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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第一课时) 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大
B．图象的顶点坐标为
C．当时，y有最大值
D．图象与x轴有两个交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、当时，，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值，故本选项正确，符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若二次函数 的图象经过 三点， 则的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故选：D．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将抛物线：向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线：．则下列关于抛物线的解析式中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，抓住点的平移规律是解题的关键．
根据题意向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线解析式即可．
【详解】解：由题意可知：将向右平移2个单位后得，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到；
故选A．
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）抛物线的图象如图所示，则m的值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质．将抛物线配方后可得顶点坐标，由图象可知抛物线的顶点在第一象限，所以，由此可得结果．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为：，
由图象可知：抛物线的顶点在第一象限，
，
，
观察四个选项，D选项符合题意，
故选：D．
5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若抛物线经过点，则b的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把代入后解方程求出b的值.
【详解】解：把代入得，
解得
故选：C
6．（2023·浙江·模拟预测）有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案．
【详解】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，
把，代入得：
，
解得，
；
故选：B．
7．（2023·四川绵阳·一模）二次函数的图像如何平移就能得到的图像（ ）
A．向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移5个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移5个单位
【答案】D
【分析】
本题考查函数图像平移，根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合题中所给抛物线的顶点式直接按要求平移即可得到答案
【详解】∵二次函数的图像向右移动2个单位，再向下移动5个单位得到，
故选：D
8．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线有最高点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟练的利用函数的图象有最高点是解本题的关键．根据函数的图象有最高点可知二次函数的二次项系数即可求得答案．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴，
即．
故选：B．
9．（21-22九年级上·河北邢台·期末）二次函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图像，根据解析式得到顶点，与y轴的交点判断即可得到答案；
【详解】解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，
，
∴抛物线过点，
故选：A．
10．（2023九年级下·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值
D．有最大值2，无最小值
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，准确识图是解题的关键．根据二次函数的最值问题，结合图形解答即可．
【详解】解：观察图象可得，在时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值，
故选：A
11．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数化成形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数化为顶点式：；利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以，．
故答案为：．
12．（23-24九年级上·重庆江津·期中）抛物线经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质 ，已知式子的值，求代数式的值，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．
把点代入得出a、b的关系式，再代入即可得解．
【详解】解：把点代入
得：，
化简得：，
故答案为：．
13．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）把抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是，则 ．
【答案】11
【分析】因为抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是，所以向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线的图象，先由的平移求出的解析式，再求．主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
【详解】解：∵，当向左平移3个单位，
再向上平移2个单位后，可得抛物线的图象，
∴；
∴,
故答案为：11．
14．（2023·吉林白山·模拟预测）若点在抛物线上，则的最大值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到的最大值，本题得以解决．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值，为，
故答案为：．
15．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．
【答案】；
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：拋物线交轴于两点，故设抛物线解析式为，
∵，
∴，
把点C坐标代入中，得，
∴，
∴，
化为一般式为：；
∵，
∴，
由勾股定理得：．
16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式．
【答案】或
【分析】本题考查了抛物线解析式的计算，设，把代入，确定a值即可．
【详解】∵抛物线过点，且顶点为，
∴设，
∴，
解得，
故抛物线解析式为或．
17．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过点和．求b，c的值及此抛物线的顶点坐标、对称轴．
【答案】；，顶点坐标为、对称轴为直线
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，一般式化成顶点式，二次函数的性质．
用待定系数法求出抛物线解析式，即可求得b、c值，再将一般式化成顶点式即得出顶点坐标与对称轴．
【详解】解：把点和代入，可得：
，
解得：，
所以抛物线为，
所以此抛物线的顶点坐标为、对称轴为直线．
18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
【答案】能；，沿y轴方向向下平移个单位
【分析】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式；抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有，将代入即可求解；掌握平移规律和解法是解题的关键．
【详解】解：能；理由如下：
设抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有
，
抛物线经过点，
，
解得：，
，
即m沿y轴方向向下平移个单位；
故平移后新的抛物线对应的函数表达式为，沿y轴方向向下平移个单位．
能力提升
19．（2024·陕西西安·一模）对任意实数x，二次函数满足，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用特值法解决填空或选择题是解本题的关键；由题意可得，可令即可得到答案．
【详解】解：由题意，∵，
又对于任意x都有，，
∴．
∴可令得，．
∴．
故选：C．
20．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）已知函数的图像过，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将A、B两点的坐标代入得出关于a、b、c的方程组，将a看作常数解此方程组得，将其代入得，结合二次函数的图象与性质知，据此得出a的范围，继而可得的范围，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
故选：B．
21．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了二次函数的性质，以及对称的性质，首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得的解析式，与二次函数的对称轴的交点就是P，确定P的位置是本题的关键．
【详解】
解：如图，连接．
在中，令，则，
解得：或．
则的坐标是，的坐标是，
则对称轴是直线．
令，则，
则的坐标是．
设经过A和的直线的解析式是．
根据题意得：，
解得：，
则的解析式是，
令，则．
则的坐标是 ．
故选：．
22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最大值为
B．当时，函数y的最大值为
C．当时，函数y的最大值为
D．当时，函数y的最大值为
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可．
【详解】解：由题意，令，
∴，
∴．
∴二次函数与x轴的交点坐标是．
∴二次函数的对称轴是：直线．
∵，
∴y有最大值．
当，y最大，
即
当时，函数y的最大值为；
当时，函数y的最大值为．
综上，D选项正确．
故选：D．
23．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而根据三角形面积计算公式得到，据此求出时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解；把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，此时方程无解，
在中，当时，解得或，
∴点B的坐标为或．
拔高拓展
24．（2023·浙江杭州·二模）设二次函数（m为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解一元一次不等式组，先将点代入函数解析式，进而求出的值，再根据题干给的条件，列出不等式组，求解后逐一进行判断即可．
【详解】解：将代入得．
将代入得，
将代入得，
将代入得，
∴，
，
∴；
若，且，则，且，
∴，
解得，
若，且，则，且，
∴，
解得，
若，且，则，
∴，
解得，
若，且，则，
∴，
解得，
故选：C．
25．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】先求出，，，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
∴；
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，；
过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图，
∴，，
∵，，
∴四边形是正方形，且，
∴点O与点T关于直线对称，
∴，
∴，
∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，
∵，，
∴的最小值，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键．
26．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若时，直线与图象有三个交点，求的值；
(3)若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法即可求得；
（）利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
（）求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，
，
∴，
由，
解得；
综上，的值是或；
（3）解：将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，得到，
令，则，
由，
∴，
由，解得，
∴若直线与图象有四个交点，的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，运用分类讨论思想解答是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第一课时) 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大
B．图象的顶点坐标为
C．当时，y有最大值
D．图象与x轴有两个交点
2．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若二次函数 的图象经过 三点， 则的关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将抛物线：向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线：．则下列关于抛物线的解析式中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）抛物线的图象如图所示，则m的值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若抛物线经过点，则b的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．3
6．（2023·浙江·模拟预测）有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·四川绵阳·一模）二次函数的图像如何平移就能得到的图像（ ）
A．向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移5个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移5个单位
8．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线有最高点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（21-22九年级上·河北邢台·期末）二次函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九年级下·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值
D．有最大值2，无最小值
11．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数化成形式为 ．
12．（23-24九年级上·重庆江津·期中）抛物线经过点，则的值为 ．
13．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）把抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是，则 ．
14．（2023·吉林白山·模拟预测）若点在抛物线上，则的最大值等于 ．
15．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．
16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式．
17．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过点和．求b，c的值及此抛物线的顶点坐标、对称轴．
18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
能力提升
19．（2024·陕西西安·一模）对任意实数x，二次函数满足，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）已知函数的图像过，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最大值为
B．当时，函数y的最大值为
C．当时，函数y的最大值为
D．当时，函数y的最大值为
23．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标．
拔高拓展
24．（2023·浙江杭州·二模）设二次函数（m为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
25．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是 ．
26．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若时，直线与图象有三个交点，求的值；
(3)若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围．
