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22.1.3 二次函数y=a(x-h) 2的图象和性质（第2课时）分层作业
基础训练
1．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键．
根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题．
【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意；
C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意；
D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
2．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．开口大小相同
D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当，y随x的增大而减小；
二次函数的开口向下，对称轴是直线，当，y随x的增大而增大；
故选项A符合题意，选项B、C，D不符合题意．
故选：A．
3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：二次函数的对称轴为：，
，
，
当时，，
故选A．
4．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．都有最低点 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
【答案】D
【分析】根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴．
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点，
∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．
5．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为，
在对称轴右侧，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．
6．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：的值为9；
结论Ⅱ：若，则的取值范围是
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
【答案】A
【分析】将代入即可求出t的值，根据题意求出点关于对称轴对称的点是，进而求解即可.
【详解】将代入得，，故结论Ⅰ正确；
∵对称轴为
∴点关于对称轴对称的点是，
∵抛物线中二次项系数，
∴抛物线开口向上，
∴若，则的取值范围是，故结论Ⅱ正确．
综上所述，结论Ⅰ、Ⅱ都对．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（23-24九年级上·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】根据得到顶点是，结合图像即可得到坐标原点；
【详解】解：∵，
∴二次函数顶点是，
由图像可得，顶点在上，
∴点是标原点，
故选C；
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标及图像，解题的关键是熟练掌握的顶点是．
8．（21-22九年级上·西藏拉萨·阶段练习）若抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
【答案】A
【分析】根据抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，即可得到，从而得到答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：∵函数，
∴图象开口向下，对称轴为直线，
∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，
，，，
∵，
∴，
故选：C．
10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值与最小值的和为（ ）
A．8 B．10 C．2 D．0
【答案】A
【分析】根据的顶点坐标为，图象开口向上，可得当，，再分别求解，时的函数值，再比较即可得到最大值，从而可得答案．
【详解】解：∵的顶点坐标为，图象开口向上，
∴当，，
当时，，
当时，，
∴，
∴当时，y的最大值与最小值的和为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的求解二次函数的最大值与最小值是解本题的关键．
11．（21-22九年级上·新疆塔城·期中）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，y随x的增大而 ，对称轴右侧，y随x的增大而 ．
【答案】 向下 直线 增大 减小
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，即可写出各性质进行求解．
【详解】∵抛物线中a=-1＜0，
∴开口向下，对称轴是为直线，顶点坐标是，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
故答案为：向下；直线；；增大；减小．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是．请你写出这个二次函数： ．
【答案】
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，据此可得；
【详解】解：设函数解析式为，根据题意得，，
二次函数解析式是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式．
13．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质．
1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小；
3：该函数的形状与函数的图象相同
甲同学写出几个二次函数表达式：
①②③④
请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ．
【答案】②④/④②
【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可．
【详解】解：①，顶点为，在轴上；，开口向下，当时，随的增大而增大；
开口向上，但与的图象形状相同；
②，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小；
开口向上，与的图象形状相同；
③，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小；
开口向上，与的图象形状相同；
④，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小；
开口向上，与的图象的形状相同；
所以，符合上述3个性质的是②④，
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质．
14．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为，从而确定值，得到二次函数解析式为，将代入即可得到结论．
【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
，即，
二次函数解析式为，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．
15．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知，在抛物线上，则m与n的大小关系是 ．
【答案】
【分析】分别求出，时y的值，可得m，n的值，然后判断即可．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出m，n的值是解题的关键．
16．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，不画图像，回答下列问题．
(1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？
【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为．
(2)当时，y有最大值，最大值是0．
(3)当时，y随x的增大而增大．
(4)抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的．
【分析】（1）本题考查二次函数的图象和性质，根据，抛物线开口向上，，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，即可解题．
（2）本题考查二次函数的最值，根据二次函数开口确定其在顶点处取得最大值，即可解题．
（3）本题考查二次函数的增减性，根据二次函数开口和对称轴，得到二次函数的增减性，得出的取值范围，即可解题．
（4）本题考查二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，掌握规律并灵活运用，即可解题．
【详解】（1）解：抛物线解析式为，且，
抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；
（2）解：抛物线开口向下，
二次函数有最大值，且当时，y有最大值是0．
（3）解：抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而增大；
（4）解：有函数平移规律可知，抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的．
17．（22-23九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线经过点．
(1)求b的值；
(2)判断点是否在此抛物线上？
【答案】(1)16
(2)不在
【分析】（1）只需把点A的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；
（2）只需考虑时抛物线上所对应点的函数值是否等于8，即可解决问题．
【详解】（1）解：抛物线经过点，
；
（2）解：∵当时，，
∴不在此抛物线上．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
能力提升
18．（2021·湖南长沙·二模）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
【答案】B
【分析】根据函数的对称轴为：x=h和的位置关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：x=h，
①当时，x=3时，函数取得最小值1，即，
解得h=4或h=2（舍去）；
②当时，x=1时，函数取得最小值1，即，
解得h=0或h=2（舍去）；
③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立，
综上，h=4或h=0，
故选：B．
【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．
19．（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
【答案】D
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进而求解．
【详解】解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
当p＝q时，m＝＝1，
∵p＜q，
∴m＞1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
20．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
A．由图象可知，若，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，若，，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，若，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，若，当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B、D选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ．
【答案】6或1
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
若，则当时，y最大，即，解得（舍去），；
若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）；
若，则最大值为0，与题意不符；
由上可得，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
23．（2022·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由可得抛物线随值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P，Q所对应的的值即可．
【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)，
当对称轴在点P左侧时，，
把P（3，1）代入得，
解得或(舍去)，
当对称轴在点P右侧时，，
把Q（9，1），代入得，
解得或(舍去)，
∴当时，抛物线与线段PQ有交点，
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随值的变化左右移动是解题的关键．
24．（22-23九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数，当x分别取，时，函数的值相等，则当x取时，函数的值是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，关于对称轴对称，则可得，进而得到，求出当时的函数值即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，
∵，当x分别取，时，函数的值相等，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意得到是解题的关键．
25．（20-21九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
【答案】
【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0），
于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到
（m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=PC=（m-2），
∵PB=n=，
∴（m-2）=，
解得m=，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=，BP=，
∴S△ABC=．
【点睛】本题考查二次函数的性质.
拔高拓展
26．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，点、、、...、在抛物线图象上，点、、、...、在抛物线的对称轴上，若、、...、都为等边三角形（点是抛物线的顶点）且，则的坐标为 ．
【答案】/
【分析】根据二次函数的性质求得的坐标，进而根据，以及等边三角形的性质求得，找到规律，进而求得的坐标．
【详解】如图，过点作
点、、、...、在抛物线的对称轴上，对称轴为
则点、、、...、的横坐标为，
，
，
在抛物线上，
解得
抛物线解析式为：
设，
，
则的纵坐标为，的横坐标为
解得（舍去）或
的纵坐标为，的横坐标为，即
点、、、...、在抛物线上，且在第一象限，
纵坐标为
同理可得的纵坐标为，横坐标为
……
的纵坐标为，横坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标系中点的规律问题，找到规律是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.3 二次函数y=a(x-h) 2的图象和性质（第2课时）分层作业
基础训练
1．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
2．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．开口大小相同
D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大
3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．0
4．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．都有最低点 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
5．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：的值为9；
结论Ⅱ：若，则的取值范围是
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
7．（23-24九年级上·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点 C．点 D．点
8．（21-22九年级上·西藏拉萨·阶段练习）若抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
9．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值与最小值的和为（ ）
A．8 B．10 C．2 D．0
11．（21-22九年级上·新疆塔城·期中）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，y随x的增大而 ，对称轴右侧，y随x的增大而 ．
12．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是．请你写出这个二次函数： ．
13．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质．
1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小；
3：该函数的形状与函数的图象相同
甲同学写出几个二次函数表达式：
①②③④
请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ．
14．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是 ．
15．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知，在抛物线上，则m与n的大小关系是 ．
16．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，不画图像，回答下列问题．
(1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？
17．（22-23九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线经过点．
(1)求b的值；
(2)判断点是否在此抛物线上？
能力提升
18．（2021·湖南长沙·二模）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
19．（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
20．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ．
23．（2022·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是 ．
24．（22-23九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数，当x分别取，时，函数的值相等，则当x取时，函数的值是 ．
25．（20-21九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
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26．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，点、、、...、在抛物线图象上，点、、、...、在抛物线的对称轴上，若、、...、都为等边三角形（点是抛物线的顶点）且，则的坐标为 ．
