2024年江苏省连云港外国语学校中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）

2024年江苏省连云港外国语学校中考数学适应性试卷（6月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是( )
A.
B.
C.
D. 随点位置而变化
5.我国明朝珠算发明家程大位著作的直指算法统宗，是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中记载了问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁”其大意是：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有人，据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.的平方根是______．
8.分解因式： ．
9.若直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为______．
10.已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是______．
11.如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上若：：，则与的周长之比为______．
12.如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为______度
13.如图，在单位为的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，叙边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为______．
14.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，线段的中点为点，过点作轴于点直线过原点和点若直线上存在点，满足，则的值为______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
解方程组：．
17.本小题分
先化简，然后从，，这三个数中选一个合适的数代入求值．
18.本小题分
如图，平行四边形中，点是对角线上一点，连接，，且．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
19.本小题分
为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；
本校共有名学生，若每间教室最多可安排名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．
20.本小题分
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览．
甲选择景点的概率为______；
请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
21.本小题分
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．
______．
设塔的高度为单位：；
用含有的式子表示线段的长，则 ______结果保留根号；
求塔的高度取、取，结果取整数．
22.本小题分
年月日上午点分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多元，用元购进款和用元购进款的文化衫的数量相同．
求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
已知毕业班的同学一共有人，学校计划用不多于元，不少于元购买文化衫，求有几种购买方案？
在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，采购人员发现中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求值．
23.本小题分
如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点．
求证：；
若的半径，，求线段的长．
24.本小题分
在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，．
如图，当点落在的延长线上时，求的长；
如图，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；
如图，连接，，直线交于点，点为的中点，连接在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、、中的图形不是中心对称图形，故ACD不符合题意；
B、图形是中心对称图形，故B符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】
【解析】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】
【解析】解：设正六边形的边长为，
过作的垂线，垂足为，连接，
，，
，
，
正六边形的每个角为．
．
同理，
四边形为矩形，
，
，
在正六边形中，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
正六边形的面积，由正六边形每个边相等，每个角相等可得，过作垂线，垂足为，利用解直角三角形可得的高，即可求出正六边形的面积．
本题考查正多边形和三角形的面积，解本题关键掌握正六边形的性质和解直角三角形．
5.【答案】
【解析】解：设大和尚有人，则小和尚有人，
由题意得：．
故选：．
设大和尚有人，根据有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，找到等量关系是正确列出方程关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．
设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标．
【解答】
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为矩形，四边形为矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由于，
所以的平方根是，
故答案为：．
根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
8.【答案】
【解析】解：，
，
．
先提取公因数，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
9.【答案】
【解析】解：将直线向上平移个单位，得到直线，
把点代入，得．
故答案为：．
先根据平移规律求出直线向上平移个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
所以圆锥的高．
故答案为：．
设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，解得，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11.【答案】：
【解析】解：：：，
：：，
和是以点为位似中心的位似图形，
，∽，
∽，
：：：，
与的周长比为：，
故答案为：：．
根据题意求出：：，根据相似三角形的性质求出：，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：五边形的内角和为，
，
由图形的折叠可知，，
，
．
故答案为：．
由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．
本题考查了多边形的内角和，三角形的内角和定理，图形的折叠的性质，掌握这些知识点是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是，，，时，横坐标为，纵坐标为脚码的一半，
当脚码是，，，时，横坐标是，纵坐标为脚码的一半的相反数，
因为能被整除，所以横坐标为，纵坐标为．
故答案为：．
根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是，，，时，横坐标为，纵坐标为脚码的一半，当脚码是，，，时，横坐标是，纵坐标为脚码的一半相反数，然后确定出点的坐标即可．
本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．
14.【答案】或
【解析】解：如图，作的外接圆，交直线于，连接，，则满足条件．
由题意，，
，
，
轴，
，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
是的中点，，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
，此时，
根据对称性可知，点关于点的对称点，
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
如图，作的外接圆，交直线于，连接，，则满足条件．想办法求出点的坐标，可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题
15.【答案】解：原式
．
【解析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
16.【答案】解：，
得，
解得，
把代入，得，
解得，
方程组的解是．
【解析】利用加减消元法求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
17.【答案】解：
，
，，，
，，
将代入上式：
原式．
【解析】先根据分式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为，求解即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零．
18.【答案】证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是菱形；
解：在中，，
设，，
，
，
，，
四边形是菱形，
，，
四边形的面积．
【解析】连接交于，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质和菱形的判定即可得到结论；
解直角三角形得到，，根据菱形的性质得到，，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：人，
选择“采艾叶”的学生人数为：人，
补全条形统计图如图所示：
人，间，
答：开设“折纸龙“课程的教室至少需要间．
【解析】从两个统计图可知，样本中选择“包粽子”的学生有人，占被调查人数的，根据频率进行计算即可，求出选择“采艾叶”的学生人数即可补全条形统计图；
求出样本中，选择“折纸龙”的学生所占的百分比，进而估计总体中选择“折纸龙”所占的百分比，再根据频率即可求出总体中选择“折纸龙”的学生人数，进而求出所需要的教室的数量．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率是正确解答的前提．
20.【答案】；
根据题意画树状图如下：
共有种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择景点的情况有种，
甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率是．
【解析】解：甲选择景点的概率为，
故答案为：；
见答案．
由概率公式直接可得答案；
先画出树状图，共有种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在于根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
，
，
故答案为：；
由题意得：
，，
，
，
由得：
，
；
故答案为：；
如图，过作于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
塔的高度为．
由直角三角形的特征得，即可求解；
由等腰三角形的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；
过作于，由矩形的性质可求，，由正切函数得，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的特征，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质，能熟练利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题的关键．
22.【答案】解：设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：款文化衫每件元，款文化衫每件元；
设购买件款文化衫，则购买件款文化衫，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，，，，
共有种购买方案；
设购买件两款文化衫所需总费用为元，则，
中的所有购买方案所需资金恰好相同，
的值与值无关，
，
．
答：的值为．
【解析】设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，利用数量总价单价，结合用元购进款和用元购进款的文化衫的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出款文化衫的单价，再将其代入中，可求出款文化衫的单价；
设购买件款文化衫，则购买件款文化衫，利用总价单价数量，结合总价不多于元且不少于元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有种购买方案；
设购买件两款文化衫所需总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，由中的所有购买方案所需资金恰好相同即的值与值无关，利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出的值．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
23.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
，
，
．
解：如图，连接，
是直径，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
【解析】根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：，，，
，
，绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上，
，，
中，，
过作交于，过作于，如图：
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
中，，，，，
，
中，，
同理，
，，
，
，
，
存在最小值，理由如下：
过作交延长线于，连接，如图：
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，即是中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
要使最小，只需最小，当、、共线，的最小值为，
最小为．
【解析】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
先求出，再在中，求出，从而可得
过作交于，过作于，先证明，再根据，求出，进而可得和及，由得，即可得
过作交延长线于，连接，先证明，得，再证明≌得，是的中位线，，要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，即可得最小值为．
第1页，共1页