河北省孟村回族自治县王史中学2023-2024学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1-6小题各3分，7-16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·孟村开学考）规定：（2）表示上升2个台阶记作+2，则（4）表示下降4个台阶记作（ ）
A．+4 B．-4 C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 规定：（2）表示上升2个台阶记作+2，则（4）表示下降4个台阶记作 -4.
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示.
2．（2024九下·孟村开学考）借助圆规可以比较线段与的大小，如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法确定与的大小
【答案】C
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：由图形得：AB＜AC.
故答案为：C.
【分析】根据叠合法即可得解.
3．（2024九下·孟村开学考）是的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：÷=÷=2.
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的除法法则计算即可.
4．（2024九下·孟村开学考）一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：大矩形的面积=ay+ax+bx+by=a(x+y）+b(x+y）=(x+y)(a+b)，
故答案为：C.
【分析】大矩形的面积=四个小矩形的面积之和，据此求解并判断即可.
5．（2024九下·孟村开学考）如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，为使其稳定，新增的木条的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：在△ABD中，7-5＜BD＜7+5，即2＜BD＜12，
在△BCD中，8-3＜BD＜8+3，即5＜BD＜11，
∴5＜BD＜11，
∴C项符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的三边关系确定BD的范围，据此判断即可.
6．（2024九下·孟村开学考）将两个实数用科学记数法表示为，下列正确的是（ ）
A．M，N均为正数 B．M，N均为负数
C．M是正数，N是负数 D．M是负数，N是正数
【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数；还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=-3000，=0.002，
∴M是负数，N是正数 .
故答案为：D.
【分析】将M、N表示出原数，继而判断即可.
7．（2024九下·孟村开学考）根据图中嘉淇和小宇的对话，可以判断他们共同搭的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
B、只有5个小正方体，故不符合题意；
C、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
D、从正面看到和左面看到的一样，都是，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别确定各项中左视图和主视图的形状，再判断即可.
8．（2024九下·孟村开学考）一个不透明的口袋里有4个黄球和4个红球，除颜色不同外其余均相同，将所有球混合均匀后随机摸出1个球，要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性，可以在摸球之前（ ）
A．拿出2个黄球 B．拿出2个红球 C．放入2个白球 D．放入2个红球
【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解： 要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性， 即是黄球的数量要多于红球的数量，
∴可以放入2个黄球或拿出2个红球 .
故答案为：B.
【分析】当袋中只有两种球的情况下，哪种颜色的球多，摸到哪种球的可能性大，据此解答即可.
9．（2024九下·孟村开学考）在如图所示的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC边的中点，利用△ABC在网格中作平行四边形ABCD，甲和乙给出了如下方案：
甲：作点B关于点O的对称点D，连接AD，CD；
乙：将△ABC绕点O旋转180°得到△EDF，其中，点A的对应，点B为点E，点B的对应点为点D，点C的对应点为点F图5对于甲、乙两个方案，判断正确的是（ ）
A．两个方案都可行 B．两个方案都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣对称；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵O是AC边的中点 ，
∴OA=OC，
甲：由对称性知：OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故甲方案正确；
乙：由旋转的性质可得OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故乙方案正确.
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别证明即可.
10．（2024九下·孟村开学考）如图，直线，△ABC是等边三角形，若∠α=20°，则∠B=（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥l1，则BD∥l1∥l2，
∴∠1= ∠α=20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠2=∠ABC-∠1=40°，
∵BD∥l2，
∴∠3=180°-∠2=140°，
∴β=∠3=140°.
故答案为：B.
【分析】过点B作BD∥l1，则BD∥l1∥l2，由平行线的性质求出∠1、∠3的度数，再利用对顶角相等即可求解.
11．（2024九下·孟村开学考）图是一种正方形ABCD轨道示意图．现有两个机器人P，Q（看成点）从点A同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C和A→D→C．若移动时间为x，两个机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解： ∵两个机器人P，Q（看成点）从点A同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动
∴ 从A→B和A→D时， 两个机器人之间的距离为y随x的增大而增大，分别到达B和D时y最大，然后
从B→C和D→C时， y随x的增大而减小，至为0，
∴B项符合题意；
故答案为：B.
【分析】由题意知：从A→B和A→D时， 两个机器人之间的距离为y随x的增大而增大，分别到达B和D时y最大，然后从B→C和D→C时， y随x的增大而减小，至为0，据此判断即可.
12．（2024九下·孟村开学考）如图，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，要使∠AOC=∠AOB，关于弧②的画法及作图依据，下列说法正确的是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧②
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧②
C．使∠AOC=∠AOB的依据是SSS
D．使∠AOC=∠AOB的依据是SAS
【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步以点E为圆心，EF的长为半径画弧②，第三边画射线OC，
由作图知：OD=OE=OF，DE=EF，
∴△ODE≌△OEF（SSS），
∴∠AOC=∠AOB.
故答案为：C.
【分析】用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步以点E为圆心，EF的长为半径画弧②，第三边画射线OC，据此逐项判断即可.
13．（2024九下·孟村开学考）已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为，图是该容器的一个最大纵截面，则该截面⊙O中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；弧长的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OH⊥AB，则AH=BH，
∵ 容器内液面的面积为，
∴π·AH2=27π，
∴AH=，
∴sin∠AOH=，AB=2AH=，
∴∠AOH=60°，OH=OA=3，
∴∠AOB=120°，
∴ 阴影部分的面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积=-××3=2，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB，则AH=BH，由容器内液面的面积为可求出AH，继而得出AB的长，由锐角三角形函数得出∠AOH=60°，即得∠AOB=120°，根据阴影部分的面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积进行计算即可.
14．（2024九下·孟村开学考）将双曲线与轴、轴之间的区域记为（不包括坐标轴与双曲线），若区域内整点（横、纵坐标均为整数）的个数不少于5个，则的值可以是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：第一象限内靠近坐标轴的整数点为：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（3，1），
∵ 区域内整点（横、纵坐标均为整数）的个数不少于5个，
∴k＞3，
观察四个选项只有 ＞3.
∴k值可以是.
故答案为：D.
【分析】先写出第一象限内靠近坐标轴的整数点，再进行判断即可.
15．（2024九下·孟村开学考）有一等腰三角形ABC纸片，AB=AC，沿图中三条虚线将该三角形纸片进行裁剪，相关数据如图所示，裁剪后得到甲、乙、丙、丁四个部分，其中面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，EF⊥BC，GH⊥AD，BF=5，DF=2，AG=2，DG=1，
∴CD=BD=BF+DF=7，∠C=∠B，AD=AG+DG=3，EF∥AD，GH∥BC，
∴∠AHG=∠C=∠B，
∴tan∠AHG=tanB=，
在Rt△BEF中，EF=BF·tanB=5×=，
在Rt△AGH中，GH==，
∴甲的面积=△BEF的面积=BF·EF=×5×=，
乙的面积=梯形AEFD的面积=（EF+AD）·DF=×(+3)×2=，
丙的面积=△AGH的面积=GH·AG=××2=，
丁的面积=梯形CDGH的面积=（GH+CD）·DG=×(+7)×1=，
∵＞＞＞.
∴面积最大的是丁.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的性质可得CD=BD=7，tan∠AHG=tanB=，再利用解直角三角形求出EF、GH，利用三角形的面积及梯形的面积公式分别求出甲、乙、丙、丁四个部分的面积，再比较即可.
16．（2024九下·孟村开学考）题目：“已知二次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，将抛物线位于直线下方的部分翻折至直线上方，将这部分图象与拋物线剩余部分组成的新图象记为．若图象与轴有4个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．乙、丙答案合在一起才完整
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 翻折后图象与轴有4个交点，
∴m＜0，
∵ 二次函数=（x-1）2+m-1 ，
∴顶点坐标为（1，m-1），
∴顶点坐标为（1，m-1） 关于直线的对称点为（1，m+1） ，
∵ 翻折后的图象与原图象开口相反，
∴翻折后二次函数为y=（x-1）2+m+1 ，
∴m+1＞0，解得m＞-1，
∴-1＜m＜0，
∴只有乙答的对 .
故答案为：B.
【分析】结合二次函数的图象，知m＜0，然后求出其顶点坐标，再求出顶点坐标为（1，m-1） 关于直线的对称点为（1，m+1） ，根据翻折的特点写出翻折后的解析式，继而求解.
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，1819小题各4分，每空2分）
17．（2020·皇姑模拟）计算： .
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】
故填： .
【分析】根据同底数幂的除法即可求解.
18．（2024九下·孟村开学考）已知分式为常数）满足表格中的信息．
根据表中的数据，写出的值为 ，的值为 ．
2 0.5
分式的值 无意义 0 3
【答案】-1；5
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由表格数据知：当x=2时，分式无意义，
∴2-b=0，解得b=2，
当x=0.5时，=0，
∴，解得a=-1；
分式为，
当x=c时，分式值为3，
∴=3，解得c=5.
故答案为：-1，5.
【分析】根据表格中数据当x=2时，分式无意义，确定b值，当x=0.5时分别是值为0，可确定a值，从而得出分式，利用当x=c时，分式值为3可求出c值.
19．（2024九下·孟村开学考）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．珍珍想用一把刻度尺测量出螺纹直径，已知刻度尺紧贴螺纹（刻度尺与相切），经过点且交于点．
图1图2
（1）正六边形ABCDEF的外角和为 °；
（2）若测得正六边形ABCDEF的边长为6，AP长为，则螺纹的直径为 ．
【答案】（1）360
（2）
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵多边形的外角和为360°，
∴ 正六边形ABCDEF的外角和为360°.
故答案为：360°.
（2）如图，过点P作PG⊥AB，连接AD，OP，设AP与相切于H，连接OH，则OH⊥AP，
∵ 正六边形ABCDEF的边长为6，
∴AB=6，∠ABP=120°，
∴∠PBG=60°，∠BPG=30°，
∴PG=BG，
∵AG2+PG2=AP2，
∴（6+BG）2+（BG）2=（ ）2，解得BG=
∴PB=2BG=3，
∴BP=CP=3，
∴OP⊥BC，OP=BP=3，
∵AD∥BC，
∴OP⊥AD，
∴△AOP的面积=OA·OP=OH·AP，即6×3=OH，
∴OH=，
∴ 螺纹的直径为2OH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据多边形的外角和为360°进行解答即可；
（2）过点P作PG⊥AB，连接AD，OP，设AP与相切于H，连接OH，则OH⊥AP，先求出BP=CP=3，由△AOP的面积=OA·OP=OH·AP可求出OH，利用螺纹的直径为2OH继而得解.
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024九下·孟村开学考）如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C，D所表示的数字分别为a，b，c，d．
（1）当点C为原点时，求a+b+c+d的值；
（2）若a+b=-20，求d的值．
【答案】（1）解：当点为原点时，由数轴可得，，，，，
此时；
（2）解：，，
，
，，
解得．
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】（1） 当点为原点时，由数轴可得，，，， 再代入计算即可；
（2）由数轴得，，从而得出，据此求出d值即可.
21．（2024九下·孟村开学考）有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图1所示，其面积分别为，．
图1图2
（1）请用含m的式子分别表示、；当m=2时，求的值；
（2）若再开辟一块正方形草地，记为丙草地，如图2，其面积为，其周长与乙草地的周长相等．
①丙草地的边长为 （用含m的代数式表示）；
②请比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
当时，；
（2）解：①②解：．理由：，，.
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（2）① 丙草地的周长为2（m+4+m+6） =4m+20，
∴ 丙草地的边长为(4m+20）=m+5.
故答案为：m+5.
【分析】（1）根据矩形的面积公式分别列式，再将m值代入计算即可；
（2）① 由丙草地周长与乙草地的周长相等求出其周长，再利用正方形的性质求其边长即可；
②分别求出与，利用作差法比较大小即可.
22．（2024九下·孟村开学考）某校为了解学生校外的劳动表现，对全校学生进行了问卷调查，让每位学生的家长对自家孩子打分，满分为10分（分数均为整数）．劳动老师从全部的问卷中随机抽取了80份，如下是家长所打分数的频数统计表．
分数（分） 5 6 7 8 9 10
频数 4 8 20 24 16 8
（1）求被抽取的家长们所打分数的平均数、中位数和众数；
（2）劳动老师从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的80份合在一起，重新计算后，发现家长所打分数的平均数提高了至少0.15%，求劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为几分？
【答案】（1）解：家长们所打分数的平均数为：
（分），
家长们所打分数从小到大排序后第40个和第41个均为8分，所以中位数为（分），有24位家长所打分数为8分，人数最多，所以众数为8分；
（2）解：设劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为分，依题意，得，
解得，
为整数，的最小值为9，即劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为9分．
【知识点】一元一次不等式的应用；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别求解即可；
（2）设劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为分， 根据“ 发现家长所打分数的平均数提高了至少0.15% ”列出不等式并求其最小整数解即可.
23．（2024九下·孟村开学考）如图1，篮球场上，一名身高为1.85m的运动员跳起投篮，当跳离地面的高度为0.25m时，球在头顶上方0.15m处出手，然后准确落入篮筐，篮球（看成点）的运动路径为抛物线L的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m，当球与篮筐中心的水平距离为1.5m时，球达到最大高度3.5m．
图1图2
（1）求：①运动员投球的出手高度；
②抛物线L的解析式；
（2）图2为篮球场平面示意图，在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为6.75m，请通过计算判断运动员此次投篮的得分．
【答案】（1）解：①依题意，0.25+1.85+0.15=2.25（m），
则运动员投球的出手高度为2.25m；
②设抛物线的解析式为，
抛物线经过篮筐（0，3.05），
把代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，得，解得，，
，，又，
运动员投篮时站在三分线内，运动员此次投篮的得分为2分．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①根据运动员投球时的位置直接列式计算即可；
②利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
（2）利用②中解析式，求出时x值，再比较即可.
24．（2024九下·孟村开学考）如图，⊙O的半径为2，点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．过点D作⊙O的切线DG交AE的延长线于点G．
（1）连接DE，判断DE与AG的位置关系，并说明理由；
（2）求线段DG与的长度，并比较大小；
（3）若点P是⊙O上任意一点，连接PG，直接写出PG长的最小值．
【答案】（1）解：，
理由：连接，是半圆弧，是直径，
，即；
（2）解：连接，，点，是的六等分点，
，
的长度为，，，
又与相切于点，，
在中，，
，，
；
（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）连接OG交⊙O于点P，此时PG最小，
在Rt△ODG中，OD=2，DG=，
∴OG==，
∴PG=OG-OP=-2.
【分析】（1）由点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，可得是半圆弧 ，从而得出AD是直径，利用直径所对的圆周角是直角即得结论；
（2）利用弧长公式求出的长度，利用解直角三角形求出DG的长，再比较即可；
（3）连接OG交⊙O于点P，此时PG最小，利用勾股定理求出OG的长，利用PG=OG-OP即可求解.
25．（2024九下·孟村开学考）对于平面直角坐标系内的点，将某点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度的运动称为点的斜平移．例如：点P（2，3）经过1次斜平移后得到，点Q（3，5）．
（1）设直线l经过上述的点P，Q，
①求l的解析式并在图中直接画出直线l的图象；
②若点P经过m次斜平移后得到点的坐标为（x，y），用含m的式子分别表示x，y，并分析点（x，y）是否在直线l上；
（2）已知点A（-4，-4），点A经过n次斜平移后得到点B，点B关于直线l的对称点为点C（4，2），直接写出n的值．
【答案】（1）解：①设直线的解析式为，依题意，得解得直线l的解析式为；
直线l的图象如图所示；
②，将代入，
得，
点在直线上；
（2）解：4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（2）点A（-4，-4）经过n次斜平移，即向右平移n个单位，再向上平移2n个单位后得到点B，则B（-4+n，-4+2n），
∵ 直线的解析式为 y=2x-1，
∴可设直线BC解析式为y=x+b，
把C（4，2）代入y=x+b中，得b=4，
∴y=x+4，
联立解得x=2，y=3，
∴直线y=2x-1与y=x+4的交点坐标为（2，3），
∵ 点B关于直线l的对称点为点C（4，2） ，
∴点B关于点（2，3）的对称点为点C（4，2） ，
由中点坐标公式可得B（0，4）
∴n=4.
【分析】（1）①利用待定系数法求出直线l解析式，再利用两点法画图即可；②先求出y关于m的函数解析式，继而判断即可；
（2）点A（-4，-4）经过n次斜平移，即向右平移n个单位，再向上平移2n个单位后得到点B，则B（-4+n，-4+2n），利用两直线垂直求出直线BC解析式，然后求出两直线交点坐标，利用中点坐标公式求出B坐标，继而得出n值.
26．（2024九下·孟村开学考）如图1和2，矩形中，，，连接．点从点出发沿折线运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设点在折线上运动的路径长为．
图1图2
（1）当点在上时，
①作于，如图17-1，求证：；
②当点恰巧落在边上时，如图17-2，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）连接，点从点运动到点的过程中，直接写出长的最小值．
【答案】（1）解：①证明：由旋转可知，
四边形为矩形，且，
，，
，，
在和中，
（AAS），
②作于，由①知，
，，
在中，，，
，，
，，
，，
，，
即；
（2）解：当点在上时，如图1，
，
，，在中，
，
在中，，，
；
当点在上时，如图2，过点作于点，于点，易得，，，
在中，，，，
在中，，，
；
（3）
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：当点在上时，点的轨迹为沿图3中方向的一段，可知当运动到点时，最小，易根据相似三角形求得，，根据，可得；
当点在上时，将线段绕点顺时针旋转的度数得到，连接，易得，所以点的轨迹为沿图4中方向的一段，过点作于点，于点，易知当点运动到点时，最小，，
．，的最小值为．
【分析】（1）①根据AAS证明，利用全等三角形的对应边相等即得结论；
② 作于 ，由勾股定理求出AC，再证，利用相似三角形的性质求出FM ，即得x值；
（2）当点在上时和当点在上时， 据此分别画出图形，利用勾股定理及锐角三角形函数的定义求解即可；
（3）分两种情形：当点在上时和当点在上时，据此画出图形分别求解，再比较即可.
1 / 1河北省孟村回族自治县王史中学2023-2024学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1-6小题各3分，7-16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·孟村开学考）规定：（2）表示上升2个台阶记作+2，则（4）表示下降4个台阶记作（ ）
A．+4 B．-4 C． D．
2．（2024九下·孟村开学考）借助圆规可以比较线段与的大小，如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法确定与的大小
3．（2024九下·孟村开学考）是的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍
4．（2024九下·孟村开学考）一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·孟村开学考）如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，为使其稳定，新增的木条的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·孟村开学考）将两个实数用科学记数法表示为，下列正确的是（ ）
A．M，N均为正数 B．M，N均为负数
C．M是正数，N是负数 D．M是负数，N是正数
7．（2024九下·孟村开学考）根据图中嘉淇和小宇的对话，可以判断他们共同搭的几何体是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·孟村开学考）一个不透明的口袋里有4个黄球和4个红球，除颜色不同外其余均相同，将所有球混合均匀后随机摸出1个球，要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性，可以在摸球之前（ ）
A．拿出2个黄球 B．拿出2个红球 C．放入2个白球 D．放入2个红球
9．（2024九下·孟村开学考）在如图所示的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC边的中点，利用△ABC在网格中作平行四边形ABCD，甲和乙给出了如下方案：
甲：作点B关于点O的对称点D，连接AD，CD；
乙：将△ABC绕点O旋转180°得到△EDF，其中，点A的对应，点B为点E，点B的对应点为点D，点C的对应点为点F图5对于甲、乙两个方案，判断正确的是（ ）
A．两个方案都可行 B．两个方案都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
10．（2024九下·孟村开学考）如图，直线，△ABC是等边三角形，若∠α=20°，则∠B=（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
11．（2024九下·孟村开学考）图是一种正方形ABCD轨道示意图．现有两个机器人P，Q（看成点）从点A同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C和A→D→C．若移动时间为x，两个机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024九下·孟村开学考）如图，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，要使∠AOC=∠AOB，关于弧②的画法及作图依据，下列说法正确的是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧②
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧②
C．使∠AOC=∠AOB的依据是SSS
D．使∠AOC=∠AOB的依据是SAS
13．（2024九下·孟村开学考）已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为，图是该容器的一个最大纵截面，则该截面⊙O中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024九下·孟村开学考）将双曲线与轴、轴之间的区域记为（不包括坐标轴与双曲线），若区域内整点（横、纵坐标均为整数）的个数不少于5个，则的值可以是（ ）
A．2 B． C．3 D．
15．（2024九下·孟村开学考）有一等腰三角形ABC纸片，AB=AC，沿图中三条虚线将该三角形纸片进行裁剪，相关数据如图所示，裁剪后得到甲、乙、丙、丁四个部分，其中面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
16．（2024九下·孟村开学考）题目：“已知二次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，将抛物线位于直线下方的部分翻折至直线上方，将这部分图象与拋物线剩余部分组成的新图象记为．若图象与轴有4个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．乙、丙答案合在一起才完整
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，1819小题各4分，每空2分）
17．（2020·皇姑模拟）计算： .
18．（2024九下·孟村开学考）已知分式为常数）满足表格中的信息．
根据表中的数据，写出的值为 ，的值为 ．
2 0.5
分式的值 无意义 0 3
19．（2024九下·孟村开学考）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．珍珍想用一把刻度尺测量出螺纹直径，已知刻度尺紧贴螺纹（刻度尺与相切），经过点且交于点．
图1图2
（1）正六边形ABCDEF的外角和为 °；
（2）若测得正六边形ABCDEF的边长为6，AP长为，则螺纹的直径为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024九下·孟村开学考）如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C，D所表示的数字分别为a，b，c，d．
（1）当点C为原点时，求a+b+c+d的值；
（2）若a+b=-20，求d的值．
21．（2024九下·孟村开学考）有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图1所示，其面积分别为，．
图1图2
（1）请用含m的式子分别表示、；当m=2时，求的值；
（2）若再开辟一块正方形草地，记为丙草地，如图2，其面积为，其周长与乙草地的周长相等．
①丙草地的边长为 （用含m的代数式表示）；
②请比较与的大小，并说明理由．
22．（2024九下·孟村开学考）某校为了解学生校外的劳动表现，对全校学生进行了问卷调查，让每位学生的家长对自家孩子打分，满分为10分（分数均为整数）．劳动老师从全部的问卷中随机抽取了80份，如下是家长所打分数的频数统计表．
分数（分） 5 6 7 8 9 10
频数 4 8 20 24 16 8
（1）求被抽取的家长们所打分数的平均数、中位数和众数；
（2）劳动老师从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的80份合在一起，重新计算后，发现家长所打分数的平均数提高了至少0.15%，求劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为几分？
23．（2024九下·孟村开学考）如图1，篮球场上，一名身高为1.85m的运动员跳起投篮，当跳离地面的高度为0.25m时，球在头顶上方0.15m处出手，然后准确落入篮筐，篮球（看成点）的运动路径为抛物线L的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m，当球与篮筐中心的水平距离为1.5m时，球达到最大高度3.5m．
图1图2
（1）求：①运动员投球的出手高度；
②抛物线L的解析式；
（2）图2为篮球场平面示意图，在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为6.75m，请通过计算判断运动员此次投篮的得分．
24．（2024九下·孟村开学考）如图，⊙O的半径为2，点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．过点D作⊙O的切线DG交AE的延长线于点G．
（1）连接DE，判断DE与AG的位置关系，并说明理由；
（2）求线段DG与的长度，并比较大小；
（3）若点P是⊙O上任意一点，连接PG，直接写出PG长的最小值．
25．（2024九下·孟村开学考）对于平面直角坐标系内的点，将某点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度的运动称为点的斜平移．例如：点P（2，3）经过1次斜平移后得到，点Q（3，5）．
（1）设直线l经过上述的点P，Q，
①求l的解析式并在图中直接画出直线l的图象；
②若点P经过m次斜平移后得到点的坐标为（x，y），用含m的式子分别表示x，y，并分析点（x，y）是否在直线l上；
（2）已知点A（-4，-4），点A经过n次斜平移后得到点B，点B关于直线l的对称点为点C（4，2），直接写出n的值．
26．（2024九下·孟村开学考）如图1和2，矩形中，，，连接．点从点出发沿折线运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设点在折线上运动的路径长为．
图1图2
（1）当点在上时，
①作于，如图17-1，求证：；
②当点恰巧落在边上时，如图17-2，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）连接，点从点运动到点的过程中，直接写出长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 规定：（2）表示上升2个台阶记作+2，则（4）表示下降4个台阶记作 -4.
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示.
2．【答案】C
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：由图形得：AB＜AC.
故答案为：C.
【分析】根据叠合法即可得解.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：÷=÷=2.
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的除法法则计算即可.
4．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：大矩形的面积=ay+ax+bx+by=a(x+y）+b(x+y）=(x+y)(a+b)，
故答案为：C.
【分析】大矩形的面积=四个小矩形的面积之和，据此求解并判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：在△ABD中，7-5＜BD＜7+5，即2＜BD＜12，
在△BCD中，8-3＜BD＜8+3，即5＜BD＜11，
∴5＜BD＜11，
∴C项符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的三边关系确定BD的范围，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数；还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=-3000，=0.002，
∴M是负数，N是正数 .
故答案为：D.
【分析】将M、N表示出原数，继而判断即可.
7．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
B、只有5个小正方体，故不符合题意；
C、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
D、从正面看到和左面看到的一样，都是，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别确定各项中左视图和主视图的形状，再判断即可.
8．【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解： 要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性， 即是黄球的数量要多于红球的数量，
∴可以放入2个黄球或拿出2个红球 .
故答案为：B.
【分析】当袋中只有两种球的情况下，哪种颜色的球多，摸到哪种球的可能性大，据此解答即可.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣对称；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵O是AC边的中点 ，
∴OA=OC，
甲：由对称性知：OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故甲方案正确；
乙：由旋转的性质可得OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故乙方案正确.
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别证明即可.
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥l1，则BD∥l1∥l2，
∴∠1= ∠α=20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠2=∠ABC-∠1=40°，
∵BD∥l2，
∴∠3=180°-∠2=140°，
∴β=∠3=140°.
故答案为：B.
【分析】过点B作BD∥l1，则BD∥l1∥l2，由平行线的性质求出∠1、∠3的度数，再利用对顶角相等即可求解.
11．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解： ∵两个机器人P，Q（看成点）从点A同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动
∴ 从A→B和A→D时， 两个机器人之间的距离为y随x的增大而增大，分别到达B和D时y最大，然后
从B→C和D→C时， y随x的增大而减小，至为0，
∴B项符合题意；
故答案为：B.
【分析】由题意知：从A→B和A→D时， 两个机器人之间的距离为y随x的增大而增大，分别到达B和D时y最大，然后从B→C和D→C时， y随x的增大而减小，至为0，据此判断即可.
12．【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步以点E为圆心，EF的长为半径画弧②，第三边画射线OC，
由作图知：OD=OE=OF，DE=EF，
∴△ODE≌△OEF（SSS），
∴∠AOC=∠AOB.
故答案为：C.
【分析】用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步以点E为圆心，EF的长为半径画弧②，第三边画射线OC，据此逐项判断即可.
13．【答案】C
【知识点】垂径定理；弧长的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OH⊥AB，则AH=BH，
∵ 容器内液面的面积为，
∴π·AH2=27π，
∴AH=，
∴sin∠AOH=，AB=2AH=，
∴∠AOH=60°，OH=OA=3，
∴∠AOB=120°，
∴ 阴影部分的面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积=-××3=2，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB，则AH=BH，由容器内液面的面积为可求出AH，继而得出AB的长，由锐角三角形函数得出∠AOH=60°，即得∠AOB=120°，根据阴影部分的面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积进行计算即可.
14．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：第一象限内靠近坐标轴的整数点为：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（3，1），
∵ 区域内整点（横、纵坐标均为整数）的个数不少于5个，
∴k＞3，
观察四个选项只有 ＞3.
∴k值可以是.
故答案为：D.
【分析】先写出第一象限内靠近坐标轴的整数点，再进行判断即可.
15．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，EF⊥BC，GH⊥AD，BF=5，DF=2，AG=2，DG=1，
∴CD=BD=BF+DF=7，∠C=∠B，AD=AG+DG=3，EF∥AD，GH∥BC，
∴∠AHG=∠C=∠B，
∴tan∠AHG=tanB=，
在Rt△BEF中，EF=BF·tanB=5×=，
在Rt△AGH中，GH==，
∴甲的面积=△BEF的面积=BF·EF=×5×=，
乙的面积=梯形AEFD的面积=（EF+AD）·DF=×(+3)×2=，
丙的面积=△AGH的面积=GH·AG=××2=，
丁的面积=梯形CDGH的面积=（GH+CD）·DG=×(+7)×1=，
∵＞＞＞.
∴面积最大的是丁.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的性质可得CD=BD=7，tan∠AHG=tanB=，再利用解直角三角形求出EF、GH，利用三角形的面积及梯形的面积公式分别求出甲、乙、丙、丁四个部分的面积，再比较即可.
16．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 翻折后图象与轴有4个交点，
∴m＜0，
∵ 二次函数=（x-1）2+m-1 ，
∴顶点坐标为（1，m-1），
∴顶点坐标为（1，m-1） 关于直线的对称点为（1，m+1） ，
∵ 翻折后的图象与原图象开口相反，
∴翻折后二次函数为y=（x-1）2+m+1 ，
∴m+1＞0，解得m＞-1，
∴-1＜m＜0，
∴只有乙答的对 .
故答案为：B.
【分析】结合二次函数的图象，知m＜0，然后求出其顶点坐标，再求出顶点坐标为（1，m-1） 关于直线的对称点为（1，m+1） ，根据翻折的特点写出翻折后的解析式，继而求解.
17．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】
故填： .
【分析】根据同底数幂的除法即可求解.
18．【答案】-1；5
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由表格数据知：当x=2时，分式无意义，
∴2-b=0，解得b=2，
当x=0.5时，=0，
∴，解得a=-1；
分式为，
当x=c时，分式值为3，
∴=3，解得c=5.
故答案为：-1，5.
【分析】根据表格中数据当x=2时，分式无意义，确定b值，当x=0.5时分别是值为0，可确定a值，从而得出分式，利用当x=c时，分式值为3可求出c值.
19．【答案】（1）360
（2）
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵多边形的外角和为360°，
∴ 正六边形ABCDEF的外角和为360°.
故答案为：360°.
（2）如图，过点P作PG⊥AB，连接AD，OP，设AP与相切于H，连接OH，则OH⊥AP，
∵ 正六边形ABCDEF的边长为6，
∴AB=6，∠ABP=120°，
∴∠PBG=60°，∠BPG=30°，
∴PG=BG，
∵AG2+PG2=AP2，
∴（6+BG）2+（BG）2=（ ）2，解得BG=
∴PB=2BG=3，
∴BP=CP=3，
∴OP⊥BC，OP=BP=3，
∵AD∥BC，
∴OP⊥AD，
∴△AOP的面积=OA·OP=OH·AP，即6×3=OH，
∴OH=，
∴ 螺纹的直径为2OH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据多边形的外角和为360°进行解答即可；
（2）过点P作PG⊥AB，连接AD，OP，设AP与相切于H，连接OH，则OH⊥AP，先求出BP=CP=3，由△AOP的面积=OA·OP=OH·AP可求出OH，利用螺纹的直径为2OH继而得解.
20．【答案】（1）解：当点为原点时，由数轴可得，，，，，
此时；
（2）解：，，
，
，，
解得．
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】（1） 当点为原点时，由数轴可得，，，， 再代入计算即可；
（2）由数轴得，，从而得出，据此求出d值即可.
21．【答案】（1）解：，
，
当时，；
（2）解：①②解：．理由：，，.
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（2）① 丙草地的周长为2（m+4+m+6） =4m+20，
∴ 丙草地的边长为(4m+20）=m+5.
故答案为：m+5.
【分析】（1）根据矩形的面积公式分别列式，再将m值代入计算即可；
（2）① 由丙草地周长与乙草地的周长相等求出其周长，再利用正方形的性质求其边长即可；
②分别求出与，利用作差法比较大小即可.
22．【答案】（1）解：家长们所打分数的平均数为：
（分），
家长们所打分数从小到大排序后第40个和第41个均为8分，所以中位数为（分），有24位家长所打分数为8分，人数最多，所以众数为8分；
（2）解：设劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为分，依题意，得，
解得，
为整数，的最小值为9，即劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为9分．
【知识点】一元一次不等式的应用；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别求解即可；
（2）设劳动老师最后抽取的问卷中家长所打分数最少为分， 根据“ 发现家长所打分数的平均数提高了至少0.15% ”列出不等式并求其最小整数解即可.
23．【答案】（1）解：①依题意，0.25+1.85+0.15=2.25（m），
则运动员投球的出手高度为2.25m；
②设抛物线的解析式为，
抛物线经过篮筐（0，3.05），
把代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，得，解得，，
，，又，
运动员投篮时站在三分线内，运动员此次投篮的得分为2分．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①根据运动员投球时的位置直接列式计算即可；
②利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
（2）利用②中解析式，求出时x值，再比较即可.
24．【答案】（1）解：，
理由：连接，是半圆弧，是直径，
，即；
（2）解：连接，，点，是的六等分点，
，
的长度为，，，
又与相切于点，，
在中，，
，，
；
（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）连接OG交⊙O于点P，此时PG最小，
在Rt△ODG中，OD=2，DG=，
∴OG==，
∴PG=OG-OP=-2.
【分析】（1）由点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，可得是半圆弧 ，从而得出AD是直径，利用直径所对的圆周角是直角即得结论；
（2）利用弧长公式求出的长度，利用解直角三角形求出DG的长，再比较即可；
（3）连接OG交⊙O于点P，此时PG最小，利用勾股定理求出OG的长，利用PG=OG-OP即可求解.
25．【答案】（1）解：①设直线的解析式为，依题意，得解得直线l的解析式为；
直线l的图象如图所示；
②，将代入，
得，
点在直线上；
（2）解：4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（2）点A（-4，-4）经过n次斜平移，即向右平移n个单位，再向上平移2n个单位后得到点B，则B（-4+n，-4+2n），
∵ 直线的解析式为 y=2x-1，
∴可设直线BC解析式为y=x+b，
把C（4，2）代入y=x+b中，得b=4，
∴y=x+4，
联立解得x=2，y=3，
∴直线y=2x-1与y=x+4的交点坐标为（2，3），
∵ 点B关于直线l的对称点为点C（4，2） ，
∴点B关于点（2，3）的对称点为点C（4，2） ，
由中点坐标公式可得B（0，4）
∴n=4.
【分析】（1）①利用待定系数法求出直线l解析式，再利用两点法画图即可；②先求出y关于m的函数解析式，继而判断即可；
（2）点A（-4，-4）经过n次斜平移，即向右平移n个单位，再向上平移2n个单位后得到点B，则B（-4+n，-4+2n），利用两直线垂直求出直线BC解析式，然后求出两直线交点坐标，利用中点坐标公式求出B坐标，继而得出n值.
26．【答案】（1）解：①证明：由旋转可知，
四边形为矩形，且，
，，
，，
在和中，
（AAS），
②作于，由①知，
，，
在中，，，
，，
，，
，，
，，
即；
（2）解：当点在上时，如图1，
，
，，在中，
，
在中，，，
；
当点在上时，如图2，过点作于点，于点，易得，，，
在中，，，，
在中，，，
；
（3）
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：当点在上时，点的轨迹为沿图3中方向的一段，可知当运动到点时，最小，易根据相似三角形求得，，根据，可得；
当点在上时，将线段绕点顺时针旋转的度数得到，连接，易得，所以点的轨迹为沿图4中方向的一段，过点作于点，于点，易知当点运动到点时，最小，，
．，的最小值为．
【分析】（1）①根据AAS证明，利用全等三角形的对应边相等即得结论；
② 作于 ，由勾股定理求出AC，再证，利用相似三角形的性质求出FM ，即得x值；
（2）当点在上时和当点在上时， 据此分别画出图形，利用勾股定理及锐角三角形函数的定义求解即可；
（3）分两种情形：当点在上时和当点在上时，据此画出图形分别求解，再比较即可.
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