）2，﹣3；
（2）2；
（3）﹣11．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为x1，x2，且方程中的a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴，，
故答案为：2，﹣3．
（2）∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，且方程中的a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴，，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
故答案为：2．
（3）∵m，n满足m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，且m≠n，
∴m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个不相等的根，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝
＝﹣11．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ与AC平行？
（2）△PQB面积能否等于10cm2？请说明理由．
【答案】（1）秒；
（2）不能，理由见解析．
【解答】解：（1）设x秒后，PQ与AC平行，
则AP＝x，CQ＝10﹣2x，
∴，
∴，
解得：，
∴当P，Q分别从A，B同时出发，秒后，PQ与AC平行．
（2）不能，理由如下：
设P，Q分别从A，B同时出发，运动t秒，
则PB＝6﹣t，BQ＝2t，
∴，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于10cm2．
26．（10分）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．
（1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？
（2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？
（3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．
【答案】（1）800元；
（2）每箱饮料售价应定为55元；
（3）该超市不能每月获得880元的利润，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意得：（60﹣2﹣48）×（60+2×10）＝800（元），
答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元；
（2）设每箱饮料降价x元，
由题意得：（60﹣x﹣48）×（60+10x）＝770，
整理得：x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝5，x2＝1（不符合题意，舍去），
∴60﹣x＝60﹣5＝55，
答：每箱饮料售价应定为55元；
（3）该超市不能每月获得880元的利润，理由如下：
设每箱饮料降价y元，
由题意得：（60﹣y﹣48）×（60+10y）＝880，
整理得：y2﹣6y+16＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×16＝36﹣64＜0，
∴此方程无解，
∴该超市不能每月获得880元的利润．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x﹣y＝0 B．ax2+2x﹣3＝0
C．x2+2x+5＝x3 D．x2﹣1＝0
2．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
3．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
4．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
5．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10
C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210
7．某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A．50（1+x）2＝132
B．（50+x）2＝132
C．50（1+x）+50（1+x）2＝132
D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132
8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
9．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10
C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10
10．将一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2，则一次项系数是（ ）
A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2
11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0
12．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 ．
14．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，则x1+x2＝ ．
16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 ．
17．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 ．
18．代数式a2﹣2a+5的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解下列一元二次方程．
（1）t2+2t﹣1＝0；
（2）（5x﹣3）2＝（x+2）2．
20．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
21．（8分）某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人．
（1）经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
（2）在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
22．（8分）如图，借助一面墙EF（最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD，在墙BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示），入口不用砌墙，假设有砌60m长墙的材料且恰好用完，设BC的长为x m．
（1）填空：砌AB段墙时，需 m长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；
（2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为多少米？
23．（10分）“杭州亚运 三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．
（1）若降价5元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件篮球服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？
24．（10分）阅读材料，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则根据求根公式可知，，．
由此可得，，
．
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
（1）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ；
（3）若m，n满足m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，且m≠n．求的值．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ与AC平行？
（2）△PQB面积能否等于10cm2？请说明理由．
26．（10分）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．
（1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？
（2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？
（3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．
