河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期6月质量检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期6月质量检测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 749.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-13 07:17:33 | ||
图片预览
文档简介
洛阳市2023——2024学年高二质量检测
数学试卷
本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
x 1 2 3
y 25 36 40 48 56
且经验回归方程为，则当时，y的预测值为（ ）
A．62.5 B．61.7 C．61.5 D．59.7
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者，甲、乙、丙胜各局的概率均为，且各局胜负相互独立．若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各项系数的和是1024 B．各二项式系数的和是1024
C．含x的项的系数是 D．第7项的系数是210
10．下列命题中正确的是（ ）
A．设随机变量，若，则
B．一个袋子中有大小相同的3个红球，2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为x，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则当时概率最大
11．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（ ）
A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为
C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积
12．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点F满足，则（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．当时，平面BDF
C．存在，使得AC与平面BDF所成的角为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得到的截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线被圆截得的弦长为_________．
14．校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录，跳高记录，跳远记录工作，其中甲、乙、丙不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）
15．在等差数列中，为其前n项的和，若，则_________．
16．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，求的周长l的取值范围．
18．（12分）
已知正项数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
19．（12分）
如图所示，两个长方形框架ABCD，ABEF满足，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在长方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）a为何值时，MN的长最小
（2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
20．（12分）
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n次传球后球在乙手中的概率为；
（1）求；
（2）求；
21．（12分）
已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）证明：
22．（12分）
已知定圆，动圆P过点，且和圆相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）设P是第一象限内轨迹E上的一点，的延长线分别交轨迹E于点．若分别为，的内切圆的半径，求的最大值．
洛阳市2023——2024学年高二质量检测
数学试卷参考答案
一、单选题
1–4DDCB 5–8ACDB
二、多选题
9．BD 10．ABD 11．BCD 12．BCD
三、填空题
13．2 14．24 15．110 16．
四、解答题
17．解：（1）由正弦定理，得， 1分
∵，
∴，即 3分
又∵，∴． 4分
（2）由（1）及正弦定理可知，，
，
6分
∴， 7分
又，∴，
∴，
∴，即， 9分
∴的周长l的取值范围为． 10分
18．解：（1）当时，得，
当时，，
又，两式相减得， 4分
又∵，∴，
∴是首项为1，公差为2的等差数列， 5分
∴． 6分
（2）∵， 7分
∴时，， 8分
时，， 9分
∴ 11分
∴成立． 12分
19．解：∵平面平面ABEF，平面平面，
∴平面ABEF，∴，
从而CB，AB，BE两两垂直． 2分
建立如图所示空间直角坐标系，
，
∵，
∴． 4分
∴． 5分
∴时， 6分
（2）由（1）可知：M，N为中点时，MN最短，
则，
取MN中点为G，连接AG，BG，则，
∵，∴．
∴是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角． 8分
∵． 9分
∴ 11分
∴平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为
20．解：记“经过n次传球后，球在乙手中”，，…
（1）当时，
当时， 3分
当时， 3分
（2）由
即， 8分
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列， 10分
∴ 11分
∴ 12分
21．解：（1）由，得 1分
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减； 3分
当时，可得：时，，单调递增，
时，，单调递减 5分
综上所述，当时，在单调递增，当时，在单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减． 6分
（2）要证，即证，
令，则，可知在上单调递增． 7分
又，故在上有唯一的实根，
且． 8分
当时，；当时，，
从而当时，有最小值 9分
由，得，
故 11分
综上， 12分
22．解（1）圆的圆心为，半径．
设动圆P的半径为r，依题意有．
由，可知点在圆内，从而圆P内切于圆，故
即． 2分
所以动点P的轨迹E是以为焦点，长轴长为的椭圆，
其方程为． 4分
（2）设，则
直线的方程为， 5分
将其代人椭圆的方程可得，
整理可得，
则，，得，
故 7分
当时，直线的方程为，
将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得， 8分
由椭圆定义可知：，
则和的周长均为．
因为，
所以
10分
组仅当时，等号成立
轴时，易知
此时 11分
综上的最大值为 12分
数学试卷
本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
x 1 2 3
y 25 36 40 48 56
且经验回归方程为，则当时，y的预测值为（ ）
A．62.5 B．61.7 C．61.5 D．59.7
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者，甲、乙、丙胜各局的概率均为，且各局胜负相互独立．若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各项系数的和是1024 B．各二项式系数的和是1024
C．含x的项的系数是 D．第7项的系数是210
10．下列命题中正确的是（ ）
A．设随机变量，若，则
B．一个袋子中有大小相同的3个红球，2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为x，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则当时概率最大
11．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（ ）
A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为
C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积
12．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点F满足，则（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．当时，平面BDF
C．存在，使得AC与平面BDF所成的角为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得到的截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线被圆截得的弦长为_________．
14．校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录，跳高记录，跳远记录工作，其中甲、乙、丙不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）
15．在等差数列中，为其前n项的和，若，则_________．
16．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，求的周长l的取值范围．
18．（12分）
已知正项数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
19．（12分）
如图所示，两个长方形框架ABCD，ABEF满足，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在长方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）a为何值时，MN的长最小
（2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
20．（12分）
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n次传球后球在乙手中的概率为；
（1）求；
（2）求；
21．（12分）
已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）证明：
22．（12分）
已知定圆，动圆P过点，且和圆相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）设P是第一象限内轨迹E上的一点，的延长线分别交轨迹E于点．若分别为，的内切圆的半径，求的最大值．
洛阳市2023——2024学年高二质量检测
数学试卷参考答案
一、单选题
1–4DDCB 5–8ACDB
二、多选题
9．BD 10．ABD 11．BCD 12．BCD
三、填空题
13．2 14．24 15．110 16．
四、解答题
17．解：（1）由正弦定理，得， 1分
∵，
∴，即 3分
又∵，∴． 4分
（2）由（1）及正弦定理可知，，
，
6分
∴， 7分
又，∴，
∴，
∴，即， 9分
∴的周长l的取值范围为． 10分
18．解：（1）当时，得，
当时，，
又，两式相减得， 4分
又∵，∴，
∴是首项为1，公差为2的等差数列， 5分
∴． 6分
（2）∵， 7分
∴时，， 8分
时，， 9分
∴ 11分
∴成立． 12分
19．解：∵平面平面ABEF，平面平面，
∴平面ABEF，∴，
从而CB，AB，BE两两垂直． 2分
建立如图所示空间直角坐标系，
，
∵，
∴． 4分
∴． 5分
∴时， 6分
（2）由（1）可知：M，N为中点时，MN最短，
则，
取MN中点为G，连接AG，BG，则，
∵，∴．
∴是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角． 8分
∵． 9分
∴ 11分
∴平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为
20．解：记“经过n次传球后，球在乙手中”，，…
（1）当时，
当时， 3分
当时， 3分
（2）由
即， 8分
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列， 10分
∴ 11分
∴ 12分
21．解：（1）由，得 1分
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减； 3分
当时，可得：时，，单调递增，
时，，单调递减 5分
综上所述，当时，在单调递增，当时，在单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减． 6分
（2）要证，即证，
令，则，可知在上单调递增． 7分
又，故在上有唯一的实根，
且． 8分
当时，；当时，，
从而当时，有最小值 9分
由，得，
故 11分
综上， 12分
22．解（1）圆的圆心为，半径．
设动圆P的半径为r，依题意有．
由，可知点在圆内，从而圆P内切于圆，故
即． 2分
所以动点P的轨迹E是以为焦点，长轴长为的椭圆，
其方程为． 4分
（2）设，则
直线的方程为， 5分
将其代人椭圆的方程可得，
整理可得，
则，，得，
故 7分
当时，直线的方程为，
将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得， 8分
由椭圆定义可知：，
则和的周长均为．
因为，
所以
10分
组仅当时，等号成立
轴时，易知
此时 11分
综上的最大值为 12分
同课章节目录