湖北黄冈中学高一年级基础知识过关检测题-阅读材料集合中元素的个数

阅读材料 集合中元素的个数
1．若，，则的最大、最小值分别是（C）
A．12，8 B．20，8 C．20，12 D．20，4
提示：当PM时，有最小值，当MP=时有最大值．
2．某城市效区对200户农民的生活水平进行调查，统计结果表明：有彩电的128户有电冰箱的162户，二者都有的105户，则彩电和电冰箱至少有一样的有（B）
A．162户 B．185户 C．192户 D．200户
提示：=128+162-105=185．
3．已知集合M={直线}，P={圆}，则M∩P的元素个数是（A）
A．0 B．1 C．3 D．不确定的
提示：集合M∩P中的元素表明这一元素既是直线又是圆，这样的几何图形不存在；
故知集合M∩P是空集，故正确选项为A．
4．已知集合M={a2，a}，P={-a，2a-1}，若card(M∪P)=3，则集合M∪P=（C）
A．{-1，0，2} B．{-1，1，3} C．{-1，1，-3} D．{1，2，-3}
提示：由于并集中只有3个元素，∴M与P中有且只有一个元素相同，又，且，∴只能有，即．
5．一个20人的团体走进一家商城，有8人买了电脑，14人买了彩电，其中有6人同时买了这两样商品，则当走出该商城时，不必付款的人数是（B）
A．3 B．4 C．5 D．6
提示：至少买了一种商品的是8+14-6人．
6．据调查知：某村有电话的家庭是35户，有农用三轮车的家庭是65户，既有电话又有农用三轮车的家庭是20户，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数是（B）
A．60 B．80 C．100 D．120
提示：35+65-20=80．
7．在100个人中已知有篮球爱好者60人，排球爱好者65人，设其中既爱好篮球又爱好排球的人数为，且，，则（A）
A．35 B．40 C．5 D．25
提示：全部的篮球爱好者也是排球爱好者时，x取最大值m=60，最小时即60+65-100=25=n．
8．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩在及格分数以上，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是（A）A．49 B．50 C．51 D．52
提示：设数学及格人数是x，则x+51-46=54，∴x=49．
9．在某校高一（3）班的学生中，参加物理课外小组的有20人，参加数学课外小组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理小组又未参加数学小组的有15人，则这个班的学生总人数是（C）
A．70 B．55 C．50 D．无法确定
提示：如图所示，设U={高一（3）班的学生}，
A={高一（3）班参加物理小组的学生}，
B={高一（3）班参加数学小组的学生}，
则A∩B={高一（3）班既参加物理小组又参加数学小组的学生}，={高一（3）班物理小组、数学小组都未参加的学生}，由于，
则
=20+25-10+15=50；故选C．
10．设P、Q为两个集合，定义集合且，若，，则集合中元素的个数是（C）
A．625 B．1024 C．20 D．9
提示：对于P中的每一个元素与之对应的有4个点，如时有点、、 和，故共有个元素。
11．在高一年级数、理、化三科竞赛中，某班学生每人至少参加了数、理、化三科竞赛中的一种，已知获奖结果是：有13人获数学奖，10人获得物理奖，11人获得化学奖，28人未获奖，假定这三科竞赛是不同时间里举行的，则这个班的人数最多会是_________人，最少会是___________人.
[答案]62，41
提示：作出图形可得，最多人数是13+10+11+28=62，最少人数是28+13=41．

11题图
12．已知集合M和P中的元素个数相等，则当={a，b，c，d，e，f}时，M中的元素个数最多可以是x个，最少可以是y个，则xy=_______________．
[答案]18
提示：M中的元素最少有3个，此时P中元素是中不在M中的另外3个，即x=3；当M==P时，M中的元素最多，即y=6，故xy=18．
13．已知PM，，，且，则=__________.
[答案]15
提示：已知即，解得．
14．在一次运动成绩抽查中，对某班100米、200米和跳远这3项运动成绩进行了抽查统计，已知有23人在100米、200米这两项中成绩达标，有15人在100米、跳远这两项中成绩达标，有27人在200米、跳远这两项中成绩达标，其中100米成绩达标的有38人，200米成绩达标的有40人，跳远成绩达标的有28人，若全班共有53人，只有4人一项也未达标，则该班在这次运动成绩抽查中三项成绩都达标的有___________人.
[答案]8
提示：设欲求人数为x，由容斥公式有38+40+28-23-15-27+x=53-4，解得x=8．
15．对任意两个正整数、，定义某种运算（用表示运算符号）：当、都是正偶数或都为正奇数时，（如，等）；当、中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，（如、等），则在上述定义下，集合中元素的个数为______________________．
[答案]41
提示：（1）当、都是正偶数或都为正奇数时，，
∴或或……,
即此时集合M中共有35个元素；
（2）当、中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，
∵，
∴，或，或，或，或，或，
即此时M含有6个元素，
综合以上可得M中共有个元素．
16．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学最多有______________人。
[答案]10
提示：设A={参加数学课外活动小组的同学}，B={参加物理课外活动小组的同学}，C={参加化学课外活动小组的同学}，欲求的即为的最大值，由于至少参加了一科学习的人数有36人，故当至少参加了两科学习的同学都参加了三科学习时，所求的人数最多，此时有人。如图所示可能比较清楚地看出这一问题的结论。
17．给出下列命题：
①若，则A=B；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤若AB，则；
则其中正确的命题的序号是____________.
[答案]③④
提示：注意集合与集合中元素的个数这是两个不同的概念，举特例思考．
18．已知甲班共有50名学生，在一次班主任与全班学生共同参与的智力竞赛活动中，已知对其中的问题A和问题B分别能回答出来的各有40人和35人，对这两个问题都回答不出来的有5人，求能同时回答出这两个问题的人数.
[解答]注意到参加竞赛的实际有51人，而有5人未回答这两个问题，设能同时回答这两个问题的有x人，由容斥公式，有46=40+35-x，所以x=29，即能同时回答出这两个问题的共有29人.
19．在小于1000的正整数中，既不能被5整除也不能被9整除的数共有多少个？
[解答]全集中共有元素999个，设在这其中能被5整除的数集为A，能被9整除的数集为B，
则能被5，或能被9整除的数集中的元素个数是[]+[]-[]=199+111-22=288，∴既不能被5整除也不能被9整除的数集中共有元素999-288=711个.
20．在一次学校综合运动会上，某班共有28名同学参加了比赛，其中有15人参加了游泳比赛，8人参加了田径比赛，14人参加了球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加这三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有几人？仅参加游泳这一项比赛的又有几人？
[解答]设同时参加田径比赛和球类比赛的有x人，借助Venn图分析，不难得到关于x的方程（8-3-x）+(14-3-x)+x+3+3+9+0=28，解得x=3，所以仅参加游泳一项比赛的有9人，同时参加田径比赛和球类比赛的有3人.
21．已知从1到100这100个自然数组成的集合为M；
（1）M中能被2整除，或者能被3整除的元素有多少个？
（2）M中既不能被5整除，又不能被7整除的元素有多少个？
[解答]（1）设M中能被2整除的数组成的集合是A1，能被3整除的数成的集合是B1，能被6整除的数组成的集合是C1，由自然数整除的性质，
=[]=50，=[]=33，而=[]=16，
∴M中能被2整除，或能被3整除的元素共有50+33-16=67个；
（2）设M中既不能被5整除，又不能被7整除的数组成的集合是P，
则即是由M中能被5整除，或者能被7整除的数组成的集合，
同上理可得=[]+[]-[]=20+14-2=32，
∴；
即M中既不能被5整除，又不能被7整除的元素共有32个.
22．50名学生报名参加A、B两个课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生的，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两个组都没有报名的人数比同时报名参加A．B两组人数的还多1人.求同时报名参加A．B两个组的人数和两个组都没有报名的人数.
[解答]设同时报名参加两个组的人数为x，则两个组都没报名的人数为，由Venn图可得（30-x）+(33-x)+x+()=50，解得x=21，∴=8；
故同时报名参加两个组的有21人，两组都没报名的有8人.
23．已知A．B．C三个工厂联营生产同一种产品，哪 个厂生产的就盖上哪个工厂的厂名章，如果是两个厂或三个厂联合生产的，那么产品上就会同时盖有这两个厂或三个厂的厂名章.今有一批产品，发现其中盖过A厂、B厂、C厂厂名章的产品分别为18件、24件、和30件，同时盖有AB厂、BC厂、CA厂厂名章的产品分别有12件、14件和16件，问这批产品总数最多有几件？最少有几件？
[解答]如图所示，设A、B、C三厂生产的此种产品组成的集合为全集U，
记为区域I，为区域II，
为区域III，为区域1，为区域2，
为区域3，为区域①，并设，
依题意可以作出下表：
区域
1
2
3
I
II
III
①
(集合)
12-x
14-x
16-x
x-10
x-2
x
30+x
x的范围
x≤12
x≤14
x≤16
x≥10
x≥2
x≥0
10≤x≤12
由表中分析得出30+x可以由n=3时的容斥公式算得，即
30+x=
，
由于上述各集合中的元素个数的计算必须满足各个对应的x的范围，
综合知x的取值范围是10≤x≤12，∴40≤30+x≤42；
所以这批产品最少有40件，最多有42件.
24．已知全集U=Z，集合A={x|}，集合B={x|}，
（1）求；
（2）若，且，，求集合，并求集合中的元素个数.
[解答]（1）由，解得-7≤x≤4，由，解得-12≤x<-6，
∴A={-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，B={-12，-11，-10，-9，-8，-7}，
∴{-12，-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，
即得；
（2）由（1），而，∴，
∴
=，
即中共有18个元素.
25．在一次国际性科学大会上，共有2002位数学家参加，其中每人至少有1335位的曾经合作者.证明：可以找到4位数学家，他们中的每两个人都合作过.
[分析]从表面看，这道题与本课外阅读材料似乎毫无联系，仔细分析，每一位数学家的合作者组成的集合，难免会出现交叉部分，会不会出现其中的某3个集合的交集非空呢？据此有望利用集合中元素的个数来找出这样的4位合作者，具体办法是从两个人的合作者中逐级向上查找，当与某三位数学家的合作者的集合中至少有一个元素时，则这一问题即得到了解决.
[解答]记数学家为（1，2，……，2002），
与合作过的数学家的集合记为Ai（不含本人），
不妨设数学家与合作过，则
，
从而必有数学家，
而，

此即说明必有数学家，
这样我们就找到了4个数学家，他们之间两两合作过.
26．设1，2，……，m)为自然数n的全部质因数，求证：.
其中为不超过n且与n互质的自然数的数目（称为欧拉函数）.
[解答]设U={1，2，……，n}，Ai=，i=1，2，……，m；
则=，
注意到[]，[]，……，
[]，而为n的全部不同的质因数，
上面所得各式的[ ]都可以去掉，
由于，
且中的元素与中元素并在一起恰为U，
∴
=.