2024年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2024年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达人次．将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3.下列个袋子中，装有除颜色外完全相同的个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是( )
A. B. C. D.
4.如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )
A. B. C. D.
5.解一元一次方程时，去分母正确的是( )
A. B.
C. D.
6.从一艘船上测得海岸上高为米的灯塔顶部的仰角为时，船离灯塔的水平距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点，，点是上的任意一点不与点，重合如果，则点和点的坐标可能为( )
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
9.如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是，则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.长沙地铁号线、号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了名市民，得到如下统计表：
次数 次及以上 次及以下
人数
这次调查中的众数和中位数分别是 ， ．
12.计算：______．
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于 ．
14.一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
15.如图，海中有个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距海里，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为______海里．
16.如图，在 中，以点为圆心，的长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，延长与相交于点若的长为，则图中阴影部分的面积为______．
17.如图，钝角三角形的面积为，最长边，平分，点、分别是、上的动点，则的最小值为____．
18.将双曲线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个点的横坐标为，另一个点的纵坐标为，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共11分。
19.如图，在中，，以为直径的圆交于点，交于点，过点作，垂足为．
求证：为的切线；
若过点且与平行的直线交的延长线于点，连接当是等边三角形时，求的度数．
四、解答题：本题共7小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
计算．
21.本小题分
年月，中共中央、国务院颁布了关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
这次调查活动共抽取______人；
______，______；
请将条形统计图补充完整；
若该校学生总人数为人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动次及以上的学生人数．
22.本小题分
如图，平面直角坐标系中， 的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．
求的值和点的坐标；
求 的周长．
23.本小题分
某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为千米时，在离道路米的点处建一个监测点，道路段为检测区如图在中，，，那么车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？精确到秒，参考数据：，
24.本小题分
如图，是的平分线，点在射线上，，是直线上的两动点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、于点、点，连接、．
如图，当、两点都在射线上时，请直接写出线段与的数量关系；
如图，当、两点都在射线的反向延长线上时，线段，是否还存在中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
如图，，连接，设，当和两点都在射线上移动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为点是直线下方的抛物线上一动点不与、点重合，过点作轴的垂线交直线于点，作于点．
求、及的值；
设点的横坐标为；
用含有的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；
连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的的值，使这两个三角形的面积之比为：？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
26.本小题分
综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和．
操作发现
将图中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图所示的，分别延长和交于点，则四边形的形状是______；
创新小组将图中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图所示的，连接，，得到四边形，发现它是矩形，请你证明这个结论；
实践探究
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图中，，然后提出一个问题：将沿着射线方向平移，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，求的值，请你解答此问题；
请你参照以上操作，将图中的在同一平面内进行一次平移，得到，在图中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，的倒数是，
故选：．
运用实数的倒数是进行求解、辨别．
此题考查了倒数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：在四个选项中，选项袋子中红球的个数最多，
所以从选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，
故选：．
各选项袋子中分别共有个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案．
本题主要考查可能性的大小．
4.【答案】
【解析】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：．
从上面看物体所得到的图形即为俯视图，因此选项C的图形符合题意．
本题考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解一元一次方程方程去分母时，两边同时乘各分母的最小公倍数，约去分母；不要漏乘不含分母的项，据此逐一进行判断即可．
【解答】
解：，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为米
故选：．
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
设，则有，分两种情况考虑：三角形与三角形相似；三角形与三角形相似，分别求出的值，即可确定出的个数．
【解答】
解：设，则有，
由，
当，∽时，即，
解得：或，
当，∽时，即，
解得：，
综上，这样的点共有个，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
连接，根据正切的定义得到，得，可得，两点的坐标．
【解答】
解：连接，如图，
，
是的直径，
，
，
，
有可能和．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理．依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．
【解答】
解：，，
矩形的面积为，，
，
对角线，交于点，
的面积为矩形面积的，
的面积，
，，
，即，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过与两点，
当时，的两个根为和，函数的对称轴是直线，
又关于的方程有两个根，其中一个根是，
方程的另一个根为，
关于的方程 有两个整数根，
抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和与之间，
关于的方程有两个整数根，这两个整数根是和，
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于的方程 的两个整数根，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
11.【答案】；
【解析】【分析】
本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】
解：这次调查中的众数是，
这次调查中的中位数是，
故答案为：；．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂的规定和算术平方根的定义．先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．
【解答】
解：原式，
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理．
先根据三边对应成比例，证明∽，再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答．
【解答】
解：，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，依题意，得：
，
解得．
故答案为：．
边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
根据题意可知：
，，，
在中，海里，
在中，，
海里．
答：此时轮船与小岛的距离为海里．
故答案为：．
如图，过点作于点，根据题意可得，，，，再根据锐角三角函数即可求出轮船与小岛的距离．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积的面积扇形的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．
【解答】
解：连接，
是的切线，
，
又四边形是平行四边形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
设圆的半径为，
的长为，
，
解得：，
．
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：过点作于点，交于点，过点作于，
平分，于点，于，
，
的最小值．
三角形的面积为，，
，
．
即的最小值为．
故答案为．
过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
由于一次函数过定点，恰好是原点向右平移个单位长度，再向下平移
平移个单位长度得到的，双曲线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．
【解答】
解：一次函数，
当时，，
一次函数的图象过定点，
恰好是原点向右平移个单位长度，再向下平移平移个单位长度得到的，
将双曲线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，
在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为，，
，
，
故答案为：．
19.【答案】证明：连接，，
是的直径，
分
是等腰三角形，
，
又，
是的中位线，
．
，分
，
是的切线．分
解：是的直径，
．
是等边三角形，
是的垂直平分线，
分
又，，
．
是等边三角形．
分
【解析】连接，，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，可得，故得到证明；
根据题意，是等边三角形，可得是的垂直平分线，再根据平行线的性质，可得是等边三角形，故．
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及角度的大小的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
20.【答案】解：原式
，
当时，
原式
；
原式
．
【解析】把除化为乘，分解因式约分，化简后将代入即可；
先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的相关运算法则．
21.【答案】解：；
；；
人，补全条形统计图如图所示：
人，
答：该校名学生中一周劳动次及以上的有人．
【解析】解：人，
故答案为：；
人，，即，，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
从统计图中可知，“次及以下”的频数为，占调查人数的，可求出调查人数；
“次”的占调查人数的，可求出“次”的频数，确定的值，进而求出“次以上”的频率，确定值，
求出“次”的频数，即可补全条形统计图；
“次以上”占，因此估计人的是“次以上”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
22.【答案】解：点在上，
，
．
四边形是平行四边形，
，
点的纵坐标为，
点在上，
．
，，
，
，，
平行四边形的周长为．
【解析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
利用待定系数法求出，再利用平行四边形的性质，推出，推出点的纵坐标为，即可解答．
求出点的坐标，得出，的长即可解决问题．
23.【答案】解：作交于点，如图所示，
由题意可得，米，，，
，
，
米，米，
米，
设车辆通过段的时间为秒，
令，
解得，
即车辆通过段的时间在秒以内时，可认定为超速．
【解析】先作，然后根据锐角三角函数可以求得和的值，再根据时间路程速度，即可得到车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：．
理由：如图中，连接．
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
≌，
．
存在，
理由：如图中，连接．
垂直平分，
，
，
平分，，
，
，
，
≌，
．
连接．
同可证≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
当时，的值最小，最小值为，
．
【解析】结论：连接，只要证明≌即可解决问题；
存在．证明方法类似；
连接只要证明∽，即可推出，由，推出当时，的值最小，最小值为，由此即可解决问题；
本题考查相似综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：由，得，．
由，得，．
经过、两点，
，
则抛物线的解析式为：，
设直线与轴交于点，则．
轴，
．
．
由知，抛物线的解析式为则点．
已知直线：，则点．
中，
长的最大值为：．
如图，分别过点、作，，垂足分别为、．
，
，
又
，
在中，．
又，
．
当时，解得；
当时，解得．
【解析】已知直线的解析式，首先能确定、点的坐标，然后利用待定系数法确定、的值；若设直线与轴的交点为，点坐标易知，在中，能求出，而，则的正弦值可得．
已知点横坐标，根据直线、抛物线的解析式，求出、的坐标，由此得到线段的长；在中，根据中的正弦值，即可求出的表达式，再根据所得函数的性质求出长的最大值．
在表达、的面积时，若都以为底，那么它们的面积比等于边上的高的比．分别过、作的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出的值．
本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．
26.【答案】解：菱形
证明：如图，作于点，
由旋转得：，
则，
四边形是菱形，
，
，
，
，同理可得：，
，则，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
如图，过点作，垂足为，
，
，
在中，，
在和中，
，，
∽，
，即，
解得：，
，，
，
当四边形恰好为正方形时，分两种情况：
点在边上，，
点在的延长线上，，
综上所述：的值为：或；
答案不唯一，
例：如图，画出正确图形，平移及构图方法：将沿着射线方向平移，平移距离为的长度，
得到，连接，，
结论：，，
四边形是平行四边形．
【解析】解：如图，由题意可得：，，，，
故AC，，
则四边形是平行四边形，
故四边形的形状是菱形；
故答案为：菱形；
见答案
【分析】
利用旋转的性质结合菱形的性质得出：，，，，进而利用菱形的判定方法得出答案；
利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形是平行四边形，进而得出四边形是矩形；
首先求出的长，分别利用点在边上，点在的延长线上，求出的值；
利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．
此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出的长是解题关键．
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