2023-2024 学年高二数学下学期期末押题卷 01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（23-24 高二下·北京·期中）已知函数 f (x) = sinx f (0+ x) f (0)，则 lim =（ ）
x→0 x
A．1 B 1． 1 C． 2 D． 2
5 2 1
2．（23-24 高二下·重庆·月考）已知事件 A, B，且P(A) = ， P(B) = ，P(A | B) = ，则 P(B | A) =（ ）
6 3 2
4 2 1 1A． B． C． D．
5 5 3 5
3．（23-24 高二下·重庆·月考）已知一系列样本点 (xi , yi ) (i = 1,2,3, )的一个经验回归方程为 y = 2x + a ，若
样本点 (3, 1)的残差为 1，则a =（ ）
A． 6 B．6 C． 8 D．8
4．（23-24 高二下· 2江苏南京·期中） (1+ x )(1 x)4 的展开式中， x4 的系数为（ ）
A． 6 B．7 C．8 D．12
1
5．（23-24 高二下·北京·期中）已知数列{an}满足a1=1， an+1 an = ( a =n n +1)，则 4 （ ）
3 7 4
A． B
9
． C． D．
4 4 5 5
6．（23-24 高二下·四川达州·期中）有 5 名大四学生报名参加公开招聘考试，总共有三个岗位，每人限报一
个岗位，若这三个岗位都至少有 1 人报考，则这 5 名大四学生不同的报考方法总数有（ ）
A．144 B．150 C．196 D．256
7．（23-24 高二下·黑龙江伊春·期中）若函数 f (x) = 8lnx + x2 mx 在 (1,3)上有且仅有一个极值点，则实数
m 的取值范围是（ ）
26
A [8,10) B ,10 26． ． C． ,10
D． (8,10)
3 3
8．（23-24 高二下·山东青岛·期中）某人在n次射击中击中目标的次数为 X , X ~ B(n, p)，其中
n∈N*,0 < p <1，击中偶数次为事件 A，则（ ）
A．若n =10, p = 0.8
1
，则P(X = k)取最大值时 k = 9 B．当 p = 时，D(X )取得最小值
2
1
C．当 < p <1时，P(A)
1
随着n的增大而减小 D．当0 < p < 的，P(A)随着n的增大而减小
2 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．（23-24 高二下·四川内江·期中）下列结论正确的是（ ）
A C3 A
3
= 7 B m m 1． 7 ．A = nA m,nn n 1 （ 为正整数且n > m >1） 4!
C C2 +C3 2． 5 6 = C
3
7 D．满足方程Cx x = C5x 5 的 x16 16 值可能为 x =1或 x = 3
10．（23-24 高二下·内蒙古·期末）已知等差数列{an}的前n项和为 Sn ，等比数列{bn}的前n项积为Tn ，则
（ ）
A．{anbn}可能为等差数列 B．{anbn}不可能为等比数列
S TC． n 是等差数列 D
n ．
n
是等比数列
3n
11．（23-24 高二下·福建泉州·月考）若奇函数 f (x)在R 上可导，当 x > 0时，满足 f (x) xf ′(x) < 0，
f (1) = 0，则（ ）
A． f ′(1) < 0 B． f (4) 2 f (2) > 0
C． f (x)在 (1,+∞ )上单调递增 D．不等式 f (x) > 0的解集为 ( ∞ , 1)∪(1,+∞ )
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．（23-24 高二下·重庆·期中）已知随机变量 X 服从正态分布，即： X ~ N (2,σ 2 )，若P(X ≥ 1) = 0.8，
P(2 ≤ X ≤ m) = 0.3，则实数m = ．
13．（23-24 高二下·湖北·月考）等比数列{an}的前n项和为 Sn ，且数列{S5n+5 S5n}的公比为 32，则
a2025 =
a ． 2022
x
14．（23-24 高二下·北京顺义·期中）已知函数 f (x) = x ， g(x) = x
2 4x + a，若对于任意的 x
e 1
, x2 ∈
(0,+∞ )，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 )恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
n
15．（23-24 1 高二下·安徽六安·期中）已知 * 2x + x
(n∈N ) .
(1)若展开式的第 3 项和第 5 项的二项式系数相等，求 n的值，并求常数项;
(2)若展开式中所有项的系数之和为 81，求展开式中二项式系数最大的项.
16．（23-24 2高二下·重庆·月考）设甲、乙两位同学上学期间，每天7 : 20之前到校的概率均为 3 ，假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：20 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：20 之前到校的天数比乙同学在 7：20 之前到校的天数恰
好多 2”，求事件M 发生的概率．
1
17．（23-24 高二下· x 2吉林延边·期中）已知函数 f (x) = (x 2)e ax + ax (a∈R) .
2
(1)当 a =1时，求曲线 y = f (x)在点 (2,f (2))处的切线方程；
(2)讨论函数 f (x)的单调性；
18．（23-24 高二下·浙江温州·期中）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（ x 分钟/每天）和他们的数
学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
编号 1 2 3 4 5
学习时间 x 30 40 50 60 70
数学成绩 y 65 78 85 99 108
(1)求数学成绩 y 与学习时间 x 的相关系数（精确到 0.001）；
(2)请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 y 关于 x 的回归直
线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为 100 分钟时的数学成绩（参考数据：
5 5 5
∑ xi yi = 22820,∑ yi = 435,∑ y2i = 38999，107.42 ≈11540, xi 的方差为 200 );
i=1 i=1 i=1
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了 220 位学生．按照
是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 2× 2列联表（表二）．依据表中数据及小概率值
α = 0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
5 5
∑(xi x )( yi y ) ∑ xi yi nx y
附：b = i=1 i=15 = 5 ,a = y xb ，
∑(x x )2 2 2i ∑ xi nx
i=1 i=1
5 n
∑(xi x )( yi y ) ∑xi yi nx y
r = i=1 = i=1
5 5 5 5
∑(xi x )2∑( yi y )2 ∑ x2 nx 2 ∑ y2
2
i i ny
i=1 i=1 i=1 i=1
2
χ 2 n(ad bc)=
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
χα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（23-24 高二下·江西临川·月考）已知数列{an}的前n项和为 Sn ，若存在常数λ(λ > 0) ，使得λan ≥ Sn+1
对任意n∈N* 都成立，则称数列{an}具有性质P(λ) ．
(1)若数列{an}为等差数列，且 S3 = 9, S5 = 25，求证：数列{an}具有性质 P(3) ；
(2)设数列{an}的各项均为正数，且{an}具有性质P(λ) ．
①若数列{an}是公比为q的等比数列，且λ = 4，求q的值；
②求λ的最小值．2023-2024 学年高二数学下学期期末押题卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（23-24 高二下·北京·期中）已知函数 f (x) = sinx f 0+ x f 0，则 lim ( ) ( ) =（ ）
x→0 x
A 1 B C 1． ． 1 ． 2 D． 2
【答案】A
【解析】函数 f (x) = sinx，求导得 f ′(x) = cos x， f ′ (0) =1，
f 0+ x f 0
所以 lim ( ) ( ) = f ′(0) =1.故选：A
x→0 x
5 2 1
2．（23-24 高二下·重庆·月考）已知事件 A, B，且P(A) = ， P(B) = ，P(A | B) = ，则 P(B | A) =（ ）
6 3 2
4 2 1
A 1． B． C． D．
5 5 3 5
【答案】B
P(AB) P(A | B) P(B) 1 2 1【解析】由条件概率公式知： = = × = ，
2 3 3
1
P(AB) 2
则 P (B | A) = = 3 = .故选：B
P(A) 5 5
6
3．（23-24 高二下·重庆·月考）已知一系列样本点 (xi , yi ) (i = 1,2,3, )的一个经验回归方程为 y = 2x + a ，若
样本点 (3, 1)的残差为 1，则a =（ ）
A． 6 B．6 C． 8 D．8
【答案】C
【解析】样本点 (3, 1)的观测值为 1，预测值为 y = 2×3+ a = 6+ a ，
则残差为 1 (6+ a ) =1，解得a = 8.故选：C.
4．（23-24 2高二下·江苏南京·期中） (1+ x )(1 x)4 的展开式中， x4 的系数为（ ）
A． 6 B．7 C．8 D．12
【答案】B
4 r
【解析】由二项式 (1 x) 的展开式T r rr+1 = C4 ( 1) x (r = 0,1,2,3,4)，
4
可得展开式中 x4 的系数为C44 ( 1) +C24 = 7 .故选：B.
1
5．（23-24 高二下·北京·期中）已知数列{an}满足a1=1， an+1 an = ( )，则 an n +1 4 =（ ）
3 7 4
A． B
9
． C． D．
4 4 5 5
【答案】B
【解析】数列{ (n +1) n 1 1an}中，an+1 an = = n(n ，+1) n n +1
1 1 1
因此an+1 + = an + ，则数列{an +1 n n
+ }是常数列，
n
a 1 a 1 1 7于是 n + = + = 2， a = 2 ，所以a = .故选：B n 1 1 n n 4 4
6．（23-24 高二下·四川达州·期中）有 5 名大四学生报名参加公开招聘考试，总共有三个岗位，每人限报一
个岗位，若这三个岗位都至少有 1 人报考，则这 5 名大四学生不同的报考方法总数有（ ）
A．144 B．150 C．196 D．256
【答案】B
C2 C2 3
【解析】若有两个岗位各有 2 名学生报考，一个岗位有 1 名学生报考，则有 5 32 A3种报考方法． A2
C3 C1 3
若有两个岗位各有 1 名学生报考，一个岗位有 3 名学生报考，则有 5 22 A3 种报考方法． A2
C2 C2 C3 13 C
所以总共有 5 32 A
5 2
3+ 2 A
3
3 =150种报考方法，故选：B． A2 A2
7．（23-24 高二下·黑龙江伊春·期中）若函数 f (x) = 8lnx + x2 mx 在 (1,3)上有且仅有一个极值点，则实数
m 的取值范围是（ ）
[8,10) 26 ,10 26A． B． C． ,10
D． (8,10)
3 3
【答案】B
8
【解析】 f ′(x) = + 2x m，令 f ′(x) = 0 8，得 + 2x = m，
x x
8
由题意知 + 2x = m在区间 (1,3)上只有一个变号的根，
x
g (x) 8
2
令 = + 2x
2(x 4)
，则 g′(x) = ，令 g′(x) = 0，得 x = 2， x x2
当 x∈(1,2)时， g′(x) < 0, g (x)单调递减；当 x∈(2,3)时， g′(x) > 0, g (x)单调递增．
又 g (1) =10, g (2) = 8, g (3) 26= ，
3
m 26∈ ,10 8所以当 时， + 2x = m在区间 (1,3)上只有一个变号的根， 3 x
f (x) (1,3) m 26即函数 在 上有且仅有一个极值点时， 的取值范围是 ,10
．故选：B．
3
8．（23-24 高二下·山东青岛·期中）某人在n次射击中击中目标的次数为 X , X ~ B(n, p)，其中
n∈N*,0 < p <1，击中偶数次为事件 A，则（ ）
A．若n =10, p = 0.8，则P(X = k)
1
取最大值时 k = 9 B．当 p = 时，D(X )取得最小值
2
1
C．当 < p <1时，P(A)随着n的增大而减小 D．当0 1< p < 的，P(A)随着n的增大而减小
2 2
【答案】D
【解析】A：在 10 次射击中击中目标的次数 X B (10,0.8)，
当 X = k k时对应的概率P (X = k ) = C10 ×0.8k ×0.210 k (k = 0,1,2, ,10)，
P (X = k ) ≥ P( ) (
X = k +1)
因为P X = k 取最大值，所以
P (X = k ) ≥ P (
， X = k 1)
Ck ×0.8k ×0.210 k ≥ Ck+110 10 ×0.8
k+1×0.29 k k +1≥ 4(10 k ) 39 44
即 Ck ×0.8k ×0.210 k ≥ Ck 1×0.8k 1 11 k
，即 ( ) ，解得 ≤ k ≤ ， 10 10 ×0.2 4 11 k ≥ k 5 5
因为 k∈N 且 0 ≤ k ≤10 ，所以 k 8，即 k 8时概率P(X = 8)最大．故 A 错误；
2
D (X ) np (1 p) n 1 1
B： = = p + ，当 p
1
= 时，D (X )取得最大值，故 B 错误；
2 4 2
C、D n k： P (X = k ) = Ck kn × p ×(1 p) (k = 0,1,2, , n)，
∴P (A) = C0 × p0 ×(1 p)n 0 +C2 × p2 ×(1 p)n 2 4n n +Cn × p4 ×(1 p)
n 4 + ，
1 P(A) = C1n × p
1×(1 p)n 1 +C3n × p3 ×(1 p)
n 3 +C5n × p
5 ×(1 p)n 5 + ，
( )
n ( ) n1 p + p + 1 p p
n
∴P (A) = 1+ (1 2 p)= ，
2 2
1 n
当 < p <1时， 1<1 2 p < 0，{(1 2 p) }为正负交替的摆动数列， 2
所以P(A)不会随着n的增大而减小，故 C 错误；
1+ 1 2 p n1
当0 < p < 时，0 <1 2 p <1,
( )
为正项且单调递减的数列， 2 2
所以P(A)随着n的增大而减小，故 D 正确；故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．（23-24 高二下·四川内江·期中）下列结论正确的是（ ）
A3A C3 = 7 B Am = nAm 1． m,n7 ． n n 1 （ 为正整数且n > m >1） 4!
C 2 3 3 2．C5 +C6 = C7 D．满足方程Cx x = C5x 5 的 x16 16 值可能为 x =1或 x = 3
【答案】BD
A3
【解析】对于 A：C3 77 = ，故 A 错误； 3!
对于 B：Amn = n (n 1) (n 2) (n m +1)，Am 1n 1 = (n 1) (n 2) (n m +1) ，
所以Am = nAm 1（m, nn n 1 为正整数且n > m >1），故 B 正确；
C2 5×4 6×5×4对于 C： 5 +C
3
6 = + =10+20=30 ， 2×1 3×2×1
C3 7×6×5又 7 = =35 C
2
，所以 5 +C
3
6 ≠ C
3
7，故 C 错误； 3×2×1
对于 D x
2
：因为C x = C5x 5 ，所以 x216 16 x = 5x 5或 x
2 x + 5x 5 =16，
解得 x =1或 x = 5或 x = 3或 x = 7
经检验 x =1或 x = 3符合题意，
2
故满足方程Cx x = C5x 5 的 x16 16 值可能为 x =1或 x = 3，故 D 正确.故选：BD.
10．（23-24 高二下·内蒙古·期末）已知等差数列{an}的前n项和为 Sn ，等比数列{bn}的前n项积为Tn ，则
（ ）
A．{anbn}可能为等差数列 B．{anbn}不可能为等比数列
SC n
T
． 是等差数列 D． nn 是等比数列 n 3
【答案】AC
【解析】对于 A，当{bn}为常数列时，因为{an}为等差数列，所以{anbn}为等差数列，所以 A 正确．
对于 B，当{an}为常数列，且an ≠ 0时，
因为{bn}是等比数列，所以{anbn}为等比数列，所以 B 错误．
{a } n (n +1) Sn (n +1C S na d a )对于 ，设 n 的公差为d ，则 n = 1 + ，得 = 1 + d ， 2 n 2
S S 1 S
因为 n+1 n = d ，所以数列 n 是等差数列，所以 C 正确．
n +1 n 2 n
Tn+1
n+1 T n
对于 D，设{b }的公比为q，则 3 = n+1 3 b = n+1 1n T n+1 = b q
n
，
n 3 T 3 3 1n
3n
1 n T
当 q ≠1时， b1q 不是常数，所以
n 不是等比数列，所以 D 错误．故选：AC
3 3n
11．（23-24 高二下·福建泉州·月考）若奇函数 f (x)在R 上可导，当 x > 0时，满足 f (x) xf ′(x) < 0，
f (1) = 0，则（ ）
A． f ′(1) < 0 B． f (4) 2 f (2) > 0
C． f (x)在 (1,+∞ )上单调递增 D．不等式 f (x) > 0的解集为 ( ∞ , 1)∪(1,+∞ )
【答案】BC
【解析】对于 A，令 x =1，则 f (1) f ′(1) < 0, f (1) = 0，所以 f ′(1) > 0，所以选项 A 错误；
( ) f (x) ( ) xf
′(x) f (x)
对于 B，构造函数 g x = ，则当 x > 0时， g′ x = 2 > 0， x x
所以 g (x)在 (0,+∞ )单调递增；所以 g (4) > g (2)，
f (4) f (2)
所以 > , f (4) 2 f (2) > 0，所以选项 B 正确；
4 2
f (x)
对于 C，构造函数 g (x) = ，由 x > 0时， f (x) xf ′(x) < 0，
x
( ) f (x f 1所以 f ′ x )> = g (x)，由 g (1) ( )= = 0，
x 1
又由选项 B 可知 g (x)在 (0,+∞ )单调递增，所以当 x >1时， g (x) > g (1) = 0，
即当 x >1， f ′(x) > g (x) > 0，所以 f (x)在 (1,+∞ )上单调递增，所以选项 C 正确；
f x
对于 D，构造函数 g (x) ( )= ，当 x > 0时，由选项 B 可知 g (x)在 (0,+∞ )单调递增，
x
g ( f1) (1)又知 = = 0，所以当 x >1， g (x) > 0，在0 < x <1， g (x) < 0；
1
即当 x > 0时， f (x)在 (0,1)为负，在 (1,+∞ )为正；
由 f (x)为奇函数，所以当 x < 0 时， f (x)在 ( ∞ ,1)为负，在 ( 1,0)为正，
所以不等式 f (x) > 0 的解集为： ( 1,0)∪(1,+∞ )，所以选项 D 错误.故选：BC.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．（23-24 高二下·重庆· 2期中）已知随机变量 X 服从正态分布，即： X ~ N (2,σ )，若P(X ≥ 1) = 0.8，
P(2 ≤ X ≤ m) = 0.3，则实数m = ．
【答案】5
【解析】因为P(X ≥ 1) = 0.8，
所以P(X ≤ 1) = 0.2，根据对称性可得P(X ≥ 5) = 0.2 ，
又 P(2 ≤ X ≤ m) + P(X ≥ 5) = 0.5，所以m = 5 .
13．（23-24 高二下·湖北·月考）等比数列{an}的前n项和为 Sn ，且数列{S5n+5 S5n}的公比为 32，则
a2025 =
a ． 2022
【答案】8
【解析】设{an}的公比为q，则{S5n+5 S5n}的公比为
S 55n+10 S5n+5 a= 5n+10 + a5n+9 + + a5n+6
q (a + a + + a
= 5n+5 5n+4 5n+1
)
= q5 = 32，
S5n+5 S5n a5n+5 + a5n+4 + + a5n+1 a5n+5 + a5n+4 + + a5n+1
{ } a则 an 的公比q 2 2025 3，则 = q = 8a ． 2022
x
14．（23-24 高二下·北京顺义·期中）已知函数 f (x) = x ， g(x) = x
2 4x + a，若对于任意的 x
e 1
, x2 ∈
(0,+∞ )，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 )恒成立，则实数a的取值范围是 ．
1
【答案】 + 4,+∞
e
【解析】若对于任意的x ， x2 ∈ (0,+∞) ，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 )1 恒成立，
则当 x∈ (0,+∞)时， f (x) ≤ g xmax ( )min ，
x 1 x
对于函数 f (x) = x ， x∈ (0,+∞)，则 f ′(x) = ， e ex
当 x∈ (0,1) 时， f x 0， f (x)单调递增，
当 x∈ (1,+∞)时， f ′(x) < 0， f (x)单调递减，
f (x) f (1) 1所以 max = = ， e
对于函数 g(x) = x2 4x + a， x∈ (0,+∞)，图象开口向上，对称轴为 x = 2，
所以 g(x)min = g (2) = a 4
1
，所以 ≤ a 4
1
，解得 a ≥ + 4， e e
1
所以实数a的取值范围是 + 4,+∞e ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
n
15．（23-24 高二下· 安徽六安·期中）已知 2x
1
+ (n∈N* ) .
x
(1)若展开式的第 3 项和第 5 项的二项式系数相等，求 n的值，并求常数项;
(2)若展开式中所有项的系数之和为 81，求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1) n = 6，60；(2) 24x .
【解析】（1）因为展开式的第 3 项和第 5 项的二项式系数相等，
n! n!
C2 C4 = n (n 1) n (n 1)(n 2 n 3= )( )所以 n n ，即 2!(n 2)! 4!(n 4)!， = ， 2 4×3×2×1
整理得 (n 2)(n 3) =12，解得n = 6或 n = 1（舍），
k
k 6 k 1 k 6 k 6
3k
所以展开式的通项为T 2k+1 = C6 (2x) = C6 2 x ，
x
令6
3k
= 0 ，得 k = 4，
2
T = C4 26 4 x0故常数项为 5 6 = 60 .
（2）令 x =1，得所有项的系数之和为 (2+1)n = 81，解得n = 4 .
由于n = 4是偶数，所以展开式中共有 5 项，且第 3 项的二项式系数最大，
2
所以展开式中二项式系数最大的项为T = C2 (2x)4 2 1 3 4 = 24x .
x
16 2．（23-24 高二下·重庆·月考）设甲、乙两位同学上学期间，每天7 : 20之前到校的概率均为 3 ，假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：20 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：20 之前到校的天数比乙同学在 7：20 之前到校的天数恰
好多 2”，求事件M 发生的概率．
20
【答案】(1)分布列见解析，期望为 2；(2)
243
2
【解析】（1）由题意知： X ~ B 3, ，则 X 所有可能的取值为0,1,2,3，
3
3 2
∴P (X = 0) = 1 1 1 2 1 6 2 = ； P (X =1) = C3 × × = = ；
3 27 3 3 27 9
2
P (X 2) C2 1 2 12 4
3
P (X 3) 2 8= = 3 × × = = ； = = = ； 3 3 27 9 3 27
∴X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 4 8
P
2
27 9 9 27
则 E (X ) = np 3 2= × = 2 .
3
2
（2
）设乙同学上学期间的三天中7 : 20之前到校的天数为Y ，则Y ~ B 3, 3 ，
事件M = {X = 3,Y =1} {X = 2,Y = 0}．
由题意知：事件{X = 3,Y =1}与{X = 2,Y = 0}互斥，
且事件{X = 3}与{Y =1}，事件{X = 2}与{Y = 0}均相互独立，
P(M ) = ({X = 3,Y =1} {X = 2,Y = 0}) = P (X = 3,Y =1) + P (X = 2,Y = 0)
= P (X = 3)P (Y 1) 8 2 4 1 20= + P (X = 2)P (Y = 0) = × + × = .
27 9 9 27 243
1
17．（23-24 高二下·吉林延边·期中）已知函数 f (x) = (x 2)ex ax2 + ax (a∈R) .
2
(1)当 a =1时，求曲线 y = f (x)在点 (2,f (2))处的切线方程；
(2)讨论函数 f (x)的单调性；
【答案】(1) (e2 1)x y 2(e2 1) = 0；(2)答案见解析
1
【解析】（1）当a =1时， f (x) = (x 2)ex x2 + x，得 f (2) = 0，
2
f ′(x) = (x 1)ex x +1，则 k = f ′(2) = e2 1，
2
所以切线方程为： y = (e 1)(x 2)，即 (e2 1)x y 2(e2 1) = 0 .
f (x) (x 2)ex 1（2）由题 = ax2 + ax 其定义域为 R，
2
可得 f ′(x) = (x 1)ex ax + a = (x 1)(ex a)，
当 a ≤ 0时， x∈( ∞ ,1)， f ′(x) < 0 ， f (x)在 ( ∞ ,1)上单调递减，
x∈(1,+∞ )， f ′(x) > 0， f (x)在 (1,+∞ )上单调递增，
当 a > 0时，由 f ′(x) = 0，解得 x1 = ln a, x2 =1，
①当 ln a =1，即a = e时， f ′(x) ≥ 0，则 f (x)在 ( ∞ ,+∞ )上单调递增；
②当 ln a <1，即0 < a < e时，在区间 ( ∞ , ln a) ,(1,+∞ )上， f ′(x) > 0；
在区间 (ln a,1)上， f ′(x) < 0；
所以 f (x)在 ( ∞ , ln a) ,(1,+∞ )上单调递增；在 (ln a,1)上单调递减；
③当 ln a > 1，即a > e时，
在区间 ( ∞ ,1) ,(ln a,+∞ )上， f ′(x) > 0，在区间 (1, ln a)上， f ′(x) < 0，
所以 f (x)在 ( ∞ ,1) ,(ln a,+∞ )上单调递增；在 (1, ln a)上单调递减.
18．（23-24 高二下·浙江温州·期中）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（ x 分钟/每天）和他们的数
学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
编号 1 2 3 4 5
学习时间 x 30 40 50 60 70
数学成绩 y 65 78 85 99 108
(1)求数学成绩 y 与学习时间 x 的相关系数（精确到 0.001）；
(2)请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 y 关于 x 的回归直
线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为 100 分钟时的数学成绩（参考数据：
5 5 5
∑ xi yi = 22820,∑ y = 435,∑ y2i i = 38999，107.42 ≈11540, xi 的方差为 200 );
i=1 i=1 i=1
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了 220 位学生．按照
是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 2× 2列联表（表二）．依据表中数据及小概率值
α = 0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
5 5
∑(xi x )( yi y ) ∑ xi yi nx y
附：b = i=1 = i=15 5 ,a = y xb ，
∑(xi x )2 ∑ x2i nx 2
i=1 i=1
5 n
∑(xi x )( yi y ) ∑xi yi nx y
r = i=1 = i=1
5 5
∑(x x )2 2
5 5
∑( y y ) ∑ x2 2 2
2
i i i nx ∑ yi ny
i=1 i=1 i=1 i=1
χ 2 n(ad bc)
2
=
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
χα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)0.996
；(2) y =1.07x + 33.5，140.5 分；(3)可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关
x 30+ 40+ 50+ 60+ 70 50 y 435【解析】（1） = = ， = = 87，
5 5
5
又 xi (i =1,2,3, ,5)
1∑(x x )2 的方差为 = 200， 5 ii=1
r 22820 5×50×87 1070= = ≈ 0.996 ；
10 11540 1074
（2）由（1）知 r = 0.996接近 1，故与之间具有极强的线性相关关系，
可用线性回归直线方程模型进行拟合，
5
∑ xi yi 5x y
b = i=1 22820 5×50×875 = 2 2 2 2 2 2 =1.07，
∑ x2 5x 2 30 + 40 + 50 + 60 + 70 5×50i
i=1
a = y b x = 87 1.07×50 = 33.5，
故 y =1.07x + 33.5，当 x =100 时， y =140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到 100 分钟时的数学成绩为 140.5 分；
（3）零假设为H0 ：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
220× (25×130 35×30)2 110
根据数据，计算得到： χ 2 = = ≈12.22
165×55×60×160 9
因为12.22 >10.828，
所以依据α = 0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
19．（23-24 高二下·江西临川·月考）已知数列{an}的前n项和为 Sn ，若存在常数λ(λ > 0) ，使得λan ≥ Sn+1
对任意n∈N* 都成立，则称数列{an}具有性质P(λ) ．
(1)若数列{an}为等差数列，且 S3 = 9, S5 = 25，求证：数列{an}具有性质 P(3) ；
(2)设数列{an}的各项均为正数，且{an}具有性质P(λ) ．
①若数列{an}是公比为q的等比数列，且λ = 4，求q的值；
②求λ的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)①q 2；②λ的最小值为 4.
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d ，由 S3 = 9, S5 = 25，得3a1 + 3d = 9,5a1 +10d = 25，
a = 1,d = 2 a 1 (n 1)( 2) 2n 1, S ( 1 2n +1)n解得 1 ，则 n = + = + n = = n2， 2
2 2
于是3an Sn+1 = 3( 2n +1) + (n +1) = (n 2) ≥ 0，即3an ≥ Sn+1，
所以数列{an}具有性质 P(3) ．
（2）①由数列{an}具有性质P(4)，得 4an ≥ Sn+1，又等比数列{an}的公比为q，
若 q =1，则4a1 ≥ (n +1)a1，解得n ≤ 3，与n为任意正整数相矛盾；
n+1 n+1
q ≠1 4a qn 1 1 q当 时， 1 ≥ a a > 0 4q
n 1 1 q
1 ，而 ，整理得 ≥ ， 1 q n 1 q
0 < q <1 qn 1
1 1
若 ，则 ≥ (q 2)2 ，解得
n <1+ log
q (q 2)2 ，与
n为任意正整数相矛盾；
若 q >1，则qn 1(q 2)2 ≤1，当q 2时，qn 1(q 2)2 ≤1恒成立，满足题意；
1 1
当 q >1且q 2时，qn 1 ≤ (q 2)2 ，解得
n <1+ logq n(q 2)2 ，与 为任意正整数相矛盾；
所以q 2 .
②由λan ≥ Sn+1，得λan+1 ≥ Sn+2 ，即λ (Sn+1 Sn ) ≥ Sn+2 ，
S λ S
因此λSn+1 ≥ λSn + Sn+2 ≥ 2 λS
n+2 ≤ n+1
nSn+2 ，即 Sn+1 4 S
，
n
Sn+1 λ Sn (λ )2 Sn 1 λ S则有 ≤ ≤ ≤ ≤ ( )n 1 2S 4 S 4 S 4 S ， n n 1 n 2 1
λ
由数列{an}各项均为正数，得 Sn < Sn+1，从而1< ( )n 1
S2 (λ )n 1 S> 1
4 S ，即 ， 1 4 S2
s1
若0 < λ < 4，则n <1+ logλ s ，与
n为任意正整数相矛盾，
4 2
(λ )n 1 1n 1 s1因此当λ ≥ 4时， ≥ >4 s 恒成立，符合题意， 2
所以λ的最小值为 4．
