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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第3课时） 分层作业
基础训练
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小
C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：对于二次函数的图象，
∵，对称轴为直线，顶点为，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，图象有最高点，其坐标是，
故选项A、C、D错误，选项B正确．
故选：B
2．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线,
∵当时，随的增大而减小，
∴
故选：C
3．（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
由二次函数的图象可得：，，
，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
4．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即；
故选：D．
5．（2023·内蒙古赤峰·一模）若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，直线经过一、二、四象限可判断的符号，再由抛物线求顶点坐标，判断象限，即可求解；熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：直线经过一、二、四象限，
∴，
∴抛物线的顶点必在第二象限，
故选：．
6．（2023·江苏淮安·二模）若抛物线过点，，则的值不可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．把点和点坐标分别代入解析式得到方程组，消去得到可解得，然后利用得到的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．
【详解】解：把、分别代入得，
②①得，
解得，
所以，
所以的值不可以是4．
故选：D
7．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴点关于对称轴对称的点坐标为，
∵，
∴，
故选：A．
8．（23-24九年级上·辽宁·阶段练习）如图，抛物线与相交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则的值为（ ）
A．6：5 B．5：4 C．3：2 D．4：3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数的性质，利用抛物线的对称性计算出和，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
又
∴，，
∴，
故选：C．
9．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）若二次函数图象的顶点坐标在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的顶点，解答本题的关键是明确题意，准确得出二次函数的顶点坐标解答．根据题目中的解析式可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以列出相应的不等式，求出的取值范围．
【详解】解：抛物线的顶点在第四象限，
该抛物线的顶点坐标为，
，
解得，
故选：D．
10．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为 ．
【答案】1
【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答；
根据二次函数的对称性解答即可；
【详解】解：轴，，
∴关于对称轴对称，
，
，
，
∴，
到x轴的距离为，
故答案为：1．
11．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的表达式为，当时，函数有最大值，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数顶点式等．根据题意可知对称轴，分三段区间对抛物线增减性最值进行求解即可得出本题答案．
【详解】解：∵，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，时取最大值，此时；
当时，时取最大值，此时，
当时，时取最大值，此时，
综上所述：的最小值为．
故答案为：．
12．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线形状相同，开口向上，
∴所求抛物线的．
∵顶点为，
∴所求抛物线为．
故答案为：．
13．（2023九年级下·全国·专题练习）若使抛物线的图象与直线没有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向和顶点坐标即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线顶点为，开口向下有最大值，抛物线图象与直线没有交点，
，
故答案为：．
14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式得出该抛物线的顶点坐标为，根据题意可得顶点在轴上，即可求解．
【详解】解：抛物线与轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为，
顶点位于轴上．
．
解得．
故答案为：．
15．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数，当x分别取时，函数值相等，则当时，函数值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，求得顶点坐标是解题的关键．根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为
当x分别取时，函数值相等，
对称轴
当时，函数值为3，
故答案为：3
16．（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）根据二次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）解：二次函数，当时有最高点，
∴，
∵此函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，，
∴当时，y随x的增大而减小．
能力提升
17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质和一次函数的性质．利用二次函数的性质表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质求解．
【详解】解：由题意得二次函数，开口向下，且对称轴为，
当时，y随x增大而增大，，
即是m的一次函数，
∵，则，
∴一次函数呈上升趋势．
则有最小值，没有最大值．
故选：C．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数的正负情况分情况讨论．分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：①时，二次函数图象开口向上，
，
，
无法确定的正负情况，
，
②时，二次函数图象开口向下，
，
，
无法确定的正负情况，
，
综上所述，表达式正确的是，
故选：D
19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当时，二次函数有最大值，则实数的值为( )
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，
①时，取得最大值，
解得；
②时，取得最大值为，不合题意；
③时，取得最大值，，
解得．
故选：C．
20．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线，
∴当时，当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大
∴当时，当时，
当时，
∴，
解得
当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少
∴当时，当时，
当时，
∴
解得
故选：C．
21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）对于任何的实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先把解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可．
【详解】解：，
当，即时，的值与无关，，
所以，抛物线总经过一个固定的点．
故答案为：．
22．（2023·江苏常州·一模）如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点、的关系，是本题的突破点．直线绕原点逆时针旋转得到，求得抛物线与轴的交点，绕原点顺时针旋转得到，由，即可求解．
【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到，
设抛物线与轴的交点为，
抛物线，
时，，
，
设点，
由题意得：，
，
，
点的坐标为
故答案为：
23．（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．设，则，由的面积为2，得出，即可根据抛物线的对称性得出，，把代入解析式即可求得，进一步得到．
【详解】解：设，
，
，
，
点，的面积为2，
，
，
，，
抛物线为，
把代入得，，
解得，
，
故答案为：2．
24．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解．
【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线
两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度，
的顶点为或，且
∴该抛物线的解析式为或．
故答案为：或
25．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 .
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，正确理解二次函数的增减性和对称性是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，根据二次函数的增减性，的取值范围；当时，抛物线开口向下，A，B两点在对称轴的两侧，根据来比较它们与对称轴的距离大小，即得答案．
【详解】二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大，若，则若，解得；
当时，抛物线开口向下，，所以点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，由离对称轴越近函数值越大，得：点B离对称轴更近，所以，解得，故m的取值范围为；
综上所述，的取值范围为或．
故答案为：或．
26．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在正方形中，已知点，点，
（1）点的坐标为 ．
（2）当二次函数与正方形有公共点时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质以及图象上点的坐标特征，
（1）根据正方形与坐标的关系解答即可；
（2）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得抛物线顶点所在直线方程，再由抛物线开口向上可得抛物线经过点时满足题意．
解题关键是准确的分析出图形中的点与坐标的关系．
【详解】解：（1）∵在正方形中，已知点，点，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为；
故答案为：；
（2），
抛物线开口向上，顶点坐标为，
抛物线顶点在直线上，
如图，当抛物线顶点在轴左侧，抛物线经过时，的值最小．
把代入得，
解得（舍或，
故答案为：．
27．（21-22九年级上·山东德州·期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴，
∴；
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
拔高拓展
28．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
（1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ．
（2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线图像的性质，解一元二次方程，掌握抛物线的轴对称性，利用其对称性，求相应点的坐标是解答本题的关键．
（1）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到．
（2）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到．
【详解】解：（1）抛物线中，
令，则，
对称轴，顶点
对称轴与轴交于点的坐标是，
，
正方形中，,是对角线
，
由题意知，点，关于对称轴轴对称，
，或，
将代入抛物线中，
得，解得．
故答案为
（2）抛物线中，
令，则，
对称轴，顶点
对称轴与轴交于点的坐标是，
，
正方形中，,是对角线
，
由题意知，点，关于对称轴轴对称，
，或，
将代入抛物线中，
得，
解得，（舍去）；
故答案为．
29．（2022·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求a的值；
(3)若，请直接写出h的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）把点A，B，C三点横坐标代入可求出，再根据两点间距离公式可求出，从而可求出的值；
（2）方法同（1）得，即，求出a的值即可；
（3）方法同（1）得出，从而可判断出h的取值范围．
【详解】（1）当，时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，
当时，；
当时，；
∴
∴，
∴，
∴的值为1；
（2）当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，
当时，；
当时，；
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴的值为；
（3）由（1）可知，当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴点离抛物线的对称轴最远，
∴h的取值范围是
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
30．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．
(1)求抛物线的对称轴及k值；
(2)求点A和点B的坐标；
(3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标．
【答案】(1)对称轴为直线；
(2)点坐标为点坐标为
(3)点坐标为
【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解；
（2）令，求出x的值即可求解；
（3）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，
把代入，
得，
∴；
（2）对于，令，则，
解得，
∴点坐标为点坐标为；
（3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点点A，连接，交对称轴于点，如图1，
∵两点之间，线段最短，
∴的最小值为的长，则点即为所求；
设直线的关系式为：，把代入
得：
解得，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点坐标为中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第3课时） 分层作业
基础训练
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小
C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是
2．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
4．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·一模）若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2023·江苏淮安·二模）若抛物线过点，，则的值不可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
7．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·辽宁·阶段练习）如图，抛物线与相交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则的值为（ ）
A．6：5 B．5：4 C．3：2 D．4：3
9．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）若二次函数图象的顶点坐标在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为 ．
11．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的表达式为，当时，函数有最大值，则的最小值是 ．
12．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为 ．
13．（2023九年级下·全国·专题练习）若使抛物线的图象与直线没有交点，则的取值范围是 ．
14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
15．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数，当x分别取时，函数值相等，则当时，函数值为 ．
16．（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小
能力提升
17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当时，二次函数有最大值，则实数的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
20．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）对于任何的实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点坐标是 ．
22．（2023·江苏常州·一模）如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为 ．
23．（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ．
24．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ．
25．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 .
26．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在正方形中，已知点，点，
（1）点的坐标为 ．
（2）当二次函数与正方形有公共点时，的最小值为 ．
27．（21-22九年级上·山东德州·期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
拔高拓展
28．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
（1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ．
（2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ．
29．（2022·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求a的值；
(3)若，请直接写出h的取值范围．
30．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．
(1)求抛物线的对称轴及k值；
(2)求点A和点B的坐标；
(3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标．
